Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2

Transcriptie

1 Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door T 2 " genoteerd als T 2 T 1. Punten in het vlak duiden we aan met hoofdletters, lijnen met kleine letters. Als A en B verschillende punten zijn, noteren we de lijn door A en B als A + B. d(a; B) is de afstand tussen A en B. Definitie 1.1 Een transformatie J van het vlak heet een isometrie (ook wel congruentie) als voor elk tweetal punten A, B geldt dat d(j (A); J (B)) = d(a; B). We presenteren nu enige fundamentele eigenschappen van isometrieën. Stelling 1.2 Elke isometrie J voert lijnen in lijnen over. Bewijs. Liggen A, B en C in deze volgorde op één lijn, dan geldt d(a; B) + d(b; C) = d(a; C). Omdat J een isometrie is, geldt dan ook d(j (A); J (B)) + d(j (B); J (C)) = d(j (A); J (C)). Dit kan alleen als ook J (A), J (B) enj (C) in deze volgorde op één lijn liggen. Op soortgelijke manier bewijs je Stelling 1.3 Laat de isometrie J de verschillende punten A en B invariant, dan laat J ook elk ander punt van A + B invariant. Bewijs. Oefening. Stelling 1.4 Laat de isometrie J drie punten A, B en C, niet op één lijn, invariant, dan is J de identiteit. Bewijs. (Zie fig. 1) J laat alle punten van de drie verbindingslijnen A + B, B + C en C + A invariant. Door een willekeurig punt D is altijd een lijn te trekken die minstens twee van deze drie lijnen snijdt. Omdat deze punten invariant blijven, geldt hetzelfde voor elk punt op de verbindingslijn, dus ook voor D. Figuur 1. 1

2 Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2 J 1 laat de drie punten invariant en is dus de identiteit. 2 Lijnspiegelingen Bij elke lijn l is er precies één isometrie die alle punten van l invariant laat, maar niet de identiteit is. Dit is de lijnspiegeling in l. Notatie: S l. Er geldt: 1. S l (A) =A desda A l; 2. S 2 l = id (de identiteit). Hieruit volgt meteen S l = S 1 l ; 3. bij elk tweetal verschillende punten A en B is er precies één lijn l waarvoor S l (A) = B (en dus ook A = S 2 l (A) = S l(b)). l heet de middelloodlijn van AB; 4. als A B, geldt d(a; C) = d(b; C) desda C ligt op de middelloodlijn van AB. Lijnspiegelingen zijn de bouwstenen van de vlakke isometrieën,en wel in de volgende zin: Stelling 2.1 Elke vlakke isometrie J is te schrijven als de opeenvolging van ten hoogste drie lijnspiegelingen. Bewijs. (Zie fig. 2) Kies drie punten A, B en C, nietopéén lijn. Definieer J 1 = id als A = J (A), en J 1 = S l als A J (A), waarbij l de middelloodlijn is van AJ (A). Definieer verder J 2 = J 1 als J (B) = J 1 (B) enj 2 = S m J 1 als J 1 (B) J (B), met m de middelloodlijn van J (B) enj 1 (B). Merk nu op dat J (A) =J 1 (A) op m ligt, want d(j 1 (B); J 1 (A)) = d(a; B) =d(j (A); J (B)) = d(j 1 (A); J (B)) : Hieruit volgt J 2 (A) = S m J 1 (A) = J 1 (A) = J (A). Gezien de constructie geldt ook J 2 (B) = J (B). Als bovendien geldt J 2 (C) =J (C), dan is J = J 2. Als J 2 (C) J (C), dan is de lijn n = J (A) +J (B) de middelloodlijn van J 2 (C) enj (C), dus dan is J = S n J 2. Figuur 2. 2

