14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

Transcriptie

1 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64 asin64 1sin54 1sin54 a sin64 a 10,80 Reken pas in de laatste stap de sinussen uit. Dit voorkomt tussentijds afronden. 1

2 14.0 Voorkennis Voorbeeld : Gegeven is ABC met a = 4,46 b = 4,84 en c = 4,96. Bereken A in graden nauwkeurig. a = b + c bc cos α 4,46 = 4,84 + 4,96 4,84 4,96 cos α 19,8916 = 48,07 48,018 cosα 48,018 cos α = 8,1356 cos α = 0,586 α 54 In elke ABC geldt de cosinusregel: a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ Met behulp van de cosinusregel is het dus mogelijk de grootte van de hoeken van een driehoek uit te rekenen als je alleen de lengtes van de zijden weet.

3 14.0 Voorkennis De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1 : 1 :. De zijden van een rechthoekige driehoek waarvan de scherpen hoeken 30 en 60 zijn, verhouden zich als 1 : : 3. 3

4 14.0 Voorkennis Voorbeeld 3: Gegeven is een rechthoekige ABC met AC = 1 en A = 45. Bereken exact AB Er geldt nu: AB BC AC 1 1 x y 1 Met behulp van deze verhoudingstabel kun je AB berekenen: AB AC 1 x 1 x x 6 Let op: Als er in de noemer enkel een wortelteken komt te staan, moet je dit wegwerken. 4

5 14.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die dus niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden; Een gestrekte hoek is een hoek van 180 graden. Een parallellogram is een vierhoek waarvan beide paren overstaande zijden evenwijdig zijn; Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. Stelling = Een eigenschap, die bewezen moet worden. Voor het bewijs kun je alle bekende definities en eerder bewezen stellingen gebruiken. 5

6 14.0 Voorkennis Stelling van Thales: Als ABC rechthoekig is in B, dan ligt B op de cirkel met middellijn AC. Omgekeerde stelling van Thales: Als van ABC de zijde AC middellijn van een cirkel is en punt B op die cirkel ligt, dan is de rechthoekig in C. 6

7 14.0 Voorkennis Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die precies één punt gemeenschappelijk heeft met de cirkel. Stelling van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Definitie van afstand punt tot lijn: De afstand (kortste verbinding) van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk neergelaten vanuit dat punt op die lijn. 7

8 14.0 Voorkennis Stelling raaklijn in gemeenschappelijk raakpunt: De raaklijn in het gemeenschappelijke raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. Stelling afstand punt tot raakpunten: Als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raakpunten gelijk. 8

9 14.0 Voorkennis Voorbeeld 4: De zijden AB en DE zijn evenwijdig. Bereken DE. Stap 1: Laat zien dat de twee driehoeken in de figuur gelijkvormig zijn. ABC heeft drie hoeken: A, B en C. DEC heeft drie hoeken: D, E en C. B = E (F-hoeken) A = D (F-hoeken) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben. Er geldt nu: ABC DEC. [Let op de juiste volgorde van de letters] 9

10 14.0 Voorkennis Voorbeeld 4: De zijden AB en DE zijn evenwijdig. Bereken DE. Stap : Maak een algemene verhoudingstabel: ABC AB BC AC DEC DE EC DC Stap 3: Maak een verhoudingstabel met de bekende waarden: (3+5) DE

11 14.0 Voorkennis Voorbeeld 4: De zijden AB en DE zijn evenwijdig. Bereken DE. Stap 4: Bereken DE: 145 DE

12 14.0 Voorkennis De lijn k door de punten A(, 0) en B(0, -5) kan op een vijftal manier genoteerd worden: 1. Assenvergelijking: x y k : 1 5. Lineaire vergelijking: k : 5x y Lineaire vergelijking van de vorm y = ax+b: k : y x 5 1 1

