Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Transcriptie

1 Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten hoogstens gelegen op een afstand r van O Straal Elk lijnstuk met als grenspunten het middelpunt het middelpunt en een punt van de cirkel De lengte van elk dergelijk lijnstuk Diameter De diameter van een cirkel is de lengte van een middellijn. Koorden Opmerking: We noemen de diameter : d en de straal r Dan is d = 2r Een lijn stuk waarvan de grenspunten op de cirkel liggen Middellijn Elk koorde die door het middelpunt gaat. De drager van een dergelijke koorde. Cirkelboog. Nemen we twee punten op de cirkel, dan wordt de cirkel verdeeld in twee figuren die we cirkelbogen noemen. We noteren [ A B] Meestal is het duidelijk welk vqn de twee bogen bedoeld wordt, is dit echter niet het geval dan gebruiken we een extra punt van de boog : [ A CB ]. Symmetrieassen en symmetriemiddelpunt van een cirkel. Elke rechte door het middelpunt is een symmetrieas van de cirkel. Lengte van de cirkel en omtrek van een schijf : O = 2 π r Oppervlakte van een schijf : A = π r 2

2 Stellingen over een koorde De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die koorde... De rechte die het middelpunt verbindt met het midden van een koorde,... op die koorde. De middelloodlijn van een koorde gaat... Bewijs : zie boek pag 281. Cirkel door drie gegeven punten: Geval 1 De drie punten liggen niet op een rechte [ ] en [ BC] AB zijn... van die cirkel. De middelloodlijn van die koorden gaat door het... van de cirkel Drie middelloodlijnen hebben snijpunt :... Dus: OA... OB... OC Besluit :... Geval 2 De drie punten liggen op één rechte.... gemeenschappelijk... van de loodlijnen van [ ] en [ BC] AB. Maar: loodlijnen zijn... loodlijnen op eenzelfde rechte dus :... Besluit:...

3 Gemeenschappelijke symmetrieas van een cirkel en een rechte: Symmetrieas van een cirkel :... Symmetrieas van een rechte :... Symmetrieas van een cirkel en een rechte:... Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel: Geval 1: Twee snijpunten gemeenschappelijk OA... r De rechte a... de cirkel a is de... van de cirkel B en C zijn... opm: B en C liggen... t.o.v. x

4 Geval 2: Één punt gemeenschappelijk OA... r De rechte a... de cirkel a is de... van de cirkel Geval 3: Geen punten gemeenschappelijk OA... r Raaklijn aan een cirkel: De raaklijn in een punt van een cirkel staat... op de straal naar dit punt. De rechte die in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar dit punt staat, is... aan de cirkel. Gevolg: Door een punt van een cirkel gaat er precies... raaklijn aan die cirkel.

5 Opgave: boek pag 285 nr. 22 In een cirkel ligt een koorde van 3 cm op 8mm van het middelpunt. Bereken de straal. Tip: Maak eerst een figuur! Opgave: boek pag 285 De straal van nevenstaande cirkel is gelijk aan 10 cm. Bovendien geldt : CD = 4cm. Bereken AB. Opgave: boek pag 286 nr. 24: Bereken het gevraagde element. a.

6 b. c. Opgave: boek pag 286 nr. 30 In nevenstaande figuur is BC de raaklijn in B aan de cirkel. Bereken α

7 Middelpuntshoeken en omtrekshoeken (boek pag 303 Een middelpuntshoek van een cirkel is hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is. Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt gelegen is op de cirkel en waarvan de beide benen de cirkel snijden of waarvan één been de cirkel snijdt en een ander been de cirkel raakt. Opmerking: We zeggen dat de omtrekshoek op de boog staat In de eerste figuur staat de hoek A op boog... In de tweede figuur staat de hoek A op boog... Opgave: boek pag 303 nr. 1: Op welke bogen staan de genummerde hoeken? a.

8 b. c. d.

9 Stelling van de omtrekshoek: Instap: (zie boek pag 305 In nevenstaande figuur is A de omtrekshoek en O een middelpuntshoek. Ze staan beiden op de boog [ BC ]. Meet met je geodriehoek zo nauwkeurig mogelijk die hoeken: A =... O =... Welk verband zie je tussen die twee hoeken?... Stelling: In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. Omtrekshoek A en middelpuntshoek O staanbeide opboog Bewijs: ( Zie boek pag 306 A = 1 2 O Geval 1 : Beide benen van A snijden de cirkel [ BC ] Één been gaat door O O 1 = want:... =... want :......

10 O A en O ligt niet op een been B AC = = want :... 1 = 2 (... O A =... B AC = = want :... =... Geval 2 : één been van A raakt de cirkel en één been van A snijdt de cirkel Één been gaat door O A1 =... O1 =... bijgevo lg:... O A en O ligt niet op een been

11 O A Opgave: boek pag 307 nr. 3: Bereken α a. b. c.

12 d. e. f. g. h.

13 Stelling: Omtrekshoek van een cirkel op eenzelfde boog Instap: ( boek pag 308 In nevenstaande figuur is q een raaklijn aan de cirkel en is de middelpuntshoek O 70 o. A =... omdat:... B =... omdat:... C =... omdat:... P 1 =... omdat:... We vinden :... Stelling: Alle omtrekshoeken van een cirkel die op eenzelfde boog staan zijn even groot. A, B, C, P1 zijn omtrekshoeken die op de boog [ MP ] staan A Bewijs : zie boek pag 308 Opgave: boek pag 309 nr. 4: Bereken α a. = B = C = P 1 b.

14 c. d. e. f.

15 Opgave: boek pag 309 nr. 5: Bereken α a. b. c. d. e. f.

16 g. h. Opgave: boek pag 309 nr. 6: Welke genummerde hoeken zijn even groot? a. b. c. d.

17 Opgave: boek pag 310 nr. 7: Bereken de hoekgrootten van de ABC a. b. c. d. Opgave: boek pag 310 nr. 8 De rechte x raakt de cirkel. Bereken α.

18 Opgave: boek pag 311 nr. 15: Bereken x in de volgende figuren a. b. AP is een raaklijn in A. Omtrekshoek op een halve cirkel: Instap: ( zie boek pag 311 Meet de hoek P : P = Teken een punt Q op de cirkel en meet de hoek A QB =... A Q B : Heeft iedereen in de klas dezelfde waarde gevonden?... Wat mag je nu besluiten?... Stelling: Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de benen door de grenspunten van een middellijn gaan, is recht. Cirkel met middellijn [ AB] Omtrekshoek P staat op halve cirkel [ AB] APB o = 90

19 Bewijs: APB 1 = AOB 2 1 o = o = 90 Omgekeerde stelling: Een punt van waaruit een lijnstuk onder een rechte hoek gezien wordt, ligt op de cirkel met dit lijnstuk als middellijn. Opgave: boek pag 313 nr. 17: Welke hoeken in de nevenstaande figuur zijn recht? Opgave: boek pag 313 nr.18: Bereken α a.

20 b. c. d.