dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek

Transcriptie

1 . Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Opgave : ACB is constant Opgave : a. * b. * c. ACB AMB Opgave 3: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. de drie lijnstukken gaan door één punt Opgave 4: a. Teken een punt E op de cirkelboog AB waarop niet de punten C en D liggen. C E 80 ( koordenvierhoek) C D D E 80 ( koordenvierhoek) b. uit de stelling van de constante hoek volgt dat ACB overal op de cirkelboog AB constant is Opgave 5: a. Teken de cirkel door de punten A, B en C. Teken een punt E op de boog AB waar C niet op ligt. C E 80 ( koordenvierhoek) D E 80 C D dus AEBD is een koordenvierhoek hieruit volgt dat C en D op dezelfde cirkelboog AB liggen b. in vierhoek ABCD liggen C en D aan dezelfde kant van AB als ADB ACB dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek Opgave 6: a. verleng AM. Zo ontstaat de middellijn AD. ACB ADB ( cons tan te hoek) MDB MBD ( gelijkbenige driehoek) MDB MBD BMD 80 ( hoekensom driehoek) ACB BMD 80 ACB AMB AMB BMD 80 ( gestrekte hoek) ACB AMB GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H - - AUGUSTINIANUM (LW)

2 b. verleng AM, zo ontstaat middellijn AD D 80 C ( koordenvierhoek) B D ( gelijkbenige driehoek) B 80 ( ) D M hoekensom driehoek 80 C 80 C M 80 M M C M 80 ( gestrekte hoek) M C C M dus ACB AMB ACB 90 ( Thales) c. ACB AMB AMB 80 ( gestrekte hoek) Opgave 7: a. boog AB boog CD, dus AMB CMD AMB CMD AM CM BM DM ABM CDM dus AB CD (ZHZ) AM CM b. BM DM AMB CMD (ZZZ) AB CD dus AMB CMD dus boog AB boog CD Opgave 8: D E 80 dus CDFE is een koordenvierhoek dus D F (constante hoek) dus A 90 F F 90 F (rechte hoek) dus A F dus D A ofwel A CDE GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H - - AUGUSTINIANUM (LW)

3 Opgave 9: teken de cirkel met middelpunt C en straal AC, deze gaat ook door B kies een punt D op de cirkel (aan dezelfde kant als C) dan geldt: D ACB (omtrekshoek) P ACB (gegeven) dus D en P liggen op dezelfde cirkelboog AB met middelpunt C (constante hoek) dus BC CP (straal cirke Opgave 0: a. de omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP en ACQ snijden elkaar binnen ABC in punt T P BTC 80 ( koordenvierhoek) BTC 0 P 60 ( gelijkzijdige driehoek) Q ATC 80 ( koordenvierhoek) ATC 0 Q 60 ( gelijkzijdige driehoek) ATB 0 ATB R 80 R 60 ( gelijkzijdige driehoek) dus vierhoek ATBR is een koordenvierhoek dus T ligt op de omgeschreven cirkel van ABR hieruit volgt dat de drie cirkels door één punt gaan b. de omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP en ACQ snijden elkaar buiten ABC in punt T ATC Q ( cons tan te hoek) ATC 60 Q 60 ( gelijkzijdige driehoek) BTC P ( cons tan te hoek) BTC 60 P 60 ( gelijkzijdige driehoek) dus ATB ATC BTC 0 ATB 0 ATB R 80 R 60 ( gelijkzijdige driehoek) dus vierhoek ACBR is een koordenvierhoek dus T ligt op de omgeschreven cirkel van ABR dus de drie omgeschreven cirkels gaan door één punt Opgave : a. C 60 (gelijkzijdige driehoek) C 3 dus C C3 C C3 AC QC ( gelijkzijdige driehoek) BC PC ( gelijkzijdige driehoek) QBC APC ( ZHZ) GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

4 b. QBC APC dus CQB CAP ofwel CQS CAS dus A en Q liggen op dezelfde cirkelboog CS (constante hoek) dus vierhoek AQCS is een koordenvierhoek c. A 60 (gelijkzijdige driehoek) A 3 dus A A3 A A3 AC AQ ( gelijkzijdige driehoek) AB AR ( gelijkzijdige driehoek) QAB CAR ( ZHZ) dus AQB ACR ofwel AQU ACU dus C en Q liggen op dezelfde cirkelboog AU (constante hoek) dus vierhoek AQCU is een koordenvierhoek d. S ligt op BQ en uit opgave b volgt dat S op de omgeschreven cirkel van AQC ligt U ligt op BQ en uit opgave c volgt dat U op de omgeschreven cirkel van AQC ligt dus S en U zijn hetzelfde punt, ofwel AP, BQ en CR snijden elkaar in één punt e. het snijpunt van AP, BQ en CR ligt op de omgeschreven cirkel van AQC uit QBC APC (opgave a) volgt op dezelfde manier dat het snijpunt van AP, BQ en CR op de omgeschreven cirkel van BPC ligt dus het snijpunt van AP, BQ en CR is punt T van opgave 0 Opgave : a. A D ( cons tan te hoek) C B ( cons tan te hoek) ACP DBP ( hh) dus AP CP DP BP dus AP BP CP DP b. A D 80 (koordenvierhoek) D D 80 (gestrekte hoek) dus A D A D P P ACP DBP (hh) dus AP CP DP BP dus AP BP CP DP Opgave 3: a. teken AB en CD A B P 80 (hoekensom driehoek) A BMC (omtrekshoek) dus BMC AMD P B AMD (omtrekshoek) 80 AMB BMC CMD AMD 360 (volle hoek) dus AMB BMC CMD AMD 80 P AMB CMD ofwel APB ( AMB CMD ) GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