13 14.0 Voorkennis De lijn k door de punten A(, 0) en B(0, -5) kan op een vijftal manier genoteerd worden: 4. Parametervoorstelling: Stel x = t. Invullen geeft y = ½ t 5= 5t 5 Hieruit volgt: k: x(t) = t en y(t) = 5t Vectorvoorstelling: De richtingsvector van k is gelijk aan: b 0 a Hieruit ontstaat de vectorvoorstelling: k : x y

14 14.0 Voorkennis Voorbeeld 5: x 4 Gegeven is de lijn k : y 3 5 Stel de vergelijking op van k in de vorm ax + by = c r k 4 5 geeft n k 5 4 k: 5x 4y = c Het punt (, 3) ligt op de lijn k. Invullen hiervan geeft: c = = -. De gevraagde vergelijking is dus k: 5x 4y = 14

15 Voorbeeld 6: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn k is te berekenen met: tan(α) = ½ tan -1 (½) 6,6 (= α) 14.0 Voorkennis Voorbeeld 7: Getekend is de lijn l: y = De richtingshoek β van de lijn l is te berekenen met: tan(β) = -⅔ tan -1 (-⅔) -33,7 (= β) x

16 14.0 Voorkennis Algemeen: De hoek φ tussen de twee snijdende lijnen kan als volgt berekend worden: rk rl cos( ( k, l)) cos( ( rk, rl)) r r k l Voorbeeld 8: Gegeven zijn de lijnen Bereken ( kl, ) x 1 k : y cos( ( kl, )) Hieruit volgt ( kl, ) 74,7 en x 1 3 l : y

17 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de ABC met AB = 10 en A = 30 en B = 45. Bereken exact de oppervlakte van ΔABC. Stap 1: Opp(ΔABC)= 0,5 AB CD= 0,5 10 CD = 5CD Stap : ΔBCD is gelijkzijdig. Er geldt: BD = CD = x. Stap 3: De zijden van een rechthoekige driehoek waarvan de scherpen hoeken 30 en 60 zijn, verhouden zich als 1 : : 3. ACD is zo n driehoek. Hieruit volgt dat als de lengte van CD gelijk is aan x, de lengte van AD gelijk is aan x 3. 17

18 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de ABC met AB = 10 en A = 30 en B = 45. Bereken de oppervlakte van ΔABC. Stap 4: Bereken de waarde van x: AD DB 10 x 3 x 10 x(1 3) x 1 3 Stap 5: Bereken de oppervlakte van ΔABC: Opp( ABC ) 10CD 10 ( )

19 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de ABC met AB = 10 en A = 30 en B = 45. Bereken de oppervlakte van ΔABC. Stap 6: Werk de wortel uit de noemer weg: 50 Opp( ABC ) (1 3) 1 3 5(1 3)

20 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [] Voorbeeld : Gegeven is de ABC (gelijkbenig) met AC = BC en AB = CD. De omgeschreven cirkel Van de driehoek is getekend. De straal van deze cirkel is 6. Bereken de lengte van AB. AD = x, AB = CD = x, DM = x 6 AD DM AM x (x 6) 6 x x x x 4x0 x(5x4) 0 x 0 5x 4 x 0 x 4,8 AD = 4,8 en AB = 9,6 Let op: Je kunt verschillende lijnstukken voor x nemen. Pak steeds het lijnstuk dat zorgt voor een eenvoudige berekening. 0

21 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [3] Hiernaast is ABC met hoogtelijn AS Getekend. Opp( ABC) = ½ BC AS Er geldt ook: sin( C) overstaande rechthoekzijde schuine zijde AS AC dus AS AC sin( C ) Hieruit volgt: Opp( ABC) = ½ BC AS = ½ BC AC sin( C) Let op: Deze formule is afhankelijk van de naamgeving van de hoekpunten van de driehoek!!! Je hebt nu dus niet de lengte van hoogtelijn AS nodig om de oppervlakte van de driehoek te berekenen. 1

