Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)

Transcriptie

1 - 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte evenwijdig met BC en noem die rechte a Trek de halfrechte [BA en de halfrechte [CA. De drie hoeken die ontstaan in het punt A noemen we A ˆ ˆ 1, Aˆ 2, A3 De oorspronkelijke hoek  van de driehoek noemen we  4 B ˆ... A ˆ want...hoeken van a... BC met snijlijn... 3 C ˆ... Aˆ want... hoeken van a... BC met snijlijn A ˆ... Aˆ want... 2 (1) Als we de uitspraken lid aan lid optellen dan krijgen we: B ˆ + Cˆ + Aˆ ˆ ˆ 4 = A3 + A1 + (2) We weten echter ook : A ˆ ˆ ˆ 3 + A1 + A2 =... want... Uit (1) en (2) volgt:... Aˆ 2

2 Opgave pag 37 nr Welke soort driehoek is ABC als je weet dat o Aˆ = 55 en o Bˆ = 35 :... Let uit:... Welke soort driehoek is MNP als je weet dat o Mˆ = 80 en o Pˆ = 50 :... Let uit:... Opgave pag 37 nr.3 Een gelijkbenige driehoek heeft een hoek van 98 o. Bereken de overige hoekgrootten Opgave pag 37 nr. 4 Gegeven: Voor een ABC geldt : Gevraagd: Bereken Oplossing: Aˆ, Bˆ en Cˆ Aˆ = 2 Bˆ en Bˆ = 3 Cˆ Opgave pag 37 nr. 5 a. Bereken  b. Bereken BA ˆ C

3 Opgave pag 37 nr. 6: Onderstaande rechthoekige driehoek bevat één gelijkzijdige driehoek, twee gelijkbenige driehoeken en één rechthoekige driehoek. Bereken de hoeken. A ˆ =... Bˆ =... C ˆ... ˆ 1 = C2 =... D ˆ... ˆ 1 = D2 =... E ˆ 1 =... Eˆ 2 =... F ˆ 1 =... Fˆ 2 =... F ˆ 3 =... Fˆ 4 =... Opgave pag 38 nr.8: a. Geg a // BC. Bereken  b. 1 Gegeven: DE // BC. Bereken ˆD 1 Opgave pag 38 nr.9 a. Is AD // BC? Zo ja, waarom? b. Is MN // AC? Zo ja, waarom?

4 Buitenhoek van een driehoek (boek pag 38) Definitie: Een nevenhoek van een hoek van een driehoek noemen we een buitenhoek van die driehoek Hoeveel buitenhoeken heeft een driehoek?... Stelling: De grootte van een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de grootten van de niet aanliggende-aanliggende binnenhoeken Stelling met symbolen ABC Aˆ Aˆ 1 1 buitenhoek = Bˆ + Cˆ Bewijs: We noemen A de binnenhoek van ABC met hoekpunt A. Dan geldt: (1) A ˆ + Aˆ 1 = want... (2) A ˆ + Bˆ + Cˆ =... want... uit (1) en (2) volgt: A ˆ + Aˆ 1 =... Gevolg: A ˆ 1 =... Een buitenhoek van een driehoek is... dan elke niet-aanliggende binnenhoek.

5 Convexe veelhoeken ( boek pag 34) Som van de hoekgrootten van een convexe veelhoek: ( boek pag 43) We steunen op de som van de hoekgrootten van een driehoek is 180 o Convexe Vierhoek: Som hoekgrootten van driehoek 1 Som hoekgrootten van driehoek 2 Som hoekgrootten van driehoek 1 + driehoek 2 Besluit: Som hoekgrootten van de convexe vierhoek =...

6 Convexe Vijfhoek: Som hoekgrootten van driehoek 1 Som hoekgrootten van driehoek 2 Som hoekgrootten van driehoek Som hoekgrootten van driehoek 1 + driehoek 2 + driehoek 3 Besluit: Som hoekgrootten van de convexe vijfhoek =... Convexe Zeshoek: Som hoekgrootten van driehoek 1 Som hoekgrootten van driehoek 2 Som hoekgrootten van driehoek 3 Som hoekgrootten van driehoek 4 Som hoekgrootten van driehoek 1 + driehoek 2 + driehoek 3 + driehoek 4 Besluit: Som hoekgrootten van de convexe zeshoek =...

7 Algemeen: Convexe n-hoek: Som hoekgrootten van driehoek 1 Som hoekgrootten van driehoek 2 Som hoekgrootten van driehoek 3... Som hoekgrootten van driehoek n Som hoekgrootten van driehoek 1 + driehoek driehoek (n-2) Algemeen besluit: Som hoekgrootten van de convexe n- hoek =... Opgave pag 46 nr. 24 Een hoek van een convexe zevenhoek meet 100 o. De andere zijn onderling even groot. Hoe groot? Oplossing: We weten uit de opgave dat het hier gaat over een convexe... Dus : Som van de hoekgrootten is... (1) We weten ook dat één hoek 100 o is De andere hoeken zijn even groot. Het aantal andere hoeken =... Dus : we kunnen de som van de hoekgrootten schrijven als :...(2) Uit (1) en (2) volgt :......

8 Opgave pag 46 nr In een vijfhoek meet één hoek 90 o, een ander hoek meet 21 o meer dan het gemiddelde van de vijf hoekgrootten en de overige drie hoeken zijn even groot. Bereken alle hoekgrootten. Oplossing: Opgave pag 46 nr. 27 De som van de hoekgrootten van een convexe veelhoek is Hoeveel hoekpunten telt die veelhoek? Oplossing: Opgave pag 46 nr. 28 Stel een formule op voor de grootte van een hoek van een regelmatige n-hoek.

9 Opgave pag 46 nr Een hoek van een regelmatige veelhoek meet 160 o. Hoeveel zijden telt die veelhoek? Oplossing: Tip: Bij een regelmatige veelhoek zijn alle hoeken... Bij een regelmatige veelhoek is het aantal zijden... Samenvatting: Convex :. Niet-convex :.. Som hoekgrootten Voor ABC : Voor een vierhoek ABCD : Voor een n-hoek : Formule voor de grootte van een hoek van een regelmatige n-hoek...

10 Opgave pag 47 nr In een gelijkbenige driehoek is een hoekgrootte dubbel zo groot als een andere. Bereken alle hoekgrootten. Geef alle mogelijke oplossingen.... Opgave pag 47 nr. 36 In een driehoek is een hoekgrootte gelijk aan het verschil van de twee andere. Bewijs dat die driehoek rechthoekig is. Opgave pag 47 nr. 37 Construeer een gelijkbenige driehoek ABC, waarbij de tophoek  36 groot is. Construeel de bissectrice van Bˆ. Welke lijnstukken zijn even lang? Bewijs dit.