Extra oefeningen: de cirkel

Transcriptie

1 Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM is rechthoekig in A, dus geldt: MP MA AP Dus MP 1.

2 . Uit een punt P trekt men de raaklijnstukken PQ en PR aan een cirkel c Mr,. De hoek die deze twee raaklijnstukken met elkaar maken is 4 groot. A is een willekeurig punt op de grote boog RQ. Bepaal de grootte van hoek QAR. () in de vierhoek PRMQ zijn R en Q rechte hoeken. Dus geldt: RMQ RAQ RMQ 69 (omtrekshoek op zelfde boog)

3 . Gegeven: cirkel c Mr, die verdeeld is in 10 gelijke bogen (zie figuur) en A, B, C c. DC en DA zijn raaklijnen aan de cirkel c. Gevraagd: De grootte van de hoeken, 1,, en. Geef ook een korte verklaring van je antwoorden. ( ) 6(één tiende van een volledige cirkel) (omtrekshoek op boogjes) 1 90 (omtrekshoek op een halve cirkel) (omtrekshoek op boogjes) 7 (in vierhoek DAMC zijn A en C rechte hoeken en is M )

4 4. Van een driehoek ABC is de zijde AB even lang als de straal van zijn omgeschreven cirkel. BP is de loodlijn vanuit B op AC en MQ is de loodlijn vanuit het middelpunt M van de omgeschreven cirkel op BC (zie figuur). Bewijs dat AP MQ. () BA BM ( r, geg.) APB BQM ( 90, geg.) APB BQM BAP BMQ AP MQ 1 (omtrekshoek = middelpuntshoek op zelfde boog)

5 5. Vanuit een punt P buiten een cirkel worden twee raaklijnstukken met lengte l. De raaklijn uit een punt Q en PA en PB getekend AB snijdt PA PB in respectievelijk de punten C en D. Toon aan dat de omtrek van PCD dan gelijk is aan l (en dus onafhankelijk is van de ligging van Q ). () Raaklijnstukken uit een punt aan een cirkel zijn gelijk. Dus CA CQ, DB QD en PA PB l. P PC CQ QD DP PC CA DB DP PA PB l De omtrek is dan PCD.

6 6. De koorde die bij een cirkelboog AB hoort meet 60 cm. De lengte van het lijnstuk dat het midden M van de koorde verbindt met het midden H van de cirkelboog bedraagt 15 cm. Bepaal de straal van de cirkel waarvan AB een boog is? () Teken eerst de cirkel volledig, noem het middelpunt M en de straal r. In AMP geldt de stelling van Pythagoras: AP AM MP r 0 r 15 r r r 0r 115 r 7,

7 7. Beschouw een cirkel c met middelpunt M, en punten A, B en C op die cirkel zodat B en C aan weerskanten van MA liggen. Bewijs dat BAC ABM ACM. () De driehoeken ABM en ACM zijn gelijkbenig, dus zijn hun basishoeken gelijk. En dus geldt: BAC BAM MAC ABM ACM.

8 8. In een rechthoek met lengte 9 cm en breedte 5 cm zijn twee cirkels getekend die raken aan drie zijden van de rechthoek (zie figuur). Bereken de oppervlakte van het deel waar beide cirkels overlappen, tot op 0,00001 cm² nauwkeurig. () We splitsen de gevraagde oppervlakte verticaal op in twee gelijke delen. Elk zo n deel is dan een cirkelsector zonder de corresponderende driehoek. De stralen van de cirkels zijn,5 cm en de lengte MN is cm (leid dit zelf af!!). De lengte AN is (Pythagoras) 1,5 cm. In MN AMN geldt: cos M1 M1 6 5'1", dus M. M1 7 44'" AM,5 De oppervlakte van de cirkelsector is dan S MAB. De oppervlakte van de driehoek is S ABM De gevraagde oppervlakte is dus.,5.744'" 60 4, 0188 S. S MAB S MAB,0476 (cm²).

9 9. Een concerthal is ontworpen in de vorm van een regelmatige vijfhoek met een zijde gelijk aan 6m. Bereken de oppervlakte van de concerthal. In driehoek MPR geldt (figuur): PR 18 en M 6. Dus r ch PR 18 MP 0, 64 sin M sin 6. De oppervlakte van de concertzaal is dan (reg. 5-hoek): S ch , 64.sin.cos 9, 7871 (m²) 5 5 Stel dat men rond deze hal een terras wil aanleggen met een breedte van 6,m. Bewijs dat de zijde AB van dit terras dan ongeveer 45m lang is. In MPR geldt ook MR PR 18 4, tan M tan6. Dus MS MR RS 0, , In MQS geldt QS MS.tan6, De zijden (zoals AB ) zijn dus ongeveer 45 m lang. Bereken dan ook de oppervlakte van dit terras. Dit terras kan je delen in 5 trapezia (met grote basis B = 45, kleine basis b = 6, en hoogte h = 6,). Dus Bb 45 6 Sterras 5. Strap 5.. h 5..6, 155,5

10 10. Gegeven zijn drie cirkels c1, c, c met straal cm, die elkaar uitwendig raken. hun middelpunten M1, M, M liggen op AB, waarbij A c1 en B c. Eén van de raaklijnen uit A aan raaklijn in B aan c in het punt P. Bereken de lengte BP. (zie figuur) () c snijdt de Driehoeken ARM en ABP zijn gelijkvormig want ze hebben hoek A gemeenschappelijk en ook geldt dat B R 90 Dus geldt: (raaklijnen staan loodrecht op de middellijn door het raakpunt). BP AB AB. RM BP 6. RM AR AR (Merk op dat in ARM Pythagoras geeft dat AR AM RM )

11 Antwoorden en moeilijkheidsgraad: 1. () PM 1 6. () r 7,5. () QAR () Hint: Maak een duidelijke figuur! 54, 90, 6, 7, 6 8. (). () 1 S,0476 cm 4. () Hint: trek een hulplijn en vind twee congruente driehoeken (en bewijs hun congruentie). 9. () S 9,7871 m ; S 155,5 m cz ter 5. () Hint: vind lijnstukken met dezelfde lengte. 10. () BP 6