1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

Transcriptie

1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie handhaven, tenzij anders vermeld. We hebben een driehoek, ABC, met de zijden BC = a, CA = b en AB = c, en de hoeken CAB = α, ABC = β en BCA = γ. Bovendien heeft de driehoek een ingeschreven cirkel met straal r en middelpunt I en een omgeschreven cirkel met straal R en middelpunt O. En we definiëren s = (a + b + c). We zullen de notatie [XY Z] gebruiken voor de oppervlakte van XY Z. En voor een gegeven punt P noteren we de afstanden tot A, B en C gewoon met resp. P A, P B en P C en de afstanden tot de zijden BC, CA en AB met resp. P a, P b en P c. En natuurlijk kennen we alle ongelijkheden die niet noodzakelijk meetkundig zijn, zoals de rekenkundig-meetkundig-gemiddelde ongelijkheid, de herschikkingsongelijkheid, de stelling van Muirhead, Jensen s ongelijkheid en de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid. Oppervlakteformules De formule van Heron Voor de oppervlakte [ABC] geldt [ABC] = s(s a)(s b)(s c). Andere oppervlakteformules Ook kunnen we de oppervlakte [ABC] uitdrukken als [ABC] = d aa = d bb = d cc, met d a, d b en d c de lengtes van hoogtelijnen zijn vanuit resp. A, B en C, of als De sinus regel en de cosinus regel Deze regels worden gegeven door a sin α = [ABC] = rs, [ABC] = abc 4R. b sin β = c sin γ = R, a = b + c bc cos α, en natuurlijk ook alle permutaties van de laatste. Opgave.. Laat d a, d b en d c de lengtes van hoogtelijnen zijn vanuit resp. A, B en C, en laat P a, P b en P c de afstanden zijn van een punt P, liggende binnen de driehoek, tot

2 resp. de zijden a, b en c. Bewijs dat d a P a + d b P b + d c P c 9. Hieruit volgt bijvoorbeeld ook d a + d b + d c 9r. Opgave.. Bewijs dat a (s b)(s c) + b (s c)(s a) + c (s a)(s b) 6R r. Hint: gebruik de ongelijkheid van Schur. Opgave.3. Bewijs dat van alle driehoeken met een gegeven omtrek de gelijkzijdige driehoek de grootste oppervlakte heeft. Opgave.4. Zij ABCD een raaklijnenvierhoek. Bewijs dat 4r s, waarin r de straal van de ingeschreven cirkel en s de halve omtrek is. Opfrissing: Een vierhoek met zijden a, b, c en d is een raaklijnenvierhoek dan en slechts dan als a + c = b + d. 3 Driehoeksongelijkheid De driehoeksongelijkheid Voor de lengtes van de zijden a, b en c van een driehoek, geldt dat a + b > c, b + c > a en c + a > b. De ongelijkheid van Ptolemaeus Zij een vierhoek gegeven met zijden a, b, c en d en met diagonalen e en f. Dan zegt de stelling van Ptolemaeus dat ac + bd ef. Gelijkheid treedt op dan en slechts dan als de vierhoek een koordenvierhoek is. Opgave 3.. Zij ABC een driehoek met D het midden van BC. Bewijs op twee manieren, met de driehoeksongelijkheid en met de ongelijkheid van Ptolemaeus, dat AD > (AB + AC). Opgave 3.. Bekijk de convexe vierhoek ABCD met M en N de middens van respectievelijk AD en BC. Bewijs dat MN = (AB + CD) dan en slechts dan als AB CD. Opgave 3.3. Zij a, b en c de zijden van een driehoek. Bewijs dat ab + bc + ca a + b + c < (ab + bc + ca).

3 Opgave 3.4. We hebben een vierkant met zijden van lengte. Bovendien ligt op elke zijde een punt, zeg A, B, C en D respectievelijk. Bewijs, met de notatie AB = a, BC = b, CD = c en DA = d, dat a). a + b + c + d 4,en b). a + b + c + d 4. Opgave 3.5. Voor welk punt P binnen een convexe vierhoek ABCD is de som P A+P B + P C + P D minimaal? Opgave 3.6. Bewijs dat voor alle positieve reële getallen a, b en c geldt dat a ab + b + b bc + c a + ac + c. Opgave 3.7. Zij ABC een driehoek met een punt A dat niet samenvalt met een van de hoekpunten. Definieer L en M als de projecties van A op respectievelijk A B en A C. Voor welke A is de lengte LM maximaal? Opgave 3.8. Zij a, b en c de zijden van een driehoek. Bewijs dat er ook een driehoek bestaat met de zijden /(a + b), /(b + c) en /(c + a). Opgave 3.9. Laat a, a, a 3 en a 4 de zijdes zijn van een vierhoek met halve omtrek s. Bewijs dat 4 s + a i 9 (s ai )(s a j ), i= en bepaal wanneer gelijkheid geldt. i<j 4 4 Transformatie van Ravi De transformatie van Ravi Er bestaat een driehoek waarvan de lengtes van de zijden a, b en c zijn, dan en slechts dan als er x, y, z R >0 bestaan zodat a = y + z, b = z + x en c = x + y. Na zo n transformatie hebben we s = x + y + z en ziet de formule van Heron er bijvoorbeeld uit als [ABC] = xyz(x + y + z). Opgave 4.. Bewijs dat Opgave 4.. Bewijs dat a a + b + c + b a b + c + c a + b c 3. 8(s a)(s b)(s c) abc. 3

