Meetkundige ongelijkheden Groep A

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Meetkundige ongelijkheden Groep A"

Maurits van den Broek
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie handhaven, tenzij anders vermeld. We hebben een driehoek, ABC, met de zijden BC = a, CA = b en AB = c, en de hoeken CAB = α, ABC = β en BCA = γ. De lengtes van de hoogtelijnen vanuit A, B en C duiden we aan met h a, h b en h c. Bovendien heeft de driehoek een ingeschreven cirkel met straal r en middelpunt I en een omgeschreven cirkel met straal R en middelpunt O. En we definiëren s = 1 (a + b + c). We zullen de notatie [XY Z] gebruiken voor de oppervlakte van XY Z. En voor een gegeven punt P noteren we de afstanden tot A, B en C gewoon met resp. P A, P B en P C en de afstanden tot de zijden BC, CA en AB met resp. P a, P b en P c. De formule van Heron Voor de oppervlakte [ABC] geldt [ABC] = s(s a)(s b)(s c). Bewijs: Door te gebruiken dat s = 1 (a + b + c) kunnen we eenvoudig berekenen dat s(s a) + (s b)(s c) = bc en als we ook gebruiken dat a = (c d) + h c en b = d + h c, waarbij de projectie van C op AB dit lijnstuk heeft opgedeeld in d en c d, vinden we ook dat Nu merken we op dat s(s a) (s b)(s c) = 1 (b + c a ) = dc. 4s(s a)(s b)(s c) = (s(s a) + (s b)(s c)) (s(s a) (s b)(s c)) = (bc) (dc) = (b d )c = (h c c) = 4[ABC]. Hieruit concluderen we dat [ABC] = s(s a)(s b)(s c). 1

We hebben een driehoek, ABC, met de zijden BC = a, CA = b en AB = c, en de hoeken CAB = α, ABC = β en BCA = γ. De lengtes van de hoogtelijnen vanuit A, B en C duiden we aan met h a, h b en h c.

2 De sinusregel en de cosinusregel Deze regels worden gegeven door a sin α = b sin β = c sin γ = R, a = b + c bc cos α, en natuurlijk ook alle permutaties van de laatste. Bewijs: De sinusregel leiden we af door de omgeschreven cirkel van ABC te tekenen, de middellijn met als een van de eindpunten B en het andere eindpunt A. Omdat BA C = BAC = α of BA C = 180 CAB = 180 α, kunnen we in driehoek A BC afleiden dat sin α(= sin 180 α) = a R. Om de cosinusregel te bewijzen tekenen we de projectie van C op AB. Hierdoor wordt c opgedeeld in b cos α en c b cos α. Een keer Pythagoras levert op dat de hoogte in het kwadraat gelijk is aan b (b cos α) en nog een keer Pythagoras levert ons dan dat a = (c b cos α) + b (b cos α) = b + c bc cos α. Andere oppervlakteformules Ook kunnen we de oppervlakte [ABC] uitdrukken als [ABC] = 1 h aa = 1 h bb = 1 h cc, of als [ABC] = rs, [ABC] = abc 4R. Bewijs: De eerste opmerking hoeven we niet te bewijzen. Voor de tweede claim delen we ABC op in de driehoeken ABI, BCI en CAI. Als we van deze driehoek apart de oppervlakte uitrekenen vinden we dat [ABC] = [ABI] + [BCI] + [CAI] = 1 cr + 1 ar + 1 br = rs. Voor de laatste formule gebruiken we de sinusregel: [ABC] = 1 ah a = 1 abc ab sin γ = 4R.

Omdat BA C = BAC = α of BA C = 180 CAB = 180 α, kunnen we in driehoek A BC afleiden dat sin α(= sin 180 α) = a R. Om de cosinusregel te bewijzen tekenen we de projectie van C op AB.

3 Opgave 1 Omdat een driehoek altijd binnen zijn omgeschreven cirkel ligt weten we dat [ABC] πr. Bewijs nu dat [ABC] R. Wanneer geldt gelijkheid? Opgave We definiëren r a, r b en r c als de stralen van de aangeschreven cirkels van ABC aan respectievelijk de zijden BC, CA en AB. Bewijs dat 1 r a + 1 r b + 1 r c = 1 r, Opgave 3 Bewijs dat van alle driehoeken met een gegeven omtrek de gelijkzijdige driehoek de grootste oppervlakte heeft. (Hint: we willen een ongelijkheid met aan de ene kant de oppervlakte en aan de andere kant een functie van de omtrek.) Opgave 4 Bewijs dat voor alle positieve reële getallen a, b en c geldt dat a ab + b + b bc + c a + ac + c. Opgave 5 Bewijs dat 9r (h a + h b + h c ). Opgave 6 Met de notatie als in opgave : Bewijs dat r a + r b + r c = 4R + r. Opgave 7 Zij ABCD een raaklijnenvierhoek. Bewijs dat 4r s. Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek met een ingeschreven cirkel. Je mag zonder bewijs gebruiken dat een vierhoeken een raaklijnenvierhoek is dan en slechts dan als a + c = b + d, waar de letters voor de lengtes van de zijden in de meest logische volgorde. Opgave 8 Bewijs dat h a P a + h b P b + h c P c 9. 3

Bewijs dat 1 r a + 1 r b + 1 r c = 1 r, Opgave 3 Bewijs dat van alle driehoeken met een gegeven omtrek de gelijkzijdige driehoek de grootste oppervlakte heeft.

4 Euler De stelling van Euler Voor R en r geldt R r. Met gelijkheid dan en slechts dan als ABC gelijkzijdig is. Bewijs: Veel bewijzen van de stelling van Euler hebben als doel om te laten zien dat OI = R(R r), met O het middelpunt van de omgeschreven driehoek en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Vandaag gaan we het echter net wat anders aan pakken. Met de gebruikelijke notatie en de transformatie van Ravi zien we dat abc = (x + y)(y + z)(z + x) xy yz zx = 8xyz. Met de formule van Heron weten we echter dat [ABC] = xyz(x + y + z) = xyzs en we weten ook nog dat [ABC] = abc en [ABC] = rs. Als we dit combineren vinden we 4R R = abc 4[ABC] xyz [ABC] = [ABC] s = r. Gelijkheid hebben we alleen als x = y = z, en in dat geval hebben we ook dat a = b = c. Zoals je ziet maken we hierbij weer gebruik van de oppervlakte formules die we eerder deze week hebben gezien. Twijfel je of je ze nog allemaal weet, pak dan die hand-out er nog even bij. Opgave 9 Zij gegeven dat R = 1. Bewijs dat a + b + c abc. Opgave 10 Bewijs dat 4 3[ABC] ab + bc + ca. Opgave 11 Bewijs dat Wanneer geldt er gelijkheid? min(ab, bc, ca) 8r. Opgave 1 Bewijs dat Wanneer geldt gelijkheid? r s 3 3 4

Vandaag gaan we het echter net wat anders aan pakken. Met de gebruikelijke notatie en de transformatie van Ravi zien we dat abc = (x + y)(y + z)(z + x) xy yz zx = 8xyz.

5 Opgave 13 Bewijs dat cos α + cos β + cos γ 3. 5

Vergelijkbare documenten

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus