C + E = 180 ( AEBC is een koordenvierhoek)

Transcriptie

1 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 1/16 1 Vermoeden: ACB is constant (in figuur 11 als punt C over de bovenste boog AB loopt) a * 3a * b * 3b Vermoeden: De drie cirkels gaan door één punt c Vermoeden: ACB = 1 ACB 3c Vermoeden: De drie lijnstukken gaan door één punt 4a 4b Gegeven: De punten C en D op dezelfde cirkelboog AB Te bewijzen: C = D Teken een punt E op de cirkelboog AB waarop niet de punten C en D liggen C + E = 180 ( AEBC is een koordenvierhoek) = D + E = 180 C D ( AEBD is een koordenvierhoek) Uit de stelling van de constante hoek volgt dat ACB overal op een cirkelboog AB gelijk is 5a Gegeven: De punten A, B, C en D met C en D aan dezelfde kant van AB en C = D Te bewijzen: C en D liggen op dezelfde cirkelboog AB Teken de cirkel door de punten A, B en C C + E = 180 ( AEBC is een koordenvierhoek) D + E = 180 C = D (gegeven) Dus AEBD is een koordenvierhoek Hieruit volgt dat C en D op dezelfde cirkelboog AB liggen 5b In vierhoek ABCD liggen C en D aan dezelfde kant van AB Als ADB = ACB, dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek), dus A, B, C, en D liggen op één cirkel ABCD is een koordenvierhoek 6a 6b 6c 7a Gegeven: De punten A, B, en C op de cirkel met middelpunt M (zie figuur 14a) Te bewijzen: ACB = 1 AMB Verleng AM Zo ontstaat de middellijn AD ACB = ADB (constante hoek) MDB = MBD (gelijkbenige driehoek) MDB + MBD + BMD = 180 (hoekensom driehoek) ACB + BMD = 180 ACB = AMB ACB = 1 AMB AMB + BMD = 180 (gestrekte hoek) Gegeven: De punten A, B, en C op de cirkel met middelpunt M (zie figuur 14b) Te bewijzen: ACB = 1 AMB Verleng AM Zo ontstaat de middellijn AD D = 180 C (koordenvierhoek) B1 = D (gelijkbenige driehoek) M C C = 180 M1 + D + B1 = 180 (hoekensom driehoek) M = 180 (gestrekte hoek) M + = = 1 = = 1 1 M C M1 C M1 C ofwel ACB AMB Alternatieve uitwerking Gegeven: De punten A, B, en C op de cirkel met middelpunt M (zie figuur 14b) Te bewijzen: ACB = 1 AMB Teken punt D op de cirkel zoals hiernaast en teken CD en DM C = 1 1 M (onderdeel 6a) 1 C = 1 = 1 1 M1 ofwel ACB AMB C = 1 (onderdeel 6a) M Gegeven: De punten A, B, en C op de cirkel met middelpunt M (zie de figuur hiernaast) Te bewijzen: ACB = 1 AMB ACB = 90 (Thales) ACB = 1 AMB AMB = 180 (gestrekte hoek) Gegeven: Een cirkel met middelpunt M en de gelijke bogen AB en CD Te bewijzen: AB = CD boog AB = boog CD AMB = CMD AMB CMD (ZHZ) AB = CD AM = BM = CM = DM (straal van de cirkel)

