Niet-euclidische meetkunde

Transcriptie

1 Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss

2

3 Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische meetkunde 8 3 Hyperbolische meetkunde 10

4

5 1 De elementen van Euclides 1 a Tweedimensionaal: Het begrip tweedimensionaal of 2D duidt aan dat iets twee meetkundige dimensies heeft, oftewel alleen lengte en breedte (Wikipedia). Figuur: Dat wat omvat wordt door zekere grenzen (Euclides). Afstand: De maat van de kortste verbinding tussen twee niet samenvallende zaken (Wikipedia). Punt: Een specifieke positie binnen een ruimte. Een punt wordt gekarakteriseerd door het feit dat een punt geen volume, oppervlakte, lengte of enig ander meerdimensionaal analogon kent. Als een direct gevolg van deze definitie is een punt een object zonder dimensie, men zegt wel nul-dimensionaal (Wikipedia). b Onder andere: dimensie, lengte (breedte), grens, verbinding, volume, oppervlakte. 2 Rechte lijn, plat vlak, vlakke hoek, loodlijn, stompe en scherpe hoek, cirkel, middellijn van de cirkel en halve cirkel, gelijkzijdige en gelijkbenige driehoek, rechthoekige, stomphoekige en scherphoekige driehoek, vierkant, rechthoek en parallellogram Als a=b dan is a+c=b+c 3. Als a=b dan is a-c=b-c 4. Als a b en b a dan is a=b 5. a+b>a 4 a Zie tekening rechts. b Strikt genomen weet je niet dat de twee cirkels elkaar snijden. Dat zou je eerst moeten bewijzen voor dat je het punt C kunt definiëren. De elementen van Euclides 1

6 5 a De kortste weg die het kevertje kan volgen is E-I- C. Of een analoge weg natuurlijk. Dus rechtdoor over het vóórvlak naar het midden van de overstaande ribbe DF. En van daaruit, rechtdoor over het zijvlak naar zijn eindbestemming. Dat zie je nog het best als je van de kubus een uitslag maakt. Ook hier geldt dus het principe van vouwen om de kortste weg te vinden. De afstand die hij hierbij aflegt is b Dan is de afstand 300 = a 1 seconde, 50 centimeter b 1,1 seconde, 5 centimeter c 1,11 seconde, 0,5 centimeter d 1, seconde, oftewel 19 1 seconde. e Na 19 1 seconde. 7 2 De elementen van Euclides

7 8 Gegeven: lijnen l en m die elkaar snijden, zie tekening. S 1 = S 3 en S 2 = S 4. Volgens propositie I.13 geldt S 1 + S 2 = 180 en S 2 + S 3 = 180. Dus geldt: S 1 = 180 S 2 en S 3 = 180 S 2. Maar dan is volgens algemeen inzicht 1: S 1 = S 3. En op dezelfde manier kun je aantonen dat S 2 = S 4. Q.E.D. 9 a Gegeven: lijnen AB en CD waarbij de rode hoeken gelijk zijn en de lijnen elkaar toch ergens rechts in een punt P snijden, zie tekening. Dit is onmogelijk. Volgens propositie I.16 is AEF > PFE, maar dit is in tegenspraak met het gegeven dat de rode hoeken gelijk zijn. Q.E.D. b Gegeven: lijnen AB en CD waarbij de rode hoeken gelijk zijn, zie tekening. lijnen AB en CD zijn evenwijdig. Volgens opgave 9a kunnen de lijnen elkaar niet ergens rechts snijden. Op dezelfde manier kun je aantonen dat de lijnen elkaar ook niet ergens links kunnen snijden. En volgens definitie 23 zijn lijnen die elkaar naar geen van beide zijden ontmoeten parallel. Q.E.D. De elementen van Euclides 3