3 Opgave 2.1 (a) Een lijn l en twee punten A, B aan dezelfde kant van l zijn gegeven. Bepaal een punt X l zo, dat AX en BX gelijke hoeken maken met l. (b) Laat l een lijn en C 1, C 2 twee cirkels aan dezelfde kant van l zijn. Bepaal een punt X l zo, dat één van de raaklijnen aan C 1 vanuit X dezelfde hoek met l maakt als één van de raaklijnen aan C 2 vanuit X. (c) A en B zijn twee punten aan dezelfde kant van een lijn l. Bepaal een punt X l zo, dat de hoek tussen AX en l tweemaal zo groot is als de hoek tussen BX en l. (Zie fig. 3.) Figuur 3. Opgave 2.2 Gegeven zijn drie lijnen l 1, l 2 en l 3 door één punt. Construeer een driehoek ABC zo, dat l 1, l 2 en l 3 de bissectrices van de driehoek zijn. Opgave 2.3 We hebben drie lijnen l 1, l 2 en l 3 door één punt, alsmede een punt A 1 op l 1. Construeer een driehoek ABC zo, dat A 1 het midden is van de zijde BC en l 1, l 2 en l 3 de middelloodlijnen van de zijden zijn. Opgave 2.4 Construeer een vierhoek ABCD als gegeven zijn de lengten van de vier zijden, terwijl bovendien de diagonaal AC hoek A doormidden deelt. Opgave 2.5 Construeer een vierhoek ABCD die een ingeschreven cirkel heeft (een zogenaamde raaklijnenvierhoek) als de lengten van de zijden AB en AD en bovendien de hoeken B en D gegeven zijn. Opgave 2.6 Bij een rechthoekig biljart zijn de zijden opeenvolgend z 1, z 2, z 3 en z 4. Een bal wordt vanuit punt A weggestoten in een bepaalde richting, treft achtereenvolgens de zijden z 1, z 2, z 3 en z 4 en bereikt daarna weer het punt A. Bepaal alle punten A en alle vertrekrichtingen vanuit A waarvoor dit mogelijk is, en bepaal de lengte van het traject dat de bal heeft doorlopen. (De bal denken we puntvormig, terwijl bij terugkaatsen tegen een zijde `hoek van inval'=`hoek van terugkaatsing' geldt.) Opgave 2.7 (a) H is het hoogtepunt van driehoek ABC. H 1, H 2 en H 3 zijn de beelden van H bij spiegeling in de zijden van ABC. Toon aan dat ze op de omgeschreven cirkel van ABC liggen. (b) Als H 1, H 2 en H 3 gegeven zijn, vind dan driehoek ABC terug. Opgave 2.8 Bewijs dat alle eventuele symmetrie-assen van een veelhoek door één punt gaan. Opgave 2.9 S 1 en S 2 zijn spiegelingen in verschillende lijnen l 1 en l 2. Bewijs dat S 1 S 2 = S 2 S 1 desda de lijnen l 1 en l 2 snijden elkaar loodrecht. (Het samenstellen van spiegelingen - of algemener, isometrieën - is dus niet commutatief!) 3

4 3 Translaties De samenstelling van spiegelingen in evenwijdige lijnen l 1 en l 2 heet een translatie. Is X het beeld van X, dan zijn lengte en richting van het lijnstuk XX onafhankelijk van de keuze van X. De lengte is tweemaal de afstand van l 1 en l 2, en de richting is loodrecht opl 1 en l 2, gericht van l 1 naar l 2. S l1 S l2 = S l3 S l4 dan en slechts dan wanneer l 3 en l 4 evenwijdig zijn aan l 2 (en l 1 ) en als de gerichte afstand van l 1 tot l 2 gelijk is aan die van l 3 tot l 4. Men kan dus bij het ontbinden van een translatie in twee lijnspiegelingen één van beide spiegelassen door een van tevoren gegeven punt kiezen. Figuur 4. Opgave 3.1 Gegeven zijn twee steden A en B aan weerszijden van een kanaal. Waar moet je een brug over het kanaal bouwen, opdat de weg van A naar B zo kort mogelijk is? De brug moet loodrecht op het kanaal staan. Figuur 5. Opgave 3.2 Beantwoord dezelfde vraag als er meerdere kanalen overbrugd moeten worden. Opgave 3.3 Bepaal de verzameling van alle punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven snijdende lijnen gelijk is aan een gegeven waarde. Opgave 3.4 ABCD is een vierhoek, M is het midden van AD, N is het midden van BC. Bewijs dat AB CD als de lengte van MN gelijk is aan de helft van de som van de lengten van AB en CD. 4