2 7b G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg /16 Gegeven: Een cirkel met middelpunt M en de gelijke koorden AB en CD Te bewijzen: boog AB = boog CD AB = CD AMB CMD (ZZZ) AMB = CMD boog AB = boog CD AM = BM = CM = DM (straal van de cirkel) 8 Gegeven: Driehoek ABC met hoogtelijn CF en met FD BC en FE AC Te bewijzen: CDE = A Teken DE E 1 + D1 = , dus CDFE is een koordenvierhoek (koordenvierhoek) Dus D1 = F (constante hoek) In AEF is A = 90 F1 D = = 1 A A F F = (rechte hoek) 90 F1 ofwel CDE = A 9 Gegeven: De gelijkbenige driehoek ABC met AC = BC en het punt P met CDE = 1 ACB aan dezelfde kant van AB als C (zie figuur 14b) Te bewijzen: BC = CP Teken de cirkel met middelpunt C en straal AC Punt D ligt op de boog AB aan dezelfde kant van AB als C D = 1 ACB (omtrekshoek) D = P P = 1 ACB (gegeven) Hieruit volgt dat D en P op de zelfde cirkelboog AB met middelpunt C liggen (constante hoek) dus BC = CP (straal van de cirkel) 10a Gegeven: ABC met de naar buiten gerichte gelijkzijdige driehoeken BCP, ACQ en ABR (zie figuur 17) Te bewijzen: De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP, ACQ en ABR gaan door één punt De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP en ACQ snijden elkaar binnen ABC in het punt T P + BTC = 180 (koordenvierhoek) BTC = 10 (1) P = 60 (gelijkzijdige driehoek) Q + ATC = 180 (koordenvierhoek) ATC = 10 () Q = 60 (gelijkzijdige driehoek) Uit (1) en () volgt ATB = 10 R = 60 ATB + R = 180 (gelijkzijdige driehoek) Dus ATBR is een koordenvierhoek (koordenvierhoek), dus T ligt op de omgeschreven cirkel van driehoek ABR Hieruit volgt dat de drie omgeschreven cirkels door één punt gaan 10b Gegeven: ABC met ACB > 10 en de naar buiten gerichte gelijkzijdige driehoeken BCP, ACQ en ABR Te bewijzen: De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP, ACQ en ABR gaan door één punt De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP en ACQ snijden elkaar buiten ABC in het punt T P = BTC (constante hoek) BTC = 60 (1) P = 60 (gelijkzijdige driehoek) Q = ATC (constante hoek) ATC = 60 () Q = 60 (gelijkzijdige driehoek) Uit (1) en () volgt ATB = = 10 R = 60 ATB + R = 180 (gelijkzijdige driehoek) Dus ATBR is een koordenvierhoek (koordenvierhoek), dus T ligt op de omgeschreven cirkel van driehoek ABR Hieruit volgt dat de drie omgeschreven cirkels door één punt gaan

3 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 3/16 11a C 1 = C 3 = 60 (gelijkzijdige driehoek) C 1 = C 3 QC = AC (gelijkzijdige driehoek) QBC APC (ZHZ) BC = PC (gelijkzijdige driehoek) 11b QBC APC CQB = CAP ofwel CQS = CAS Hieruit volgt dat Q en A op dezelfde cirkelboog CS liggen (constante hoek), dus AQCS is een koordenviehoek 11c A1 = A3 = 60 (gelijkzijdige driehoek) A1 = A3 AQ = AC (gelijkzijdige driehoek) QBA CRA (ZHZ) AB = AR (gelijkzijdige driehoek) QBA CRA AQB = ACR ofwel AQU = ACU Hieruit volgt dat Q en C op dezelfde cirkelboog AU liggen (constante hoek), dus AQCU is een koordenviehoek 11d S op BQ en uit 11b volgt dat S op de omgeschreven cirkel van AQC ligt U op BQ en uit 11c volgt dat U op de omgeschreven cirkel van AQC ligt Dus S en U zijn hetzelfde punt, ofwel AP, BQ en CR snijden elkaar in één punt 11e Het snijpunt van AP, BQ en CR ligt op de omgeschreven cirkel van AQC (zie 11d) Uit QBC APC (zie 11a) volgt op dezelfde manier als in 11b en 11d dat het snijpunt van AP, BQ en CR op de omgeschreven cirkel van BPC ligt Dus het snijpunt van AP, BQ en CR is het punt T van opgave 10 1a 1b 13a 13b Gegeven: De punten A, B, C en D op een cirkel zo, dat de lijnen AB en CD elkaar binnen de cirkel snijden in P Te bewijzen: PA PB = PC PD Teken de lijnstukken AC en BD A = D (constante hoek) B = C ACP DBP (hh) ( constante hoek) Hieruit volgt PA = PC, dus (neem kruisproducten) PA PB = PC PD PD PB Gegeven: De punten A, B, C en D op een cirkel zo, dat de lijnen AB en CD elkaar buiten de cirkel snijden in P Te bewijzen: PA PB = PC PD Teken de lijnstukken AC en BD A + D1 = 180 (koordenvierhoek) A D D (gestrekte hoek) 1 D 180 = + = APC DPB (hh) P = P Hieruit volgt PA = PC, dus (neem kruisproducten) PA PB = PC PD PD PB Teken AB en CD P + + = 1 A B 180 (hoekensom driehoek) A = 1 BMC (omtrekshoek) P = 1 BMC AMD 180 B = 1 AMD (omtrekshoek) AMB + BMC + CMD + AMD = 360 P BMC + 1 AMD = AMB BMC + 1 CMD + 1 AMD Dus APB = 1 AMB + 1 CMD = 1 ( AMB + CMD) Teken BD D1 + P + B = 180 (hoekensom driehoek) P + B = D D + = 1 D 180 (gestrekte hoek) B = 1 CMD (omtrekshoek) D = 1 AMB (omtrekshoek) P + 1 CMD = 1 AMB APB = 1 AMB 1 CMD = 1 ( AMB CM D) 14 Gegeven: Twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in A en B De lijn l door A snijdt de cirkels in P en Q Te bewijzen: Driehoek BPQ is gelijkbenig Noem het middelpunt van de linker cirkel M en van de rechter cirkel N Teken BP, BQ, AB, AN en BN