8 c Gegeven: lijnen AB en CD waarbij de groene hoeken gelijk zijn, zie tekening. lijnen AB en CD zijn evenwijdig. Volgens propositie I.15 geldt dat BEG = AEF. En dus is volgens algemeen inzicht 1 ook AEF = DFE. Er is dus sprake van Z-hoeken en dus zijn volgens propositie I.27 lijnen AB en CD evenwijdig. Q.E.D. 10 a Gegeven: lijnen AB en CD waarbij AEF > DFE, zie tekening. lijnen AB en CD snijden elkaar. Omdat AEF > DFE is ook AEF + FEB > DFE + FEB (volgt uit algemeen inzicht 2). Maar volgens propositie 13 is AEF + FEB = 180. En dus is volgens algemeen inzicht 1 en 2: DFE + FEB < 180. En postulaat 5 zegt dan dat lijnen AB en CD elkaar (rechts) snijden. Q.E.D. b Gegeven: Evenwijdige lijnen AB en CD, zie tekening. AEF = DFE Stel dat AEF DFE, bijvoorbeeld AEF > DFE. Uit opgave 10a volgt dan dat lijnen AB en CD elkaar snijden en dit is onmogelijk. Net zo kun je afleiden dat de veronderstelling AEF < DFE tot een tegenspraak leidt. Maar dan moet wel AEF = DFE. Q.E.D. 4 De elementen van Euclides

9 c Gegeven: Evenwijdige lijnen AB en CD, zie tekening opgave 9c. DFE = BEG Volgens opgave 10b is AEF = DFE en volgens propositie I.15 is AEF = BEG. Maar dan is volgens algemeen inzicht 1 ook DFE = BEG. Q.E.D. 11 Gegeven: Driehoek ABC, zie tekening. DBC = BAC + ACB en BAC + ACB + ABC = 180. Volgens propositie I.31 is het mogelijk door punt B een lijn BE te trekken, evenwijdig aan lijn AC. Maar dan zijn volgens propositie I.29 de blauwe hoeken aan elkaar gelijk (F-hoeken, DBE = BAC ) en de rode hoeken aan elkaar gelijk (Z-hoeken, EBC = ACB ). Maar dan is volgens algemeen inzicht 1 en 2 ook DBC = DBE + EBC = BAC + ACB. Q.E.D. (1) En dan is volgens algemeen inzicht 1 en propositie I.13: BAC + ACB + CBA = DBC + CBA = 180. Q.E.D.(2) 12 Daarmee wordt bedoeld dat Playfair s axioma volgt uit de definities, inzichten en postulaten (inclusief parallellenpostulaat) van Euclides, maar dat het ook mogelijk is het parallellenpostulaat te bewijzen uit de definities, inzichten, de eerste vier postulaten en Playfair s axioma. Het maakt dus niet uit of je Playfair s axioma neemt of het parallellenpostulaat. Beiden leiden tot dezelfde meetkunde. 13 a In het algemeen geldt niet dat 3x x = x. Er zijn tegenvoorbeelden, bv. x=0. b x = 7. c De bewering 3x x = x is gelijkwaardig met de bewering x = 7. De elementen van Euclides 5

10 14 Gegeven: Driehoek ABC, zie tekening. DBC = BAC + ACB. Volgens propositie 13 is DBC + CBA = 180. Dus is DBC = 180 CBA (1). Volgens de hoekensom in een driehoek is BAC + ACB + ABC = 180. Dus is BAC + ACB = 180 CBA (2). Uit (1) en (2) volgt volgens algemeen inzicht 1 dat DBC = BAC + ACB. Q.E.D. 15 a Volgens opgave 14 is CAE = ACF 1 + AF 1 C (1). Driehoek ACF 1 is gelijkbenig dus geldt volgens propositie 5 dat AF 1 C = ACF 1 (2). Uit (1) en (2) volgt dat CAE = 2 AF 1 C, oftewel dat AF 1 C = 2 1 CAE. b Driehoek F 1 F 2 C is gelijkbenig dus volgt op dezelfde manier als bij opgave 15a dat AF 2 C = 2 1 AF 1 C = ( 2) 1 2 CAE = 4 1 CAE. c Driehoek F 2 F 3 C is gelijkbenig dus volgt op dezelfde manier als bij opgave 15a dat AF 3 C = 2 1 AF 2 C = ( 2) 1 3 CAE = 8 1 CAE d Door op dezelfde manier verder te gaan kun je aantonen dat je een driehoek AF n C kunt construeren waarbij AF n C = ( 2) 1 n CAE. Omdat CAE < 180 is dan AF n C = ( 2) 1 n CAE < ( 2) 1 n 180. Voor n 5 is dan dus AF n C < 10. e Door n groter te kiezen kun je in plaats van 10 willekeurig welke kleine positieve hoek lezen. 6 De elementen van Euclides

11 16 a In driehoek ACF n is BAC + ACF n + AF n C = 180 (hoekensom driehoek). Omdat AF n C < 10 volgt hieruit dat BAC + ACF n > 170. Omdat BAC + ACD < 170 moet dus wel ACF n > ACD. b Uit 14a volgt dat punt D in het binnengebied van driehoek ACF n ligt. Dus moet lijn CD de lijn AB wel ergens tussen A en F n snijden. c Uit opgave 15 weten we dat we F n ook zó kunnen kiezen dat AF n C < 1. Op dezelfde manier als bij 16a en 16b kunnen we dan bewijzen dat lijn CD de lijn AB wel ergens tussen A en F n moet snijden. d Uit opgave 15 weten we dat we F n ook zó kunnen kiezen dat AF n C < α met α een willekeurig kleine positieve hoek. Als dan BAC + ACD < 180 α dan volgt, net zo als bij 16c, dat de lijn CD de lijn AB wel ergens tussen A en F n moet snijden. Stel nu dat BAC + ACD < 180 dan kunnen we ook een (klein) positief getal α vinden zó dat BAC + ACD < 180 α (ga dit na!). En dus snijdt de lijn CD de lijn AB ergens tussen A en zekere F n. De elementen van Euclides 7

12 2 Niet-euclidische meetkunde 17 a Van links naar rechts en van boven naar beneden: 0, +, -, 0, ab Een aantal leerlingen zal wellicht denken dat de kortste route het vliegtuig op dezelfde breedtegraad houdt. Dit is echter niet het geval. De kortste route is een deel van een zogenaamde grootcirkel. Op de illustratie hiernaast staat deze route afgebeeld, als je er recht van boven op kijkt. c De straal van de grootcirkel en de straal van de bol zijn gelijk. d Als je nauwkeurig hebt gewerkt komt deze lijn overeen met de getekende lijn. 19 a α (radialen), met 0 α 2π, is per definitie in de eenheidscirkel de lengte van een cirkelboog die hoort bij een hoek van α 2π 360. In een cirkel met straal R is deze lengte dus αr. b Als additionele eis in de elliptische meetkunde moeten we eisen dat 0 < α π, omdat anders de afstand tussen A en B onderlangs gemeten kan worden en dus langer zou zijn. 20 a Er zijn oneindig veel grootcirkels door deze punten te trekken, denk aan alle meridianen. b Twee lijnstukken, bovenlangs en onderlangs. c We voldoen dus niet aan de eisen van postulaat 1. 8 Niet-euclidische meetkunde

