7.1 Zwaartelijn en hoogtelijn [1]

Transcriptie

1 7.1 Zwaartelijn en hoogtelijn [1] Zwaartelijn: Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die gaat door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Een driehoek heeft drie zwaartelijnen. De drie zwaartelijnen gaan door één punt. Dit punt is het zwaartepunt van de driehoek. 1

2 7.1 Zwaartelijn en hoogtelijn [1] Hoogtelijn: Een hoogtelijn van een driehoek is een lijn die door een hoekpunt gaat en loodrecht op de overstaande zijde staat. Een driehoek heeft drie hoogtelijnen. De drie hoogtelijnen gaan door het hoogtepunt. Om bij een stomphoekige driehoek bepaalde hoogtelijnen te tekenen moet je een zijde van deze driehoek verlengen. 2

3 7.2 Bijzondere driehoeken [1] Gelijkbenige driehoek: 2 gelijke zijden (benen); De andere zijde heet de basis; 2 gelijke basishoeken; De ander hoek heet de tophoek; Een gelijkbenige driehoek heeft één symmetrieas. 3

4 7.2 Bijzondere driehoeken [1] Gelijkzijdige driehoek: 3 gelijke zijden; Elke hoek is 60 ; Drie symmetrieassen; Draaisymmetrisch; De kleinste draaihoek is

5 7.2 Bijzondere driehoeken [1] Rechthoekige driehoek: Eén hoek van 90. Gelijkbenige rechthoekige driehoek: Alle eigenschappen van een gelijkbenige driehoek; Eén hoek van 90 ; De twee andere hoeken zijn 45 ; Een symmetrieas. 5

6 7.3 Hoeken berekenen in driehoeken [1 en 2] Afspraak: In elke driehoek is de som van de drie hoeken 180 Voorbeeld: A = 30, B = 80. Bereken C C = A - B ( -som ΔABC) = = 70 Let op: Maak als dat nodig is en schets van de driehoek. 6

7 7.3 Opgave 28 F = E 2 = 69 (gelijkbenige EFG) E 1 = E 2 = 69 (overstaande -en) A = C 1 = (180 - B)/2 ( -som gelijkbenige ABC) = ( )/2 = 140 /2 = 70 C 1 = C 2 = 70 (overstaande -en) D = C 1 - E 1 ( -en som CDE) = = 41 7

8 7.3 Hoeken berekenen in driehoeken [3] Overzicht hoeken berekenen: Overstaande hoeken zijn gelijk; [Overstaande hoeken] Een rechte hoek is 90 ; [Rechte hoek] Een gestrekte hoek is 180 ; [Gestrekte hoek] Een volle hoek is 360 ; [Volle hoek] De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180 ; [Hoekensom driehoek] In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk;[basishoeken] Een bissectrice deelt de hoek middendoor; [Bissectrice] 8

9 7.3 Hoeken berekenen in driehoeken [3] Voorbeeld: In ABC is B = 30, C = 40 en AD is de bissectrice van A. Bereken D 1 en D 2. A 12 = B - C ( -en som ABC) = = 110 A 1 = A 2 = A 12 /2 = 110 /2 = 55 (bissectrice) D 1 = A 1 - C ( -en som ADC) = = 85 D 2 = D 1 (gestrekte ) = = 95 9

10 7.3 Opgave 33 C 2 = E - G ( -en som CEG) = = 42 C 1 = C 2 = 42 (bissectrice) A + D 1 = C 1 = = 138 D 1 = A = ( A + D 1 )/2 = (138 )/2 = 69 ( -en som ACD) (gelijkbenige ACD) D 2 = D 1 (gestrekte ) = =

11 K = L = M = 60 (gelijkzijdige ) 7.3 Opgave 34 M 23 = M - M 1 = = 48 N 2 N 1 = Q - M 23 ( -en som MNQ) = = 42 = M 1 - K ( -en som KNM) = = 108 N 23 = N 1 (gestrekte ) = = 72 11

12 7.3 Opgave 34 P 1 = N 23 = 72 (gelijkbenige MNP) M 2 = N 23 - P 1 ( - en som MNP) = = 36 N 3 = N 23 - N 2 = = 30 S 2 = N 3 - P 1 ( - en som NSP) = = 78 12

13 7.4 Bijzondere vierhoeken [1] Parallellogram: De overstaande zijden zijn evenwijdig; De overstaande zijden zijn even lang; De overstaande hoeken zijn even groot; De diagonalen delen elkaar door de midden; Puntsymmetrisch. 13

14 7.4 Bijzondere vierhoeken [2] Ruit: Alle zijden zijn even lang; De diagonalen staan loodrecht op elkaar; De diagonalen delen de hoeken middendoor; De diagonalen zijn de symmetrieassen van de ruit; Alle eigenschappen van de parallellogram. Een ruit is een vierhoek waarvan alle zijden even lang zijn. 14

15 7.4 Bijzondere vierhoeken [3] Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. In dit voorbeeld zijn de zijden AD en BC even lang. Dit trapezium is daarom een gelijkbenig trapezium. 15

16 7.4 Bijzondere vierhoeken [3] Een vlieger is een vierhoek waarvan minstens één diagonalen een symmetrieas is. Een vlieger bestaat dus uit twee gelijke driehoeken. 16

17 7.5 F-hoeken en Z-hoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (Z-hoeken) zijn gelijk. Let op: Als je bij een hoekenberekening gebruik maakt van Z-hoeken, geef dit dan aan. 17

18 7.5 F-hoeken en Z-hoeken [2] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk. Let op: Als je bij een hoekenberekening gebruik maakt van F-hoeken, geef dit dan aan. 18

19 7.5 F-hoeken en Z-hoeken [3] Overzicht hoeken berekenen: Overstaande hoeken zijn gelijk; [Overstaande hoeken] Een rechte hoek is 90 ; [Rechte hoek] Een gestrekte hoek is 180 ; [Gestrekte hoek] Een volle hoek is 360 ; [Volle hoek] De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180 ; [Hoekensom driehoek] In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk;[basishoeken] Een bissectrice deelt de hoek middendoor; [Bissectrice] F-hoeken zijn gelijk aan elkaar; [F-hoeken] Z-hoeken zijn gelijk aan elkaar. [Z-hoeken] 19

20 7.5 Opgave 61 S 1 = D 1 = 102 (F-hoeken) S 2 = S 1 (gestrekte ) = = 78 B = E 3 = 65 (F-hoeken) E 1 = C 12 = 68 (F-hoeken) D 3 = E 1 - B ( -en som BDE) = = 47 D 2 = D 1 - D 3 (gestrekte ) = = 31 C 1 = D 2 = 68 (F-hoeken) 20

21 7.5 Opgave 62 C = A - B ( -en som ABC) = = 64 E 1 = C = 64 (F-hoeken) D 3 = E 1 - B ( -en som BDE) = = 76 E 3 = E 2 - E 1 (gestrekte ) = = 26 S 1 = D 3 - E 2 ( -en som DES) = = 14 S 4 = S 1 (gestrekte ) = =

22 7.5 Opgave 65 E 1 = C 1 = 40 A = C = 69 (Z-hoeken) (parallellogram) C 2 = C - C 1 = = 29 B = C 2 - E 1 ( - en som BCE) = = 111 D 12 = B = 111 (overstaande hoeken) 22

23 7.5 Opgave 65 D 1 = A = 69 (gelijkbenige ABD) B 1 S 1 = D 1 - A ( -en som ABD) = = 42 = B 1 - E 1 ( -en som EBS) = = 98 23