4 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 4/16 MA = MB = NA = NB ( = straal) MAB NAB (ZZZ) AMB = N = 1 AB AB Q = 1 1 N (omtrekshoek) Q = N 1 N + = = 1 N 360 N 360 N1 Q 1 = 180 Q Q = 1 N 1 Q = 1 AMB AMB = N 1 P = Q driehoek BPQ is gelijkbenig P = 1 AMB (omtrekshoek) 15a 15b 15c AD + CD = AC AC > AD AC > AD CD > 0 BD + CD = BC (Pythagoras) BC > BD BC > BD CD > 0 AC > AD (15a) AC + BC > AD + BD BC > BD (15b) AC + BC > AB AD + BD = AB 16 Gegeven: ABC met een willekeurig punt P binnen deze driehoek Te bewijzen: PA + PB + PC > s Teken de lijnstukken PA, PB en PC PA + PB > c (driehoeksongelijkheid) PB + PC > a (driehoeksongelijkheid) PA + PB + PC > a + b + c PC + PA > b (driehoeksongelijkheid) PA + PB + PC > 1 ( a + b + c) PA + PB + PC > s 17 Gegeven: ABC met een willekeurig punt D op BC Te bewijzen: AD < s Teken lijnstuk AD AD < CD + b (driehoeksongelijkheid) AD < CD + BD + b + c AD < BD + c (driehoeksongelijkheid) AD < a + b + c AD < 1 ( a + b + c) AD < s 18 Gegeven: Vierhoek ABCD met een punt P niet op een van de diagonalen Te bewijzen: AP + BP + CP + DP > AC + BD Teken AP, BP, CP, DP en de diagonalen AC en BD AP + CP > AC (driehoeksongelijkheid) BP + DP > BD AP + BP + CP + DP > AC + BD (driehoeksongelijkheid) 19a Dit volgt uit de driehoeksongelijkheid 19b AB + BC > AC is in tegenspraak met AB + BC = AC, dus de veronderstelling dat B niet op de lijn AC ligt is onjuist B ligt op de lijn AC 0 Gegeven: Vierhoek ABCD met AB = CD en AB // CD Te bewijzen: AD // BC ( // betekent "is evenwijdig met ") Veronderstel dat niet geldt AD // BC, dan snijden AD en BC elkaar in een punt S (zie de rechter figuur hiernaast) S = S ABS DCS (hh) AB AS A D = = (F-hoeken) DC DS Omdat AS DS is AB DC ( betekent "is niet gelijk aan") Dit is in tegenspraak met AB = CD De veronderstelling dat AD niet evenwijdig is met BC is dus onjuist AD // BC