5 b. teken BD P B D 80 (hoekensom driehoek) D D 80 (gestrekte hoek) dus P B D B CMD (omtrekshoek) D AMB (omtrekshoek) dus P CMD AMB ofwel APB ( AMB CMD ) Opgave 4: teken BP, AB, BQ, AN en BN AM AN BM BN ABM ABN AB AB dus AMB N Q (omtrekshoek) N (ZZZ) N 360 N dus Q ( 360 N) 80 N ook Q 80 Q (gestrekte hoek dus Q N AMB N P AMB (omtrekshoek) dus P Q dus BPQ is gelijkbenig GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

6 . Bewijzen in driehoeken en cirkels Opgave 5: a. AD CD AC AC AD CD 0 dus AC AD b. BD CD BC BC BD CD 0 dus BC BD c. AC AD BC BD AC BC AD BD AD BD AB dus AC BC AB Opgave 6: AP BP c (driehoeksongelijkheid) BP CP a (driehoeksongelijkheid) CP AP b (driehoeksongelijkheid) dus AP BP CP a b c dus AP BP CP ( a b c ) dus AP BP CP s Opgave 7: AD b CD (driehoeksongelijkheid) AD c BD (driehoeksongelijkheid) dus AD CD BD b c dus AD a b c dus AD ( a b c ) dus AD s Opgave 8: AP CP AC (driehoeksongelijkheid) BP DP BD (driehoeksongelijkheid) dus AP BP CP DP AC BD Opgave 9: a. dit volgt uit de driehoeksongelijkheid b. AB BC AC is in tegenspraak met het gegeven dat AB BC AC dus de veronderstelling dat B niet op de lijn AC ligt is onjuist dus B ligt op lijn AC waarmee de stelling bewezen is GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

7 Opgave 0: veronderstel dat AD niet evenwijdig is met BC dan snijden AD en BC elkaar in punt S S S A AB DC omdat D ( F hoeken) AS DS AS DS is AB DC ABS DCS ( hh) dit is in tegenspraak met het gegeven AB CD de veronderstelling dat AD niet evenwijdig is met BC is dus onjuist dus AD // BC Opgave : veronderstel dat AC BC dan is er een punt D op AC zo, dat AD BC AD BC A B ABD BAC ( ZHZ ) AB AB hieruit volgt dat B A dit is in tegenspraak met het gegeven, dus er geldt niet op dezelfde manier leidt de veronderstelling AC BC dus AC BC AC BC tot een tegenspraak Opgave : a. O( ADC) CD hoogte O( BCD) CD hoogte b. O( ADS) O( ADC) O( CDS) O( BCD) O( CDS) O( BCS) c. stel PS QS dan geldt: O( APS) O( BQS) en O( DPS) O( CQS) dus O( ADS) O( BCS) dit is in tegenspraak met opgave b, dus er geldt niet PS QS op dezelfde manier leidt de veronderstelling PS QS tot een tegenspraak dus PS QS Opgave 3: A A a. ABD ABC ADB ABC AB AD dus AC AB dus AB AC AD C C CDB CBA BCD ACB (hh) (hh) GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

8 dus BC DC AC BC dus BC AC DC AB BC AC AD AC DC AC ( AD DC) AC AC AC b. veronderstel C 90 dan snijdt de hoogtelijn uit A de zijde BC in punt D in ACD is AD CD AC (stelling van Pythagoras) in ABD is AD BD AB (stelling van Pythagoras) dus CD BD AC AB AB AC BD CD AB AC ( BD CD)( BD CD) AB AC BC ( BD CD) AC BC BC dus AB AC BC dit is in tegenspraak met het gegeven dus de veronderstelling C 90 is onjuist veronderstel C 90 in ACD is AD CD AC (stelling van Pythagoras) in ABD is AD BD AB (stelling van Pythagoras) dus CD BD AC AB AB AC BD CD AB AC ( BD CD)( BD CD) AB AC ( BD CD) BC AC BC BC dus AB AC BC dit is in tegenspraak met het gegeven dus de veronderstelling C 90 is onjuist dus de veronderstellingen C 90 en C 90 zijn onjuist, dus C 90 Opgave 4: A en de hoek tussen lijn k en koorde BC zijn gelijk Opgave 5: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. PAB PBC PCA Opgave 6: a. teken het middelpunt M van de cirkel en de stralen AM en BM A B ( gelijkbenige driehoek) A B AMB 80 ( hoekensom driehoek) dus A AMB 80 A AMB 90 dus A A A 90 ( raaklijn) A AMB A ACB ACB AMB AMB GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

