Bijlage 1 Rekenen met wortels

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Bijlage 1 Rekenen met wortels"

Koenraad Janssen
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Bijlage Rekenen met wortels

2 Deze bijlage hoort bij het hoofdstuk Meetkunde en Algebra juli 0 Opgaven gemarkeerd met kunnen worden overgeslagen. Uitgave juli 0 Colofon 0 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van den Broek, Dolf van den Hombergh Met medewerking van Josephine Buskes, Richard Berends, Sieb Kemme, Dick Klingens Illustraties Op dit werk zijn de bepalingen van Creative Commons van toepassing. Iedere gebruiker is vrij het materialen voor eigen, niet-commerciële doeleinden aan te passen. De rechten blijven aan ctwo.

3 Wortels vereenvoudigen Dit is een herhaling van derdeklasstof. De driehoek hiernaast is rechthoekig. a. Ga dat na. Bekijk de vier driehoeken met zijden, en ;,, ; 4,, en 80 ;, en. Deze zijn rechthoekig. b. Ga dat voor de eerste in de serie na. Omdat de rechthoekszijden zich verhouden als :, is elke driehoek uit de serie gelijkvormig met de driehoek hiernaast. Door de driehoek met zijden, en met te vermenigvuldigen, krijg je de driehoek met zijden,, (Vergelijk de kortste rechthoekszijden.) 4 Dus =. 4 c. Hoe volgt met gelijkvormigheid dat 80 =? d. De driehoeken met zijden, en en, en zijn gelijkvormig. Hoe volgt hieruit dat =? In opgave hebben we met gelijkvormigheid gezien dat: =, =, 80 =. 4 We noemen dit vereenvoudigen van wortels. Je kunt dat ook puur algebraïsch doen: = = = = = = = = 80 = = Bijlage Rekenen met wortels

4 Op de middelbare school is het gebruik om wortels zo eenvoudig mogelijk te schrijven, dat betekent: schrijf een zo klein mogelijk geheel getal achter het wortelteken: 8 = 9 =, schrijf geen wortel in de noemer: = = =, laat geen breuken onder het wortelteken staan: = = = 9 9 = Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk. a b. c De en de graden driehoek In de tweede klas heb je het volgende al gezien. In een graden driehoek (halve regelmatige driehoek) verhouden de zijden zich als : :. In een graden driehoek (half vierkant) verhouden de zijden zich als :: C 4 0 A 0 B Van een gelijkbenige driehoek is de tophoek 0 en de gelijke benen zijn. Bereken eact de basis. 4 Het trapezium hiernaast is opgebouwd uit twee en twee graden driehoeken. De kortste zijde is. Bereken de lengte van de andere zijden en de diagonalen eact. Schrijf de wortels in je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

5 Voorbeeld De vergelijking + + = 0 los je op door kwadrateren: + + = = 0 + = = = 0 = of = Alleen = voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking. 7 De rechthoekige driehoek hiernaast heeft schuine zijde 7 en omtrek 40. Een van de rechthoekszijden noemen we. a. Laat zien dat + 89 =. b. Los de vergelijking in a eact op. Los op: a. = + b. = + c. = + 7 Hiernaast is een vierkant in een rechthoekige driehoek getekend. Verder zie plaatje. a. Druk alle lijnstukken in het plaatje uit in. Blijkbaar geldt: ( + ) + ( ) = + b. Leg dit uit met het plaatje. c. Bewijs de gelijkheid puur algebraïsch. C Wortels vereenvoudigen b h a 8 In driehoek ABC is CD een hoogtelijn. Verder is gegeven: A D B CD=, AD =, BD = +. a. Bereken a en b en toon aan dat driehoek ABC rechthoekig is. Omdat BD = h = AD BD geldt dat AD = en + elkaars omgekeerde zijn, dus: Bijlage Rekenen met wortels

6 = +. b. Controleer dat algebraïsch. Voorbeeld Ook (bijvoorbeeld) mer schrijven. + + = = = +. +, kun je zonder wortel in de noe- 9 Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer k A P B P De loodrechte projectie van P op k is P en PP =. A en B liggen op k en AB=8. B ligt 4 verder van P dan A. Stel een vergelijking op om de afstand van A tot P te berekenen en los die vergelijking op. 4

7 Antwoorden a. b. + = + = c. De driehoek met zijden,, en 80 ontstaat uit die met zijden, en door met te vermenigvuldigen. d. Als je de driehoek met zijden, en met 4 vermenigvuldigt, krijg je de driehoek met zijden, en. (Let op de derde zijde.) Dus =. (Let op de eerste zijde.) A C 0 M B a b. 0 0 c. 4 7 Het midden van AB noemen we M, dan is ACM een graden-driehoek. Dus CM= en AM=, dus AB=. 4 Twee zijden zijn:, een zijde is en de diagonalen zijn: +. a. De andere rechthoekszijde is 89 rechthoekszijden samen zijn 40 7=. b. 8, De twee a. Kwadrateren geeft: = + = 0 + = 0 = of =. ( )( ) Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen =. b. Kwadrateren geeft: = + = 0 + = 0 = of =. ( )( ) Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen =-. c. = + = Kwadrateren geeft: = + 4 = 0 4 = 0 = of = 4. ( )( ) Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen =4. Bijlage Rekenen met wortels

8 b c d 7 a. a = + ; b =, dus b = (gelijkvormigheid van de twee kleinere driehoeken). Verder c = +. a De rechthoekszijden van de grote driehoek zijn: + en +, dus d= ( ) ( ) Anderzijds d=a+c= b. ( ) ( ) = Kwadrateren geeft: ( ) ( ) = + + We bekijken eerst de linkerkant. Het deel + ( + ) + = + + = = + dus de linkerkant is: +, = = en de rechterkant is: ( + ) + ( + ) = Klopt! a, 8 a. = ( + ) + = 4 + b = ( ) + = 4 en c = ( ) = 8 a + b = c, dus b. = +? Kruislings vermenigvuldigen geeft: ( )( ) = + en dat klopt. 9 Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer. 4 = = = 4 = ( 7 ) = 7 7 = Noem die afstand, dan AP = + en

9 ( 8 ) + BP =, dus: ( 8 ) + + = 4 ( 8 ) + = Kwadrateren geeft: + = = = + Nogmaals kwadrateren geeft: +4 = + 8+7=0 = of =7. Bijlage Rekenen met wortels 7

10 8

Vergelijkbare documenten

1 Meetkunde en Algebra

1 Meetkunde en Algebra Het eerste deel van dit hoofdstuk is een bewerking van Meetkunde met coördinaten, Blok Redeneren met vormen, getallen en formules van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma