Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als... van hun hoekgrootten... is. Nevenhoeken: Nevenhoeken zijn... hoeken met één... gemeenschappelijk. Stelling van de nevenhoeken: De bissectrices van twee nevenhoeken staan... op elkaar nevenhoeken a b en b x bissectrice van a b y bissectrice van b c c...

2 Hoeken met benen paargewijs evenwijdig ( boek pag 9-10) - - Hoeken waarvan de benen paarsgewijs evenwijdig zijn in dezelfde zin zijn... Twee hoeken waarvan de benen paarsgewijs evenwijdig in tegengestelde zin, zijn... Twee hoeken waarvan één paar benen evenwijdig is in dezelfde zin en één paar benen evenwijdig is in tegengestelde zin, zijn elkaars... Hoeken met benen paargewijs loodrecht ( boek pag 1-13) Twee scherpe hoeken of twee stompe hoeken waarvan de benen paarsgewijs loodrecht op elkaar staan zijn... Een scherpe hoek en een stompe hoek waarvan de benen paarsggewijs loodrecht op elkaar staan zijn...

3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn ( boek pag 16) Bewijs + overzicht : (zie boek pag 16) Geval 1: overeenkomstige hoeken -3 - Geval : Verwisselende binnenhoeken Beide benen... en in... zin Geval 3: Verwisselende buitenhoeken Beide benen... en in... zin Geval 4: Binnenhoeken aan eenzelfde kant Beide benen... en in... zin Geval 5: Buitenhoeken aan eenzelfde kant Één paar benen... en in... zin en één paar benen... en... zin Één paar benen... en in... zin en één paar benen... en... zin

4 Samenvatting: Middenparrallel van een driehoek -4 - MN... BC MN... BC [ MN ] is een... van de driehoek ABC Een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is... met de derde zijde en is... als die derde zijde. Omgekeerd: Een rechte, door het midden van een zijde van een driehoek evenwijdig met een andere zijde getrokken, gaat door het...van de derde zijde.

5 Hoofdstuk : Som Hoekgrootten van een veelhoek -5 - Som hoekgrootten van een driehoek Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ 180 Buitenhoek van een driehoek (boek pag 38) Een nevenhoek van een hoek van een driehoek noemen we een buitenhoek van die driehoek Stelling van de buitenhoek met symbolen o ABC Aˆ Aˆ 1 1 buitenhoek Bˆ + Cˆ Samenvatting: Som van de hoekgrootten van een convexe veelhoek Convex :. Niet-convex :.. Som hoekgrootten Voor ABC : Voor een vierhoek ABCD : Voor een n-hoek : Formule voor de grootte van een hoek van een regelmatige n-hoek...

6 Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras -6 - Samenvatting: Stelling van Pythagoras: ABC is rechthoekig in A ˆ a... ˆ ABC is rechthoekig in A ( SCHZ )...

7 Hoofdstuk 4 : Driehoeksmeting -7 - Rekenen in een rechthoekige driehoek Stelling van Pythagoras : ABC is rechthoekig in ˆ A a b + c ˆ ABC is rechthoekig in A ( SCHZ ) ( RHZ ) + ( RHZ ) 1 Goniometrische getallen tan α Lengte van de overstaande rechthoekzijde Lengte van de aanliggende rechthoekzijde b c AC AB sin α Lengte van de overstaande rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde b a AC BC cos α Lengte van de aanliggende rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde c a AB BC Let op: 0 cos α 1 en 0 sinα 1

8 -8 - Eigenschappen van de goniometrische getallen: (boek pag 98) Eigenschap 1 sin α cos (90 o -...) cos α sin (90 o -...) Eigenschap : tan α sin α cos α Eigenschap 3!!! GRONDFORMULE!!! sin α + cos α 1 sinus cosinus tangens

9 Hoofdstuk 5 : De driehoek -9 - Congruente figuren zijn figuren die Congruentiekenmerken voor driehoeken : Eerste congruentiekenmerk : ZZZ Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Derde congruentiekenmerk : HZH Gevolg: 4 e congruentiekenmerk ZHH Congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek de... zijde en één... moeten gelijk zijn.

10 Samenvatting: Soorten lijnen in een driehoek Een hoogtelijn van een driehoek is de.. uit een hoekpunt van de driehoek op de... zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het... Een middelloodlijn van een driehoek is een.. van die... De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een... van die driehoek De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in punt. Een zwaartelijn is een rechte die door een gaat en door het.. van de... zijde van die driehoek. De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het...

11 Samenvatting: Eigenschappen van de lijnen in een driehoek Bissectricestelling : Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de... zijde in stukken waarvan de lengten... zijn met de lengten van... zijden. ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC BD DC AB AC Stelling van het zwaartelijnstuk: Het zwaartepunt verdeelt elk... in twee... waarvan het ene...zo lang is als het andere [ BN ] [ CP ] ABC met zwaartelijnstukken, Z snijpunt BN en CP M snijpunt van AZ en BZ AZ AZ BZ zwaartelijn ZM ZN van ABC, CZ ZP Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek De... van een zwaartelijnstuk naar de... zijde van een rechthoekige driehoek is de... van de lengte van die schuine zijde. ABC met Aˆ 90 M is het midden van o [ BC ] AM 1 BC

12 Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales -1 - De Projectiestelling Als twee rechten x en y scherpe hoeken met grootte α maken dan geldt voor een lijnstuk [ AB ] en zijn loodrechte projectie [ A ' ] op x : A ' AB cos α Opm: De projectie bewaart het midden. Stelling van Thales: De projectie op een rechte behoudt de verhouding van twee op een zelfde rechte gelegen lijnstukken. a // b // c // d snijden y in A, B, C, D snijden x in A',,, D' AB CD A' D' Omgekeerde stelling van Thales: Als een rechte twee zijden van een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde. ABC met M [ AB] en N [ AC] AM AN MB NC MN // BC

13 Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs de... evenredig zijn. ABC, A' A' AB BC A' CA ABC... A' b) Gelijkvormigheidskenmerk voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormige als paarsgewijs... evenredig zijn en de even groot is. ABC, A' A' A' AB CA Aˆ Aˆ' ABC... A' c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken z ABC, A' Aˆ Aˆ' Bˆ Bˆ' ABC... A'

14 -14 - Toepassingen op gelijkvormigheid: schaal getekende lengte werkelijke lengte schaal

15 Hoofdstuk 8 : De Cirkel Stellingen over een koorde De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die koorde... De rechte die het middelpunt verbindt met het midden van een koorde,... op die koorde. De middelloodlijn van een koorde gaat... Middelpuntshoeken en omtrekshoeken (boek pag 303) Een middelpuntshoek van een cirkel is hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is. Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt gelegen is op de cirkel en waarvan de beide benen de cirkel snijden of waarvan één been de cirkel snijdt en een ander been de cirkel raakt.

16 Stelling van de omtrekshoek: In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. ) ) Omtrekshoek A en middelpuntshoek O staanbeide opboog ) A 1 ) O [ BC ] Stelling: Omtrekshoek van een cirkel op eenzelfde boog Stelling: Alle omtrekshoeken van een cirkel die op eenzelfde boog staan zijn even groot. ) ) ) ) A, B, C, P1 zijn omtrekshoeken die op de boog [ MP ] staan ) A ) B ) C ) P 1

17 Omtrekshoek op een halve cirkel: Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de benen door de grenspunten van een middellijn gaan, is recht. Cirkel met middellijn [ AB] Omtrekshoek P staat op halve cirkel [ AB] APB ) o 90 Omgekeerde stelling: Een punt van waaruit een lijnstuk onder een rechte hoek gezien wordt, ligt op de cirkel met dit lijnstuk als middellijn.