5 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 5/16 1 Gegeven: ABC met A = B Te bewijzen: AC = BC Veronderstel dat AC > BC, dan is er een punt D op AC zo, dat AD = BC AD = BC A = B1 ABD BAC (ZHZ) B1 = A AB = AB Dit is in tegenspraak met het gegeven er geldt niet AC > BC AC = BC Op dezelfde manier leidt de veronderstelling AC < BC tot een tegenspraak a O ( ADC ) = 1 CD h(oogte trapezium) c Veronderstel dat PS < QS ( ) = 1 Dan O ( APS ) < O ( BQS ) en O ( DPS ) < O ( CQS ) O BDC CD h(oogte trapezium) Dus O ( ADS ) < O ( BCS ) ( h is de afstand tussen AB en CD) In tegenspraak met onderdeel b er geldt niet PS < QS b O ( ADS ) = O ( ADC ) O ( CDS ) Op dezelfde manier leidt " PS > QS " tot een tegenspraak = O ( BDC ) O ( CDS ) Dus PS = QS = O ( BCS ) 3a Gegeven: ABC met C = 90 Te bewijzen: BC + AC = AB Teken de hoogtelijn CD A = A = ACB ADC (hh) AC AB AC = AD AB (1) C = D = 90 AD AC B = B = BCA BDC (hh) BC BA BC = BD AB () C = D = 90 BD BC Uit (1) en () volgt nu: AC + BC = AD AB + BD AB = ( AD + BD) AB = AB AB = AB 3b Gegeven: ABC met BC + AC = AB Te bewijzen: C = 90 I Veronderstel C < 90, dan snijdt de hoogtelijn uit A de zijde BC in D In ACD is: AD + CD = AC (Pythagoras) In ABD is: AD + BD = AB (Pythago ras) CD BD = AC AB AB = AC + BD CD AB = AC + ( BD + CD) ( BD CD) AB = AC + BC ( BD CD) < AC + BC BC AB < AC + BC Dit is in tegenspraak met het gegeven veronderstelling I is onjuist II Veronderstel C > 90, dan snijdt de hoogtelijn uit A de zijde BC in D In ACD is: AD + CD = AC (Pythagoras) In ABD is: AD + BD = AB (Pythagoras) CD BD = AC AB AB = AC + BD CD AB = AC + ( BD + CD) ( BD CD) AB = AC + ( BD + CD) BC > AC + BC BC AB > AC + BC Dit is in tegenspraak met het gegeven veronderstelling II is onjuist C < 90 en C > 90 zijn onjuist C = 90 4 Vermoeden: A en de hoek tussen k en koorde BC zijn gelijk 5ab Vermoeden: De drie cirkels gaan door één punt 5c Vermoeden: PAB = PBC = PCA 6a Gegeven: Een cirkel met koorde AB, raaklijn k in A aan de cirkel en een punt C op de grootste boog AB Te bewijzen: A1 = ACB Teken het middelpunt M en de stralen AM en BM A = B1 (gelijkbenige driehoek) A + B1 + AMB = 180 (hoekensom driehoek) A 1 + AMB = 180 A + AMB = 90 A + A1 = 90 (raaklijn) A 1 1 = AMB A 1 1 = ACB ACB = AMB (omtrekshoek)

6 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 6/16 6b Gegeven: Een cirkel met koorde AB, raaklijn k in A aan de cirkel en een punt D op de grootste boog AB Te bewijzen: A1 = D Teken middellijn AC en lijnstuk BC B1 = 90 (Thales) A1 = 90 (raaklijn) A = B (gelijkbenige driehoek) A1 = B1 B1 = C (gelijkbenige driehoek) A1 = C A (constante hoek) 1 = D C = D 7 8 Gegeven: De punten A, B en C op een cirkel met de raaklijn in C evenwijdig met koorde AB Te bewijzen: ABC is gelijkbenig Teken AC en BC B = C 3 (Z-hoeken) A = C B = A ABC is gelijkbenig 3 (hoek tussen koorde en raaklijn) Gegeven: Een punt P buiten een cirkel, lijn k door P snijdt de cirkel in de punten A en B en lijn l door P raakt de cirkel in C Te bewijzen: PA PB = PC Teken AC en BC PCA = B (hoek tussen koorde en raaklijn) P = P PCA PBC (hh) PC = PA PA PB = PC PB PC 9a Volgens de stelling van de hoek tussen koorde en raaklijn 9b PBC = PCA (hoek tussen koorde en raaklijn) PCA = PAB (hoek tussen koorde en raaklijn) 9c Noem T het snijpunt van c1 en c T op c1 TAB = TBC (9a) TAB = TCA T op c (9b) = (9b) 3 c1, c en c3 gaan door één punt T op c TBC TCA 30 Gegeven: Lijn l, een punt P niet op l en het punt Q op l zo, dat PQ l Te bewijzen: PQ is de kortste verbinding van P met l PQ + QR = PR (Pythagoras) PQ < PR PQ < PR QR > 0 ( R valt niet samen met Q) Omdat R een willekeurig punt op l is, is PQ de kortste verbinding van P met l 31a d ( P, A) = d ( P, B) P op de middelloodlijn van AB 31b d ( P, k ) = d ( P, l ) (en k snijdt l ) P op de twee bissectrices (hoekdeellijnen) van de hoeken tussen (de lijnen) k en l 31c d ( P, m) = d ( P, n) (met m n) P op de lijn evenwijdig met m en n, die gelijke afstand heeft tot m en tot n 31d d ( P, M) = 3 P op de cirkel met middelpunt M en straal 3 (Notatie: ( M, 3)) 3a d ( P, k ) = 3 P op de lijnen op afstand 3 van k (zie de figuur hierdonder) 3 cm k 4 cm k 3 cm 4 cm 3b d ( P, k ) = 4 P op de lijnen op afstand 4 van k d ( P, k ) 4 P op of buiten de lijnen op afstand 4 van k opgave 3b

