Figuren en invulbewijzen

Transcriptie

1 Figuren en invulbewijzen biz9 De punten C en D op dezelfde cirkelboog AB. ZC-ZD Teken een punt E op de cirkelboog AB waarop niet de punten C en D liggen. ZC + = 180 (koordenvierhoek)....+ = 180 ( blzlo De punten A, B, C en D met C en D aan dezelfde kant van AB en ZC = ZO. C en > liggen op dezelfde cirkelboog AB. Teken de cirkel door de punten A, B en C. Teken een punt E op de boog AB waar C niet op ligt. D ZC +. = 180 (koordenvierhoek) E e ZC = Dus AEBD is koordenvierhoek. Hieruit volgt Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4 13

2 blzlo De punten A, B en C op de cirkel met middelpunt M zoals hiernaast. ZACB = $ ZAMB Verleng AM. Zo ontstaat de middellijn AD. C ZACB = Z. (constante hoek) ZMDB = Z (geiijkbenige driehoek) ZMDB + Z + Z = 180 (hoekensom driehoek) 2-ZACB + Z = 180 ZAMB + Z = 180 (gestrekte hoek) 2 ZACB = Z. ZACB = ± ZAMB blzll Een cirkel met middelpunt Men de gelijke bogen AB en CD. AB = CD boog AB = boog CD, dus ZAMB = Z e c AM =CM Hieruit volgt AB = CD. blzll Een cirkel met middelpunt Af en de gelijke koorden AB en CD. boog AB = boog CD B C.SA. Hieruit volgt ZAMB = ZCMD, dus 14 Figuren en invulbewijzen vwo B deei 4

3 blzll A^SCmet de naar buiten gerichte gelijkzijdige driehoeken BCP, ACQ en ABR zoals hiernaast. De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP, ACQ en ABR gaan door één punt. De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP en ACQ snijden elkaar binnen &ABC in het punt T. ZP + Z. = 180 (koordenvierhoek) ZP = 60 (gelijkzijdige driehoek) Z +Z = 180 ( Z = 120 (1) Z = 120 (2) Uit (1) en (2) volgt /ATB = 120. Z. + Z = 180' Dus vierhoek ATBR is een, dus T ligt op Hieruit volgt dat de drie cirkels door één punt gaan, blz 17 M*l Vierhoek ABCD met AB = CD en AB II CD. AD il BC Veronderstel dat niet evenwijdig is met dan snijden en elkaar in punt S. Zie de figuur hiernaast. (hh) AB DC AS DS Omdat AS # DS is * Dit is in tegenspraak met het gegeven De veronderstelling dat AD niet evenwijdig is met BC is dus onjuist. Dus AD l! BC. Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4 15

4 blz 17 Ml MBC met ZA = ZB AC = BC Veronderstel dat AC > BC, dan is er een punt D op AC zo, dat AD = BC. AD=BC Z.. Hieruit volgt ZB} = ZA. Dit is in tegenspraak met het gegeven, dus er geldt niet AC > BC. Op dezelfde manier leidt de veronderstelling AC BC tot een tegenspraak. Dus.. blz 18 PEIÏ1 &ABC met AB2 =AC2 + BC2 ZC = 90 I Veronderstel ZC < 90. Dan snijdt de hoogtelijn uit A de zijde BC in punt D. In {\ACD is + -AC' (stelling van Pythagoras) In AABD is + = AB2 (stelling van Pythagoras) =AC2-AB2 AB2 = AC2 + BD2 - CD2 AB2=AC2 + BC-( )<AC2 + BC-BC Dus AB2<AC2 + BC2. Dit is in tegenspraak met het gegeven dus veronderstelling I is onjuist. 16 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4

5 II Veronderstel ZC>90. Dan snijdt de hoogtelijn uit A de zijde SCin punt D. In &ACD is In &ABD is (stelling van Pythagoras) (stelling van Pythagoras) Dus AB2>A Dit is in tegenspraak met het gegeven dus veronderstelling II is onjuist. Dus de veronderstellingen ZC < 90 en ZC > 90 zijn onjuist, dus ZC = 90. blz!9 Een cirkel met koorde AB, de raaklijn k in A aan de cirkel en een punt C op de grootste boog AB. Z^ = ZACB Teken het middelpunt M van de cirkel en de stralen AM en B M. B (gelijkbenige driehoek) 2-ZA ZA2 + Z^ = 90 (raaklijn) /ACB = (omtrekshoek) Dus ZA = ZACB. Figuren en irwulbewijzen vwo B deel 4 17

6 blz figulir n, blz 22 EE1 Lijn /, punt P en het punt Q op / zo, dat PQ J_ /. PQ is de kortste verbinding van P met /. Neem een punt R op / dat niet samenvalt met Q. P Q QR2 > O (R valt niet samen met Q).(stelling van Pythagoras) PQ2<. PQ<. Omdat R een willekeurig punt op / is, is PQ de kortste verbinding van P met /. 18 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4

7 blz24 blz24 blz24 E^l figuur Figuren en (nvulbewijzen vwo B deel 4 19

8 blz24 blz24 ;4 figuur Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4

9 blz24 ;S3figuur12.34 blz 24 blz27 tij figuur Figuren en irwulbewijzen vwo B deel 4 21

10 blz 27 Gii fisuur blz29 [J] figuur blz Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4

11 blz29 [J] figuur blz 30 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4 23

12 blz 33 fwl figuur blz 33 figuur 12.55,/ blz 33! >«figuur blz 33 figuur blz blz 33 PEn figuur blz 33 ; "" figuur Figuren en invulbewi zen vwo B deel 4

13 blz36 blz 128 EffH fisuur k-b blz 130 [ J figuur 15,31 blz 130 l figuur / /// / / 1 0 \ 1 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4 25

14 btz!54 PI figuur G, l blz 154 l figuur G.2 blz!54 l figuur G.3 blz 155 Q figuur G.4 P. 26 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4

15 blz!55 l figuur G.5 blz!55 l figuur G.5 blzlss l ' figuur G.6 Q, blzl56 Q figuur G.7 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4 27

16 blzlsó l - figuur G.8 blz!56 I3?l figuur G.9 C blzlsó, figuurg.10 C blz!57 l figuur G.ll 28 Figuren en invulbewijzen vwo B deel 4

17 blz!57 [M figuur G. 12 blz!58 Ha figuur G. 15 blz!58 iïll figuur G.16 Figuren en irwulbewijzen vwo B deel 4 29

18 651 oe