4 Opgave 4.3. Bewijs dat s a + s b + s c 9 s. Opgave 4.4. Zij Γ een gegeven cirkel. Dit is de ingeschreven cirkel van een driehoek met een rechte hoek en oppervlakte S. Eveneens is Γ de omgeschreven cirkel van een driehoek die een rechte hoek heeft en een oppervlakte S. Bewijs dat S S 3 +. Franse Selectie 05- Opgave 4.5. Bewijs dat a b(a b) + b c(b c) + c a(c a) 0. IMO 983 Opgave 4.6. Bewijs dat a 3 + b 3 + c 3 + 3abc a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) > a 3 + b 3 + c 3 + abc. Opgave 4.7. Zij a, b en c de zijden van een driehoek met omtrek en n geheel en groter of gelijk aan. Bewijs dat n (a n + b n ) n + (b n + c n ) n + (c n + a n ) n < + n. 5 Ongelijkheden van Euler en Leibniz De stelling van Euler Voor R en r geldt R r. Met gelijkheid dan en slechts dan als O = I, oftewel dan en slechts dan als ABC gelijkzijdig is. De ongelijkheid van Leibniz Er geldt dat 9R a + b + c. Met gelijkheid dan en slechts dan als O = Z met Z het zwaartepunt, oftewel dan en slechts dan als ABC gelijkzijdig is. Opgave 5.. Zij gegeven dat R =. Bewijs dat a + b + c abc. Opgave 5.. Bewijs dat 9R a + b + c 8rR. 4

5 Opgave 5.3. Bewijs dat Opgave 5.4. Bewijs dat Wanneer geldt gelijkheid? Opgave 5.5. Bewijs dat Opgave 5.6. Bewijs dat 4 3[ABC] ab + bc + ca. r s 3 3 R. cos α + cos β + cos γ [ABC] 9abc a + b + c. 5

6 6 Extra opgaven Wat we vandaag hebben gezien: De formule van Heron Voor de oppervlakte[abc] geldt [ABC] = s(s a)(s b)(s c) = xyz(x + y + z). Wat gave manipulatieve formules a sin α = [ABC] = hb, [ABC] = rs, [ABC] = abc 4R. b sin β = c sin γ = R, De driehoeksongelijkheid Voor de lengtes van de zijden a, b en c van een driehoek, geldt dat a + b > c, b + c > a en c + a > b. De ongelijkheid van Ptolemaeus Zij een vierhoek gegeven met zijden a, b, c en d en met diagonalen e en f. Dan zegt de stelling van Ptolemaeus dat ac + bd ef. Gelijkheid treedt op dan en slechts dan als de vierhoek een koordenvierhoek is. De transformatie van Ravi Er bestaat een driehoek waarvan de lengtes van de zijden a, b en c zijn, dan en slechts dan als er x, y, z R >0 bestaan zodat a = y + z, b = z + x en c = x + y. De stelling van Euler Voor R en r geldt R r. Met gelijkheid dan en slechts dan als O = I, oftewel dan en slechts dan als ABC gelijkzijdig is. De ongelijkheid van Leibniz Er geldt dat 9R a + b + c. Met gelijkheid dan en slechts dan als O = Z met Z het zwaartepunt, oftewel dan en slechts dan als ABC gelijkzijdig is. En nog een mooie ongelijkheid: 6

7 De ongelijkheid van Erdös-Mordell Voor elk punt P binnen de driehoek ABC geldt dat P A + P B + P C (P a + P b + P c ). Met gelijkheid dan en slechts dan als ABC gelijkzijdig is en P = O. Opgave 6.. De bissectrice van BAC van een scherphoekige ABC snijdt de omgeschreven cirkel in A. De punten B en C worden op eenzelfde manier gedefinieerd. A 0 is het snijpunt van de lijn AA en de buitenbissectrices van de hoeken B en C. De punten B 0 en C 0 worden op eenzelfde manier gedefinieerd. Bewijs dat. [A 0 B 0 C 0 ] = [AC BA CB ];. [A 0 B 0 C 0 ] 4[ABC]. Hier duiden de rechte haken wederom de oppervlakte van een veelhoek aan. IMO 89- Opgave 6.. De bissectrices van de hoeken in A, B en C snijden de overstaande zijden in resp. A, B en C. Bewijs dat 4 < AI BI CI AA BB CC 8 7. IMO 9- Opgave 6.3. Zij P een willekeurig punt binnen ABC. Bewijs dat ten minste één van de hoeken P AB, P BC en P CA kleiner dan of gelijk aan 30 is. Opgave 6.4. Zij P een punt binnen de driehoek ABC. Bewijs dat IMO 9-5 P A a + P B b + P C c R. Amerikaanse Selectie