5 4 Rotaties De samenstelling van twee spiegelingen in snijdende lijnen l 1 en l 2 heet een rotatie. Het snijpunt S van l 1 en l 2 heet het centrum, en is ff de hoek tussen l 1 en l 2, dan geldt voor elk punt X S met beeldpunt X : XSX = 2ff. 2ff heet de rotatiehoek. Meet men alle hoeken steeds met dezelfde draaizin, bijvoorbeeld tegen de wijzers van de klok in, dan is ff tot op veelvouden van 2ß na bepaald. Figuur 7. Twee rotaties R 1 = S l2 S l1 en R 2 = S l4 S l3 zijn gelijk desda l 1, l 2, l 3 en l 4 gaan door één punt, terwijl bovendien de gerichte hoeken (l 1 ;l 2 )en (l 3 ;l 4 )opveelvouden van ß na gelijk zijn. Bij het ontbinden van een rotatie in twee spiegelingen kan men dus één van de twee spiegelassen vrij door het centrum kiezen. Hebben de rotaties S l2 S l1 en S l4 S l3 hetzelfde centrum, dan kan men l 2 = l 3 kiezen. De samenstelling S l4 S l3 S l2 S l1 = S l4 S l1 is dan een rotatie met als rotatiehoek de som van de hoeken van de samenstellende rotaties. Hebben de rotaties verschillende centra, dan kan men ook l 2 = l 3 kiezen. Ook dan is S l4 S l3 S l2 S l1 = S l4 S l1. De rotatiehoek van de resulterende transformatie is ook nu weer de som van de rotatiehoeken van de componenten. Is ff + fi 0modß, dan is l 1 l 4 en de resulterende isometrie is een translatie. De rotatiehoek is dan dus 2(ff + fi) 0mod2ß. Figuur 8. Op analoge wijze toont men aan dat de samenstelling van een rotatie en een translatie een rotatie is. In het algemeen geldt dus dat de opeenvolging van elk even aantal lijnspiegelingen een rotatie, een translatie of de identiteit is. Figuur 9. Voert een rotatie R een gericht lijnstuk AB over in een gericht lijnstuk A B, dan vindt men het rotatiecentrum S als snijpunt van de middelloodlijnen m 1 en m 2 van AA en BB. De rotatiehoek is de gerichte hoek tussen de dragers van AB en A B. Is de rotatiehoek gelijk aan ß, dan is het rotatiecentrum S het gemeenschappelijke middelpunt van de lijnstukken AA en BB. De rotatie R heet dan de puntspiegeling in S, en voor elk punt X is S het midden van XR(X). 5

6 Voorbeelden: Probleem 1. Gegeven zijn vijf punten O 1,..., O 5. Zoek een vijfhoek ABCDE zo, dat de vijf gegeven punten de middens van de zijden zijn. Oplossing. (Zie ook fig. 10) Puntspiegeling in O 1 voert A over in B, puntspiegeling in O 2 voert B over in C, etcetera. De opeenvolging van de vijf puntspiegelingen voert A dus in zichzelf over. Deze opeenvolging is zelf echter ook weer een puntspiegeling (de rotatiehoek is 5ß ß mod 2ß), en A is blijkbaar het rotatiecentrum. Men vindt A daarom door een willekeurig punt X te spiegelen in O 1,..., O 5. Is X het beeld, dan is A het midden van XX. Heeft men A, dan vindt men B,..., E ook weer door puntspiegelingen. Figuur 10. Probleem 2. Op de zijden van een willekeurige driehoek construeren we naar buiten toe gelijkzijdige driehoeken. Bewijs dat de centra O 1, O 2 en O 3 van deze driehoeken zelf ook een gelijkzijdige driehoek vormen. Oplossing. Gebruik de notatie R(S; ff) voor de rotatie met centrum S en rotatiehoek ff. R(O 3 ; 2ß 3 )R(O 1; 2ß 3 )R(O 2; 2ß )(A) =A, 3 dus A is het centrum van deze samengestelde rotatie. De rotatiehoek van de samenstelling is echter 2ß 0mod2ß, dus de samenstelling is de identiteit. Dit betekent R(O 1 ; 2ß 3 )R(O 2; 2ß 3 )=R(O 3; 2ß ). 3 Deze samenstelling is echter ook een rotatie met als centrum de top van een driehoek met basis O 1 O 2 en basishoeken 1 2ß = ß. Het centrum is het punt O 3, dus O 1 O 2 O 3 is gelijkzijdig. Figuur 11. Opgave 4.1 Twee cirkels snijden elkaar in een punt A. Bepaal een lijn door A zo, dat de cirkels op die lijn gelijke koorden uitsnijden. Figuur 12. 6