22 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [3] Herhaling: sin( A) sin( A)cos( A) cos( A) cos ( A) sin ( A) cos( A) cos ( A) 1 cos( A) 1 sin ( A) sin ( A) cos ( A) 1 Voorbeeld: Gegeven is de cirkel c 1 met straal r en de cirkel c met straal r. De cirkels raken elkaar in het punt B. De gemeenschappelijke raaklijnen k en l snijden elkaar in het punt A. Bereken exact sin( (k, l)) Er geldt: sin( (k, l)) = sin(α) = sin(α)cos(α) sin(α) = sin( MAC) = MC AM

23 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [3] Voorbeeld: Stap 1: Bereken sin(α) AM = x Vanwege de gelijkvormigheid van AMC en AND geldt er: AM MC AN ND x r x 3r r x 1 x 3r x x 3r x AM 3r 1 sin( ) sin( MC r MAC) AM 3r 3 3

24 14.1 Vergelijkingen bij meetkundige figuren [3] Voorbeeld: Stap : Bereken cos(α) sin (α) + cos (α) = 1 en sin(α) = ⅓ 1 3 cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) cos( ) Stap 3: Bereken de gevraagde hoek. sin( (k, l)) = sin(α) = sin(α)cos(α) 1 4 =

25 14. Lijnen en cirkels [1] Hiernaast is de lijn k : ax + by = c getekend. l is een hulplijn evenwijdig aan lijn k door het punt P. Dus l : ax + by = ax p + by p. d(p, k) = d(l, k) = d(o, l) d(o, k) De afstand van punt P(x p, y p ) tot de lijn k: ax + by = c is d(p, k) = ax by c p a p b Het is mogelijk om de vergelijkingen van de bissectrices van twee lijnen op te stellen. Let op dat een tweetal lijnen, die elkaar snijden steeds twee bissectrices hebben, die loodrecht op elkaar staan (bissectricepaar) 5

26 14. Lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is de driehoek ABC met A(1, 0), B(8, 4) en C(4, 6). De bissectrice k van ACB snijdt de middelloodlijn l van zijde AC in het punt S. Bereken de coördinaten van S. Stap 1: Stel de vergelijkingen op van AC en BC rac c a n AC 1 en AC: x y = rbc c b n AC en BC: x + y = 16 6

27 14. Lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is de driehoek ABC met A(1, 0), B(8, 4) en C(4, 6). De bissectrice k van ACB snijdt de middelloodlijn l van zijde AC in het punt S. Bereken de coördinaten van S. Stap : Stel de formule op van de lijn k. Uit d(p, AC) = d(p, BC) volgt x y x y x y x y 16 x y x y 16 x y x y 16 x 3y 14 3x y 18 Let op: Gebruik de rechtse uitkomst. De linkse uitkomst leidt niet tot snijpunt S. 7

28 14. Lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is de driehoek ABC met A(1, 0), B(8, 4) en C(4, 6). De bissectrice k van ACB snijdt de middelloodlijn l van zijde AC in het punt S. Bereken de coördinaten van S. Stap 3: Stel de formule op van de lijn l. n l r AC 1 Hieruit volgt l : x + y = c Invullen van M(½, 3) geeft l : x + y = 8½ 8

29 14. Lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is de driehoek ABC met A(1, 0), B(8, 4) en C(4, 6). De bissectrice k van ACB snijdt de middelloodlijn l van zijde AC in het punt S. Bereken de coördinaten van S. Stap 4: Bepaal het snijpunt S van k en l. 3x y 18 1 x y 8 1 6xy 36 1 x y 8 5x 7 x Invullen van x = 5½ in één van de formules geeft y = 1½. S(5½, 1½) 9

30 14. Lijnen en cirkels [] Algemeen: Bij het oplossen van raakproblemen bij cirkels gebruik je de eigenschappen dat een raaklijn loodrecht staat op de cirkel naar het raaklijn EN dat de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de raaklijn gelijk is aan de lengte van de straal. Situatie 1: Stel een vergelijking op van de lijn k als gegeven is: een cirkel EN een punt op de cirkel waar k de cirkel raakt. Situatie : Stel een vergelijking op van de cirkel c als gegeven is: het middelpunt van c EN een lijn waaraan c raakt. Situatie 3: Stel een vergelijking op van de lijn k als gegeven is: een cirkel waaraan k raakt EN de richting van k. Situatie 4: Stel een vergelijking op van de lijn k als gegeven is: een cirkel waaraan k raakt EN een punt buiten de cirkel op k. 30