7 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 7/16 33a d ( P, c1) = d ( P, c) P op de middelloodlijn van M1M (teken nu zelf in het werkboek de middeloodlijn van M M ) 1 33b d ( P, c1) = 3 P op ( M1, 6) d ( P, c) = P op ( M, 5) of ( M, 1) d ( P, c1) 3 (én) d ( P, c) is dan het gearceerde gebied (met rand) in de figuur hiernaast M 1 3 cm 3 cm c cm cm M 1 cm c 1 34 d ( P, k ) = d ( P, l ) (zie de figuur hieronder) k d ( k, l ) 3 1 d ( k, l ) 3 l d ( k, l ) 35a d ( P, c1) = d ( P, c ) (zie de rechter figuur hiernaast) 35b d ( P, c) = d ( P, c 1) (zie de linker figuur hiernaast) 36a Zie de figuur naast 36c 36b Voor O (0,0) is d ( P, F ) = d ( P, l ) = 1 (zie de rechter figuur hiernaast) 36c d ( P, F ) = 3 P op ( F, 3) d ( P, l ) = 3 P op de lijnen op afstand 3 van l d ( P, F ) = d( P, l ) = 3 P = P1 of P = P (zie de figuur hiernaast) 36d d ( P, F ) = d ( P, l ) = 1,5 P = P3 of P = P4 d ( P, F ) = d ( P, l ) = P = P5 of P = P6 d ( P, F ) = d ( P, l ) = 5 P = P7 of P = P8 (zie de figuur hiernaast) Vermoeden: de punten P liggen op een parabool als d ( P, F ) = d ( P, l ) 36e d ( P, l ) = d ( P, x -as) + 1 = yp + 1 = y f Pythagoras in FQP: (zie de inzet hiernaast) FP = PQ + FQ met PQ = yp yq = y 1 en FQ = xq xf = xp 0 = x Dus FP = ( y 1) + x FP = d ( P, F ) = ( y 1) + x 36g d ( P, F ) = d ( P, l ) ( y 1) + x = y + 1 (kwadrateren) ( y 1) + x = ( y + 1) y y x = y + y y = x (delen door 4) y = 1 x (de formule van een parabool) 4 36h Ja, het vermoeden in 36d klopt 37 C ligt op de meetkundige plaats d ( C,lijnstuk AB) = d ( C, l ) d ( C, A) = d ( C, l ) C ligt op een van de parabolen d ( C,lijnstuk AB) = d ( C, A), want AC AB d ( C,lijnstuk AB) = d ( C, A) = d ( C,lijn AB), want AC AB d ( C,lijn AB ) = d ( C, l ) C ligt op de bissectrice Op dezelfde manier volgt dat D op een van de parabolen en de bissectrice ligt

8 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 8/16 38 PF = PV ( P op de middelloodlijn van FV ) d ( P, F ) = d ( P, l ) P ligt op de parabool met brandpunt F en richtlijn l d ( P, F ) = PF en d ( P, l ) = PV 39 De meetkundige plaats bestaat uit delen van de parabolen met brandpunt E en richtlijnen AB, BC, CD en AD Bij het tekenen blijkt het voldoende te zijn de parabolen met brandpunt E en richtlijnen AB en CD te tekenen (zie de figuur hiernaast) 40a 40b De meetkundige plaats bestaat uit delen van de parabolen K met brandpunt A en richtlijnen de benen van hoek B (zie de figuur hiernaast) Punt K is een knik op de meetkundige plaats (het maakt niet uit welk van de twee knikken) K op de parabool met brandpunt A en richtlijn het linkerbeen van hoek B d ( K, A) = d ( K,linkerbeen) K op de parabool met brandpunt A en richtlijn het rechterbeen van hoek B d ( K, A) = d ( K,rechterbeen) d ( K,linkerbeen) = d ( K,rechterbeen) K ligt op de bissectrice van hoek B 41a * 41d Vermoeden: lijn m is raaklijn van de parabool 41g Ja 41b * 41e Vermoeden: lijn m is bissectrice van FPV 41c * 41f * 4a * 4c Vermoeden: lijn m is bissectrice van FPV 4b Vermoeden: lijn m raakt aan de meetkundige plaats 4d Ja 43a 43b 43c 43d d ( Q, l ) < d ( Q, V ) (afstand tot lijn) d ( Q, l ) < d ( Q, F ) d ( Q, V ) = d ( Q, F ) (middelloodlijn) voor P op de parabool geldt: d ( P, l ) = d ( P, V ) Q ligt buiten de parabool voor Q geldt: d ( Q, l ) < d ( Q, V ) P ligt op de parabool en op m en alle andere m raakt de parabool punten van m liggen buiten de parabool Het snijpunt van m met FV noemen we S PF = PV (parabool) FS = SV (middelloodlijn) PSF PSV (ZZZ) FPS = VPS ofwel m maakt gelijke hoeken met PF en PV PS = PS 44 Gebruik figuur 145 in het boek k is de lijn door A (loodrecht op de richtlijn, dus) evenwijdig aan de symmetrieas ( k, r) = ( r, AF ) brandpunt F FT = BT l (door B, loodrecht op de symmetrieas) (zie de figuur hieronder) 45 Gebruik figuur 145 in het boek F spiegelen in r V l door V, loodrecht op AV T is het midden van FF ' (zie de figuur hieronder) l 46 Gebruik figuur 145 in het boek AV l V op l V spiegelen in r F T is het midden van FF ' (zie de figuur hiernaast)