7 Figuur 13. Opgave 4.2 Stel dat de figuur F minstens twee verschillende symmetriecentra heeft. (Een punt S heet symmetriecentrum van F als F in zichzelf overgaat bij puntspiegeling in S.) Bewijs dat F dan oneindig veel verschillende symmetriecentra heeft. Een voorbeeld van zo'n figuur is een oneindig lange strook: elk punt op de as is dan symmetriecentrum. Opgave 4.3 ABCD is een willekeurige vierhoek. Bewijs dat de middens van de zijden een parallellogram vormen. Opgave 4.4 Hoe zit het als in het eerste voorbeeld boven zes punten in plaats van vijf gegeven zijn en we een zeshoek zoeken in plaats van een vijfhoek? Opgave 4.5 Bepaal een gelijkzijdige driehoek waarvan de hoekpunten liggen op (a) drie gegeven evenwijdige lijnen (b) drie gegeven concentrische cirkels of bewijs dat dit niet kan. Opgave 4.6 Op de zijden van een willekeurige driehoek ABC worden gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd: BCK en ACL naar buiten en ABM naar binnen. S is het centrum van ABM. Bewijs: driehoek LSK is gelijkbenig en LSK = 2ß. 3 Figuur 14. Opgave 4.7 Op de zijden van een willekeurige vierhoek ABCD worden naar buiten toe vierkanten geconstrueerd. De centra hiervan zijn M 1, M 2, M 3 en M 4. Bewijs: (a) M 1 M 3 = M 2 M 4 en M 1 M 3 M 2 M 4 ; (b) is ABCD een parallellogram, dan is M 1 M 2 M 3 M 4 een vierkant. Figuur 15. 7

8 5 Glijspiegelingen Er blijft nog over het onderzoek van de isometrieën die zijn samengesteld uit drie lijnspiegelingen. Gaan l 1, l 2 en l 3 door één punt, dan is S l3 S l2 S l1 te vervangen door één lijnspiegeling S l4 in een lijn door het snijpunt zo, dat (l 1 ;l 2 )= (l 4 ;l 3 ). Evenzo, is l 1 l 2 l 3, dan is S l3 S l2 S l1 = S l4 voor zekere l 4 l 1. Figuur 16. Figuur 17. Doet geen van deze gevallen zich voor, dan is S l3 S l2 S l1 niet te schrijven als één lijnspiegeling. Minstens twee van de lijnen snijden elkaar, zeg l 1 en l 2. Noem het snijpunt S. l 3 gaat niet door S. Vervang het paar (l 1 ;l 2 )doorhetpaar (l 1 ;l 2) met l 2 l 3. Vervang vervolgens het paar (l 2 ;l 3) door het paar l 2 ;l 3 ) met l 1 l 3. De isometrie S l3 S l2 S l1 = S l 3 S l 2 S l 1 is dus de samenstelling van een translatie en een spiegeling in een lijn evenwijdig aan de translatierichting. Zo'n isometrie heet een glijspiegeling (ook wel schuifspiegeling). Als l 1 l 2 en l 2 l 3 kan men net zo aantonen dat de isometrie dan een glijspiegeling is. De isometrieën zijn nu volledig gecatalogiseerd. Er is een wezenlijk onderscheid tussen enerzijds de identiteit, de Figuur 18. rotaties en de translaties, en anderzijds de lijn- en glijspiegelingen. Translaties en rotaties kan men zich indenken als `opgebouwd' uit vele zeer kleine translaties en rotaties (d.w.z. waarbij origineel en beeld zeer weinig verschillen). Origineel en beeld kunnen `continuinelkaar worden overgevoerd'. Men kan bewijzen (en intu tief is dit ook plausibel) dat zulks bij spiegelingen en glijspiegelingen niet mogelijk is, als men zich tenminste beperkt tot bewegingen in het vlak. Translaties, rotaties en de identiteit noemt men directe isometrieën of bewegingen. Lijn- en glijspiegelingen heten indirecte isometrieën. Heeft men in het vlak twee niet zelf spiegelsymmetrische figuren F 1 en F 2 die door een isometrie in elkaar kunnen worden overgevoerd, dan kan men aan de figuren onmiddellijk zien of ze door een directe isometrie in elkaar zijn over te voeren (ze zijn dan `gelijk georiënteerd'), of door een indirecte isometrie (ze zijn dan `tegengesteld georiënteerd'). Bij toepassingen is het vaak nuttig translatierichting en -afstand, rotatiecentrum en -hoek, spiegelas of glijspiegelas en -afstand van de betreffende isometrie op te sporen. 8

