Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Transcriptie

1 Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het snijpunt met de rechte x : A. We trekken door het punt B een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het snijpunt met de rechte y : B. Trek een pijl van A naar A en van B naar B. We zeggen : A het... is van A door de projectie op x, evenwijdig met y B is het...van B door de... op x,... met y Het beeld van het lijnstuk door een evenwijdige projectie is een...

2 - 128 Taak : Teken het beeld van de driehoek C door de evenwijdige projectie op x, evenwijdige met de rechte y 2. Eigenschappen van de projectie: a) Construeer het midden van het lijnstuk [ ] en noem het M b) Teken de projectie van het punt A op de recht x evenwijdig met de recht y en noem het A c) Teken de projectie van het punt B op de recht x evenwijdig met de recht y en noem het B d) Teken de projectie van het punt M op de recht x evenwijdig met de recht y en noem het M

3 e) Meet de lengte van de volgende lijnstukken: AM MB =... cm =... cm =... cm M is het... van [ ] M ' M ' =... cm =... cm =... cm M ' is het... van [ ] Besluit: De evenwijdige projectie bewaart het Projectiestelling Instap (boek pag 180) a. =... mm α =... =... mm cos α =... =...

4 b. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u) =... mm α =... =... mm cos α =... =... c. =... mm α =... =... mm cos α =... =... De Projectiestelling Als twee rechten x en y scherpe hoeken met grootte α maken dan geldt voor een lijnstuk [ ] en zijn loodrechte projectie [ ' ] A op x : A ' = cos α Bewijs : zie boek pag 181 Opgave: boek pag 182 nr.15 Bereken tot op 0,001 mm de lengte van het lijnstuk waarbij een vraagteken staat. a.

5 b. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u) c. Opgave: boek pag 182 nr. 19 Bereken voor de bijgevoegde figuur de lengte van het lijnstuk [ ]

6 Stelling van Thales: Op de tekening zijn de rechten a,b en c evenwijdig. Zij worden gesneden door de rechten d, e en f. De snijpunten zijn benoemd. Meet de lengte van volgende lijnstukken: A" B" BC C' B" C" Bereken de volgende verhoudingen: BC =... C' A" B" B" C" Wat stel je vast?... Besluit: De projectie op een rechte behoudt de verhouding van twee op een zelfde rechte gelegen lijnstukken.

7 Stelling van Thales: a // b // c // d snijden y in A, B, C, D snijden x in,, C', D' CD = C' D' Bewijs : Zie boek pag 186 Omgekeerde stelling: Als een rechte twee zijden van een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde. C met M [ ] en N [ AC] AM AN = MB NC MN // BC

8 - 134 Opgave: boek pag 187 nr.22 Voor de onderstaande figuren geldt: a // b // c // d. Bereken x en y. a. b. c. x + y = 24

9 - 135 Opgave: boek pag 187 nr. 23 Voor de driehoek C geldt dat MN // BC. AM = 2 cm MB = 1,5 cm BC = 3cm AC = 4 cm Waaraan is NC gelijk? a. 1,5cm b. 1 cm c. cm d. 3 cm e. cm 7 3 Welk gegeven is overbodig?... Opgave: boek pag 187 nr. 25 Bereken voor de onderstaande figuren telkens x. a. b. // DE AE // CF // DG

10 c. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u) // FD // GC Opgave: boek pag 188 nr. 26 Voor nevenstaande trapezium CD geldt: EF // BC // AD en AE = 2 EB en CD = 24 mm Bereken: CF, FD Opgave: boek pag 188 nr.29 a. Je krijgt het lijnstuk [ ] geg. Gebruik de stelling van Thales om met passer en liniaal het lijnstuk in 7 even lange delen te verdelen.

11 - 137 b. Construeer voor een gegeven lijnstuk [ ] het punt P [ ] zó dat AP PB = 2 3 Opgave: boek pag 188 nr.31 Twee lijnstukken [ ] en [ CD ] zijn evenwijdig. De projecties van die lijnstukken op een rechte noemen we [ A ' ] en [ ' D' ] C. Bewijs : = CD C' D'

12 Opgave: boek pag 191 nr. 32 We geven voor een C een punt D [ ] en een punt E [ BC ] Voor welke gevallen geldt : DE // AC a. AD = 35 mm BE = 32 mm DB = 28 mm EC = 40 mm b. AD = 18 mm DB = 27 mm BE = 7 cm EC = 41mm Opgave: boek pag 191 nr. 33 Voor nevenstaande C geldt: = 6 cm AC = 9 cm Bereken x zodat MN // BC.

13 - 139 Samenvatting: De Projectiestelling Als twee rechten x en y scherpe hoeken met grootte α maken dan geldt voor een lijnstuk [ ] en zijn loodrechte projectie [ A ' ] op x : A ' = cos α Stelling van Thales: De projectie op een rechte behoudt de verhouding van twee op een zelfde rechte gelegen lijnstukken. a // b // c // d snijden y in A, B, C, D snijden x in,, C', D' CD = C' D' Omgekeerde stelling van Thales: Als een rechte twee zijden van een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde. C met M [ ] en N [ AC] AM AN = MB NC MN // BC

14 Opgave: boek pag 191 nr Een balk CDA B C D heeft als afmetingen: AD DD' DC = 4 cm = 3 cm = 4,5 cm We nemen P [ A ] zó dat P = 8 mm We trekken in het vlak AA D D door P de evenwijdige met A D en noemen Q het snijpunt met AD. We trekken in het vlak CD door Q de evenwijdige met AC en noemen R het snijpunt met CD. Bereken: CR