31 14. Lijnen en cirkels [] Voorbeeld: Gegeven zijn de snijdende cirkels c 1 : (x 3) + (y 1) = 5 en c : (x 6) + y = 0 De lijnen k 1 en k zijn de gemeenschappelijke richtlijnen van de cirkels. Stel van k 1 en van k een vergelijking op. Stap 1: Geef aan met welke cirkels je te maken hebt. c 1 heeft middelpunt M(3, 1) en straat 5 c heeft middelpunt N(6, 0) en straal 0 = 5 Voor de lijn k geldt: k: y = ax + b k: ax y + b = 0 31

32 14. Lijnen en cirkels [] Voorbeeld: Gegeven zijn de snijdende cirkels c 1 : (x 3) + (y 1) = 5 en c : (x 6) + y = 0 De lijnen k 1 en k zijn de gemeenschappelijke richtlijnen van de cirkels. Stel van k 1 en van k een vergelijking op. Stap 3: Stel een uitdrukking op voor b. 3a 1 b 6a b 1 3a 1 b 3a b 3a 1 b 3a b b 1 6a 1 b b b 4a

33 Voorbeeld: 14. Lijnen en cirkels [] Stap 4: Stel een uitdrukking op voor a. 3a 1 b 5a 5 3a1 5a 5 9a 6a 1 5a 5 4a 6a 4 0 a 3a 0 D a a 4 4 Hieruit volgen: k 1 : y = -x + en k : y = ½x

34 14.3 Zwaartepunten [1] Het zwaartepunt van een massieve homogene vorm kan als volgt bepaald worden: 1. Verdeel de vorm in twee figuren waarvan je de zwaartepunten kunt bepalen;. Teken de steunlijn door de beide zwaartepunten; 3. Verdeel de vorm in twee andere figuren, bepaal het zwaartepunt en teken de steunlijn. 4. Het snijpunt van beide steunlijnen is het zwaartepunt van de vorm. 34

35 14.3 Zwaartepunten [1] Een figuur die je kunt gebruiken is de driehoek. In een driehoek bepaal je het zwaartepunt met behulp van zwaartelijnen. Een zwaartelijn is een lijn door een hoekpunt die de tegenoverliggende zijde loodrecht snijdt. 35

36 14.3 Zwaartepunten [] Hefboomwet: Er is ten opzichte van het zwaartepunt evenwicht van momenten en daaruit volgt m 1 x = m y. Voorbeeld 1: Bereken de plaats van het zwaartepunt Z. AZ = x BZ = 15 x 5 x = 7 (15 x) 5x = 105 7x 1x = 105 x = 8,75 36

37 14.3 Zwaartepunten [] Voorbeeld : Bereken de plaats van het zwaartepunt Z. AZ = z - 10 BZ = 5 z 5 (z 10) = 7 (5 z) 5z 50 = 175 7z 1z = 5 z = 18,75 Momentenstelling: De plaats van het zwaartepunt van de massa s m 1, m,, m n op de getallenlijn met de afstanden a 1, a,, a n tot 0 is te berekenen met 1 z ( m1 a1 m a... mn an ) M M m m... m 1 n Een massieve homogene massa kun je opvatten als een puntmassa in het zwaartepunt. 37

38 14.3 Zwaartepunten [] Voorbeeld 3: Bereken de plaats van het zwaartepunt Z. De vorm is opgebouwd uit massieve homegene vierkanten. Het zwaartepunt ligt op de symmetrieas. Voor massa m 1 geldt: m 1 = 3 3 = 9. Voor massa m geldt: m = 1 1 = z (91 13 ) 17 1, Het zwaartepunt ligt 1,7 boven 0. 38