9 Opgave 5.1 Gegeven is een lijn l, twee punten A en B aan dezelfde kant van l, en een positief getal a. Bepaal punten X, Y met afstand a op l zo, dat de lengte van de weg AXY B minimaal is. Opgave 5.2 Construeer een vierhoek ABCD met gelijke hoeken C en D als de lengten van de zijden AB en CD,desomvan de lengten van de zijden BC en AD en de afstand van A tot de drager van de zijde CD. Opgave 5.3 Een punt X wordt achtereenvolgens gespiegeld in de zijden van een gegeven driehoek, en daarna nog eens (in dezelfde volgorde). Het resultaat is een punt X. Bewijs dat X X. Bepaal ook het beeld van X onder de samenstelling van deze zes spiegelingen. Opgave 5.4 Gegeven zijn twee lijnen l 1 en l 2 met op l 1 een punt A en op l 2 een punt B. Bepaal een lijn m diedelijnenl 1 en l 2 in de punten X en Y snijdt zo, dat AX = BY, terwijl bovendien (a) m evenwijdig is met een gegeven lijn n. (b) m door een gegeven punt M gaat. (c) het lijnstuk XY een gegeven lengte a heeft. (d) het lijnstuk XY door een gegeven lijn r door midden wordt gedeeld. Opgave 5.5 Wat is het product van twee glijspiegelingen langs onderling loodrechte assen? Opgave 5.6 Een glijspiegeling voert het gerichte lijnstuk AB over in A B. Bewijs dat de glijspiegelas gaat door de verbindingslijn van het midden van AA en BB. 6 Isometrieën van de ruimte Op analoge wijze zijn de isometrieën van de ruimte te catalogiseren. Men bewijst dan: elke isometrie is de opeenvolging van ten hoogste vier vlakspiegelingen. Onderzoek van de mogelijkheden geeft Directe isometrieën (1) twee vlakspiegelingen: of een translatie (evenwijdige vlakken), of een rotatie (snijdende vlakken) met de snijlijn als rotatieas. (2) vier vlakspiegelingen: indien geen rotatie of translatie, dan kan men de vlakken zo kiezen dat de opeenvolging ontstaat van een rotatie en een translatie langs de rotatieas. Zo'n beweging heet een schroefbeweging. Indirecte isometrieën (1) één vlakspiegeling. (2) drie vlakspiegelingen, waarbij de vlakken niet door één lijn gaan, of onderling evenwijdig zijn (anders is de samenstelling weer een vlakspiegeling). Gaan de drie vlakken door één punt, dan kan kan men ze zo kiezen dadt de samenstelling een rotatie is, gevolgd door een spiegeling in een vlak loodrecht op de rotatieas. De isometrie heet dan een draaispiegeling. Gaan de drie vlakken niet door één punt, dan is de snijlijn van twee van hen evenwijdig aan het derde vlak. Men kan de vlakken dan zo kiezen dat een spiegeling ontstaat, gevolgd door een translatie in een richting evenwijdig aan het spiegelvlak. Zo'n isometrie heet een glijspiegeling. 9