9 47a 47b 47c G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 9/16 = = = is een ruit Zie de figuur hiernaast Gegeven: zie opgave 47 in het boek Te bewijzen: Vierhoek BVPF is een ruit Teken FV en het snijpunt S van BP en FV PF = PV (parabool) en BV = BF (middelloodlijn) FS = SV (middelloodlijn) FSB = VSP = 90 = BSF PSV (ZHH) BF PV PV // s P = (Z-hoeken) 1 B1 PF PV BF BV BVPF Gegeven: zie opgave 47 in het boek Te bewijzen: AT = BT Het snijpunt van l en s noemen we U TU = TF (parabool) AU = PV (rechthoek) AU = BF AU TU = BF TF AT = BT PV = BF (ruit)

10 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 10/16 D1a D1b Diagnostische toets Teken DE F1 = D (constante hoek) E 1 = 90 (Thales) C F1 = 180 C 1 + E 1 + D = 180 (hoekensom driehoek) C 1 + F1 = 90 Gegeven: zie opgave D1 in het boek Te bewijzen: ABFE is een koordenvierhoek A + C = 180 A + C 1 = 90 A = F + = (zie D1a) 1 C 1 F1 90 Dus A + F = F1 + F = 180 ABFE is een koordenvierhoek D Gegeven: Twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in A en B De lijn l gaat door B en snijdt de cirkels in P en Q Te bewijzen: AP = AQ Noem de middelpunten van de cirkels M en N MA = NA ( = straal) MB = NB ( = straal) ABM ABN (ZZZ) M = N AB = AB M = N (zie hierboven) P = 1 1 M (omtrekshoek) P1 = Q1 l Q = 1 (omtrekshoek) PAQ is gelijkbenig AP = AQ 1 N M 1 P B A N 1 Q D3 Gegeven: Cirkel c met middelpunt M en punt A buiten de cirkel Lijn AM snijdt de cirkel in B en C Op c liggen D en E zo, dat boogcd = boog CE Te bewijzen: CAE = CAD Teken CE en CD boogcd = boogce = = BC boogbd boog BE C 1 C is middellijn C 1 = C (zie hierboven) AC = AC ADC AEC (ZHZ) CAD = CAE CD = CE (boog en koorde) D4 Gegeven: ABC met zwaartelijn CD Te bewijzen: CD < 1 ( AC + BC ) Verleng CD met DE = CD en teken vierhoek AEBC AB en CE delen elkaar middendoor, dus AEBC is een parallellogram CE < AC + AE (driehoeksongelijkheid) CE = CD CD < AC + BC CD < 1 + ( AC BC ) AE = BC (parallellogram) D5 Gegeven: Cirkel c1 met middelpunt M en cirkel c met middelpunt N, die elkaar raken in R Lijn k gaat door R en snijdt c1 in A en c in B Lijn l gaat door R en snijdt c1 in C en c in D Te bewijzen: AC // BD Teken de gemeenschappelijke raaklijn van c1 en c in R A = R1 (hoek tussen koorde en raaklijn) R1 = R (overstaane hoeken) A = B AC // BD (Z-hoeken) R = B (hoek tussen koorde en raaklijn) D6 Gegeven: Vierkant ABCD met daarin punt E zo, dat EDC = ECD = 15 Te bewijzen: ABE is gelijkzijdig Uit het gegeven volgt dat DE = CE en AE = BE, dus het vierkant is symmetrisch in de lijn MN, waarbij M het midden is van AB en N het midden van CD Veronderstel dat ABE niet gelijkzijdig is, dan is BAE < 60 of BAE > 60