13 21 a Nu is door ieder tweetal punten op een bol wel precies één lijn te trekken, het blijft echter mogelijk tussen ieder tweetal punten twee lijnstukken te trekken. Vanwege het laatste voldoet de bolmeetkunde strikt genomen niet aan postulaat 1. b Als je onder het tweede postulaat ook de eis opneemt dat de uiteinden van de rechte lijn elkaar niet ontmoeten dan voldoet de bolmeetkunde niet aan het tweede postulaat. c Op een bol is dat niet het geval. Je zou weliswaar kunnen zeggen dat een lijn de bol in tweeën deelt, echter ieder punt ligt aan beide zijden en dus is ieder tweetal punten te verbinden door een lijnstuk dat de gegeven lijn niet snijdt. d Het derde postulaat is geldig, als je er geen probleem van maakt dat de straal van de cirkel wordt beperkt door de straal van de bol. Het vierde postulaat is geldig. Een hoek is gedefinieerd als een hoek tussen twee platte vlakken en daarvoor geldt het vierde postulaat. 22 a Er gaat geen enkele lijn door dit punt die de gegeven lijn niet snijdt. b Het vijfde postulaat is dus niet geldig. 23 De ondergrens is 180 en de bovengrens is a Ze zien er allemaal hetzelfde uit: als een lijnstuk. b Ze gebruiken hun gehoor, hun gevoel (tastzin) en ze kunnen diepte onderscheiden omdat voorwerpen die verder weg zijn in de altijd aanwezige mist grijzer (vager) lijken. c Een Bol kan zich voordoen als een cirkel met wisselende straal (van punt tot maximale straal = straal van de bol). d Als inwoner van Platland kun je niet ontsnappen. In onze driedimensionale wereld zou dat eenvoudig kunnen, door even omhoog te gaan. Niet-euclidische meetkunde 9

14 3 Hyperbolische meetkunde 25 a Lijnen bestaan uit cirkelbogen die de Poincaréschijf aan de rand loodrecht snijden. 26 a De hoeken zijn 90. b De hoekensom is (nagenoeg) 180. c De hoekensom is (ongeveer) 0. d De hoekpunten K, L en M liggen in het centrum van de Poincaré-schijf, de hoekpunten P, Q en R liggen aan de rand van de Poincaré-schijf. e Binnen de hyperbolische meetkunde is de hoekensom van een driehoek altijd minder dan a De afstand tussen B en C kan maximaal (ongeveer) 12 worden gemaakt. wat wij in de euclidische meetkunde gewend zijn. b In de Poincaré-schijf zijn alle lijnen door het middelpunt middellijnen (ze staan immers loodrecht op de rand). AB t/m AF lijken bijna even groot. Naar het midden toe kloppen de verhoudingen van bv. AN, AO en AP veel beter met 10 Niet-euclidische meetkunde

15 28 Ja en Nee. Qua vorm zijn het beide gewone cirkels. Het middelpunt van de tweede cirkel ligt echter niet in het midden. Ook lijken de cirkels, door het afstandsbegrip, niet even groot. 29 d Je kunt oneindig veel van dergelijke lijnen maken, in de hyperbolische meetkunde geldt dat er oneindig veel lijnen door een punt gaan die een gegeven lijn, buiten dat punt, niet snijden. De lijnen door DE en door DF kun je daarbij zien als de grenslijnen. 30 a De lijnen door het centrum zijn ook voor ons euclidische oog rechte lijnen. De andere lijnen zijn alleen rechte lijnen in de hyperbolische meetkunde. b Zie werkblad. De hoekensom in een vierhoek is ongeveer 300 (vgl. 360 ). De hoekensom in de zeshoek is 360 (vgl. 720 ). c De draaihoek is a Ieder hoek is 60. b De hoekensom is dus 180. Dit is niet mogelijk in hyperbolische meetkunde. c De witte lijnen snijden de rand van de schijf onder een hoek van 80. Dit is dus geen goed model voor de hyperbolische meetkunde. 32 a Voor n=4 en m=8: zie rechts b Niet-euclidische meetkunde 11

16 33-34 a In de eerste toer zet je 10 steken op. In de tweede toer worden dat er = , In de derde toer moet je uitgaan van het onafgeronde getal. Je krijgt dus: = = ( 4 3) ,8 18. In de vierde toer krijg je: ( 4 3) ,7 24. Enzovoort. b Voor de N-de toer geldt: S N = ( 4 3) N a Het vijfde postulaat van Euclides is niet geldig. b O d > π. c Ook hier kun je, door te vouwen, laten zien dat het rechte lijnen zijn. d Voor de hoekensom van een driehoek geldt dat deze minder dan 180 is Niet-euclidische meetkunde