39 14.3 Zwaartepunten [] Voorbeeld 4: Bereken de plaats van het zwaartepunt Z. De vorm is opgebouwd uit twee keer vier even zware puntmassa s die op de hoekpunten va vierkanten liggen. Het zwaartepunt ligt op de symmetrieas. Voor massa m 1 geldt: m 1 = 4 1 = 4. Voor massa m geldt: m = 4 1 = z (41 43 ) 0, Het zwaartepunt ligt,5 boven 0. 39

40 14.3 Zwaartepunten [3] Momentenstelling (met vectoren): De plaats van het zwaartepunt Z van de massa s m 1, m,, m n in de punten A 1, A,, A n geldt: met M m1 m... mn 1 z ( m1 a1 m a... mn an ) M Voorbeeld: Gegeven is een massieve, homogene vorm. Teken de plaats van het zwaartepunt met behulp van vectoren. 40

41 14.3 Zwaartepunten [3] Voorbeeld: Gegeven is een massieve, homogene vorm. Teken de plaats van het zwaartepunt met behulp van vectoren. Stap 1: Splits de vorm op in een aantal stukken en teken een assenstelsel. Stap : Bepaal de massa s A heeft massa 5. B heeft massa 3. C heeft massa. De totale massa is = 10 41

42 14.3 Zwaartepunten [3] Voorbeeld: Gegeven is een massieve, homogene vorm. Teken de plaats van het zwaartepunt met behulp van vectoren. Stap 3: Bepaal de plaats van het zwaartepunt z (5 a 3b c) , ,7 4

43 14.4 Bewegingsvergelijkingen onderzoeken [1] In het plaatje hiernaast is de vector rt () getekend, die vanuit O het punt P aanwijst. Dit is de plaatsvector van P. xt () Bij de plaatsvector rt () yt () van een punt P hoort de snelheidsvector x'( t) vt (). De snelheidsvector is een y'( t) richtingsvector van de raaklijn aan de baan op het tijdstip t. De lengte van de snelheidsvector is de baansnelheid van P op het tijdstip t. De baansnelheid van P is te berekenen met: v( t) ( x'( t)) ( y'( t)) 43

44 14.4 Bewegingsvergelijkingen onderzoeken [1] In het plaatje hiernaast zijn de snelheidsvector vt () en de versnellingsvector at () op tijdstip t getekend. De lengte van de vector a ( n t ) heeft te maken met de kromming van de baan. De lengte van de vector a ( b t ) geeft de grootte van de baanversnelling van punt P. xt () Bij de plaatsvector rt () yt () van een punt P hoort de snelheidsvector en de versnellingsvector x''( t) at () y''( t) x'( t) vt () y'( t) en de baanversnelling v( t) a( t ) ab( t) vt ( ) 44

45 14.4 Bewegingsvergelijkingen onderzoeken [1] Voorbeeld 1: De bewegingsvergelijkingen van een punt P zijn gegeven door Druk de baanversnelling a ( b t ) uit in t. t 1 t Er geldt: r( t) en vt ( ) en t t 4 t t 3 5 v( t) a( t) t 3t 3t 6t 4t ab( t) vt ( ) ( t) ( t ) 4t t 4t 4 at ( ) 3t x( t) t y( t) t t 4 45

46 14.4 Bewegingsvergelijkingen onderzoeken [1] Voorbeeld : De baan van het punt P is gegeven door 3 1 x( t) 3 t 3t 5t 6 y( t) t 4t 1 Bij punt A geldt t = 4. Stel een vergelijking op van de lijn k die de baan raakt in A t 3t 5t 6 t 6t 5 r( t) v( t) t 4t 1 t v(4) n k

47 14.4 Bewegingsvergelijkingen onderzoeken [1] Voorbeeld : De baan van het punt P is gegeven door 3 1 x( t) 3 t 3t 5t 6 y( t) t 4t 1 Bij punt A geldt t = 4. Stel een vergelijking op van de lijn k die de baan raakt in A. k: 4x + 3y = c t = 4 geeft het punt (-⅔, -1) Dit invullen geeft c = -5⅔ Hieruit volgt: k: 4x + 3y = -5⅔ 47