11 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 11/16 I Veronderstel BAE < 60 DAE > 30 en ABE < 60 BAE < 60 en ABE < 60 AE < AB AE < AD AB = AD DAE > 30 ADE + AED < 150 ADE < 75 EDC > 15 AE < AD ADE < AED Dit is in tegenspraak met het gegeven BAE < 60 is onjuist (1) II Veronderstel BAE > 60 DAE < 30 en ABE > 60 BAE > 60 en ABE > 60 AE > AB AE > AD AB = AD DAE < 30 ADE + AED > 150 ADE > 75 EDC < 15 AE > AD ADE > AED Dit is in tegenspraak met het gegeven BAE > 60 is onjuist () Uit (1) en () volgt BAE = 60 ( = ABE ) ABE is gelijkzijdig D7a d ( P, l ) = d ( P, m) met als meetkundige plaats de bissectrices van de hoeken tussen / en m D7d d ( P, A) = d ( A, m) met als meetkundige plaats de cirkel met middelpunt M en straal r = d ( A, m) D7b d ( P, A) = d ( P, l ) met als meetkundige plaats de parabool met brandpunt A en richtlijn l D7e d ( P, l ) = d ( A, l ) met als meetkundige plaats de lijnen op afstand d ( A, l ) van l (evenwijdig met l ) D7c d ( P, A) d ( P, m) met als meetkundige plaats de parabool met brandpunt A en richtlijn m als ook het gebied binnen deze parabool D8a Teken de lijn door P evenwijdig aan de symmetrieas Spiegel deze lijn in de raaklijn door P Het snijpunt van de gespiegelde lijn en de symmetrieas is het brandpunt F F spiegelen in de top geeft een punt op de richtlijn De richtlijn staat loodrecht op de symmetrieas D8b Voor het brandpunt en de richtlijn zie D8a Teken het voetpunt V van Q De middelloodlijn van FV is de raaklijn in Q D9 Gegeven: Parabool p met richtlijn l en brandpunt F De raaklijnen k en m snijden elkaar in S op l Te bewijzen: PSQ = 90 Teken PV l en QW l Teken QP, FS, VF en WF S op de middelloodlijn van FV SV = SF S op de middelloodlijn van FW SW = SF F op cirkel met middellijn VW WFV = 90 (Thales) WFV = 90 M = 90 (raaklijn is middelloodlijn van FV ) N = 90 PSQ = 90 (raaklijn is middelloodlijn van FW ) WFV + M + N + PSQ = 360 (hoekensom vierhoek)

12 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 1/16 Gemengde opgaven 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde G1a Zie de figuur hiernaast G1b G1c Gegeven: Gelijkzijdige ABC met zijn omgeschreven cirkel Punt P ligt op de kortste boog BC en B ' ligt op het het verlengde van CP zo, dat PB ' = PB Te bewijzen: BB ' P is gelijkzijdig P1 = B1 = 60 (constante hoek) P = C 1 = 60 (constante hoek) P3 = 60 P13 = 180 (gestrekte hoek) Dus BB ' P is een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 60 BB ' P is gelijkzijdig Gegeven: Gelijkzijdige ABC met zijn omgeschreven cirkel Punt P ligt op de kortste boog BC en B ' ligt op het het verlengde van CP zo, dat PB ' = PB Te bewijzen: AP = BP + CP AB = BC BP = BB ' ABP CBB ' (ZHZ) B1 = 60 + B B B = = = + 1 B B dus AP CB ' AP = CB ' = CP + PB ' AP = CP + BP BP = PB ' Ga Gb G3 Gegeven: Koordenvierhoek ABCD met AC BD en punt K op CD zo, dat CK = DK Het snijpunt van de diagonalen is S en L is het snijpunt van KS en AB Te bewijzen: ASL = KCS S1 = 90 en CK = DK K is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van CDS (Thales) Dus KS = KC S1 = C C = = = (overstaande hoeken) S 4, dus ASL KCS S1 S 4 Gegeven: Koordenvierhoek ABCD met AC BD en punt K op CD zo, dat CK = DK Het snijpunt van de diagonalen is S en L is het snijpunt van KS en AB Te bewijzen: KL AB D1 + C + S1 = 180 (hoekensom driehoek) D + = = 1 C 90 S1 90 A + C = 90 D1 = A (constante hoek) A + C = 90 A + = = (zie Ga) S 4 90 C S 4 L1 = 90 KL AB A + S 4 + L1 = 180 (hoekensom driehoek) Gegeven: Koordenvierhoek ABCD waarbij BD middellijn van de omgeschreven cirkel is Punt P ligt op AD en punt Q op CD zo, dat PQ BD Te bewijzen: PACQ is een koordenvierhoek S is het snijpunt van PQ en BD BD is middellijn A1 = 90 (Thales) S = 90 B1 + P = 180 A1 + B1 + S + P = 360 (hoekensom vierhoek) B1 + P = 180 C + = = (constante hoek) P 180 B1 C Dus PACQ is een koordenvierhoek (koordenvierhoek)