9 b. teken middellijn AC en lijnstuk BC B 90 ( Thales) A 90 ( raaklijn) A B A B ( gelijkbenige driehoek) A B A C B C ( gelijkbenige driehoek) A C A D C D ( cons tan te hoek) Opgave 7: A C ( hoek raaklijn koorde) B C 3 3 ( z hoek) dus ABC is gelijkbenig A B Opgave 8: teken AC en BC PCA B ( hoek P P PA PC dus PC PB dus PA PB PC raaklijn koorde) ACP CBP ( hh) Opgave 9: a. volgens de stelling van de hoek tussen de raaklijn en de koorde b. PBC PCA (hoek tussen raaklijn en koorde) PCA PAB (hoek tussen raaklijn en koorde) c. stel T is het snijpunt van c en c T op c, dus TAB TBC T op c, dus TBC TCA dus TAB TCA dus T ligt op c 3 en hieruit volgt dat de drie cirkels door één punt gaan GETAL EN RUIMTE VWO WB D4H AUGUSTINIANUM (LW)

10 .3 Meetkundige plaatsen Opgave 30: Neem een punt R op l dat niet samenvalt met Q. PQ QR PR (stelling van Pythagoras) QR 0 (R valt niet samen met Q) dus PQ PR dus PQ PR Omdat R een willekeurig punt op l is, is PQ de kortste verbinding van P met l. Opgave 3: a. de middelloodlijn van AB b. de bissectrices van de lijnen k en l c. de middenparallel van m en n d. de cirkel met middelpunt M en straal 3 Opgave 3: a. b. GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)

11 Opgave 33: a. alle punten liggen op de middelloodlijn van lijnstuk M M b. Opgave 34: GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)

12 Opgave 35: a. b. Opgave 36: a. zie opgave c b. (0,0) c. d. e. * f. g. d ( P, F) ( xp xf ) ( y P yf ) x ( y y y x ( y ) y x ( y ) ) GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)

13 y 4y x y 4 x h. ja y x y y Opgave 37: C ligt op de meetkundige plaats dus d( C, AB) d( C, d( C, A) d( C, AB) d( C, dus C ligt op een van de parabolen d( C, AB) d( C, dus C ligt op de bissectrice van AB en l Zo ook, D ligt op een van de parabolen en D ligt op de bissectrice van AB en l. Opgave 38: d( P, F) PF d( P, PV dus d( P, F) d( P, PF PV ( P op middelloodlijn FV ) dus punt P ligt op de parabool met brandpunt F en richtlijn l Opgave 39: De meetkundige plaats bestaat uit delen van de parabolen met brandpunt E en richtlijnen AB, BC, CD en AD. Opgave 40: a. de meetkundige plaats bestaat uit de twee stukken CD van de parabolen met brandpunt A en richtlijnen de benen van hoek B GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)

14 b. C ligt op de parabool met brandpunt A en richtlijn k, dus d( C, A) d( C, k) C ligt op de parabool met brandpunt A en richtlijn l, dus d( C, A) d( C, dus d( C, k) d( C, dus C ligt op de bissectrice van k en l zo ook voor punt D Opgave 4: a. b. c. d. m is raaklijn van de parabool e. m is bissectrice van FPV Opgave 4: a. b. m raakt aan de meetkundige plaats c. m is bissectrice van FPV Opgave 43: a. Q op de middelloodlijn van FV dus QV QF d( Q, d( Q, V ) dus d( Q, d( Q, F) b. alle punten op de parabool hebben gelijke afstanden tot F en l d( Q, d( Q, F), dus Q ligt buiten de parabool c. P ligt op m en op de parabool, alle andere punten liggen buiten de parabool dus m raakt de parabool PF PV d. PR PR dus PFR PVR (ZZZ), dus FPR VPR FR VR GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)

15 Opgave 44: teken lijn k door A evenwijdig aan de symmetrie-as hoek van inval = hoek van terugkaatsing teken AF V ligt op k zo dat AF AV lijn l staat loodrecht op lijn k Opgave 45: spiegel punt F in r, het beeld is punt V teken de richtlijn l door V en loodrecht op AV FQ staat loodrecht op lijn l T is het midden van FQ Opgave 46: V ligt op lijn l zo dat AV loodrecht staat op l spiegel punt V in r, heet beeld is punt F FQ staat loodrecht op l punt T is het midden van FQ GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)

16 Opgave 47: a. b. c. teken FV, deze snijdt BP in S PF PV (P op de paraboo BV BF (B op de middelloodlijn) FS SV BSF PSV 90 dus BFS PVS FBS VPS ( Z hoek ) (ZHH ) dus BF PV dus BF BV PV PF dus BVPF is een ruit AQ PV FT TQ AT AQ TQ PV FT BF FT BT GETAL EN RUIMTE VWO WB D4 H AUGUSTINIANUM (LW)