13 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 13/16 G4a G4b Gegeven: Zie opgave G4 in het boek Te bewijzen: p1 en p raken elkaar Teken vierkant ABCD met AB door F1 en AB // FF 4; BC door F en BC // F1F3; CD door F3 en CD // FF 4 en AD door F4 en AD // F1F3 Het snijpunt van F1F3 en FF 4 is O BF1 = BF = d ( B, FF 4) B op p1 (parabool) De raaklijn in B aan p1 is de bissectrice van F1BF en gaat dus door O Evenzo ligt B op p en gaat de raaklijn in B aan p door O Dus de parabolen p1 en p raken elkaar dus in B Gegeven: Zie opgave G4 in het boek Parabool p1 snijdt de zijde F1F in S Te bewijzen: F4 ligt op de raaklijn aan p1 in S Teken SF4 en ST FF 4 S op p1 SF1 = ST (parabool) SF1F 4 = STF4 = 90 SF1F 4 STF4 (ZZR) SF 4 = SF4 F1SF 4 = TSF4 SF4 is raaklijn van p1 (raaklijneigenschap) Dus F4 ligt op de raaklijn aan p1 in S G5a G5b Gegeven: Zie opgave G5 in het boek Te bewijzen: γ = α + β Spiegel α in la en β in lb De gespiegelde lijnen staan loodrecht op de richtlijn (raaklijn parabool) Teken door C een lijn evenwijdig met de gespiegelde lijnen C 1 = α (Z-hoeken) = γ = α + β = β C (Z-hoeken) 1 C Gegeven: Zie opgave G5 in het boek Te bewijzen: AFB = γ Spiegel α in la en β in lb De gespiegelde lijnen staan loodrecht op de richtlijn (raaklijn parabool) Teken door F een lijn evenwijdig met de gespiegelde lijnen F1 = α (Z-hoeken) = α + β = β F1 F (Z-hoeken) F1 = AFB = γ γ = α + β (zie G5a) G6 Gegeven: Zie opgave G6 in het boek Te bewijzen: De bogen P1Q 1 en PQ zijn even groot YAX = YBX (constante hoek) YAX = P1AP (overstaande hoeken) P1AP = Q1AQ YBX = Q1AQ (overstaande hoeken) boogp1p = boog Q1Q boogp1p = boogq1q boogp1q 1 = boogp1p + boogpq 1 boogp1q 1 = boog PQ boogpq = boogq1q + boogpq 1

14 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 14/16 G7a G7b G7c D is onafhankelijk van de stand van l (constante hoek) C1 = BCA is onafhankelijk van de stand van l (constante hoek) C = BCD is onafhankelijk van de stand van l CBD is onafhankelijk van de stand van l ( C1 + C = 180 ) CBD + BCD + D = 180 (hoekensom driehoek) Gegeven: Zie opgave G7 in het boek l Te bewijzen: AMN = ACB Teken AM, BM en AB ACB = 1 AMB (omtrekshoek) AMN = ACB AMB is gelijkbenig AMN = 1 AMB Gegeven: Zie opgave G7 in het boek Te bewijzen: MAN = CBD Teken AM, AN, BN en AB ADB = 1 ANB (omtrekshoek) ANM = ADB ANB is gelijkbenig ANM = 1 ANB l MAN + AMN + ANM = 180 (hoekensom driehoek) AMN = ACB = DCB MAN = CBD ANM = ADB = CDB CBD + DCB + CDB = 180 (hoekensom driehoek) G8a G8b Gegeven: Zie opgave G8 in het boek Te bewijzen: APB = γ Noem BAC = α en ABC = β α + β + γ = 180 (hoekensom driehoek) 1 α + 1 β + 1 γ = γ 1 = 180 APB APB = α + 1 β + APB = 180 (hoekensom driehoek) γ Gegeven: Zie opgave G8 in het boek Te bewijzen: De baan die P beschrijft is een cirkelboog De grootte van γ verandert niet als C over boog I beweegt (constante hoek) de grootte van APB = γ verandert niet als C over boog I beweegt de baan van P is een cirkelboog (constante hoek) G8c APB = γ (zie G8a) = 1 M1 (omtrekshoek) M1 = γ M1 = γ AMB γ = 360 AMB = 180 γ AMB + M1 = 360 G8d Gegeven: Zie opgave G8 in het boek Te bewijzen: M ligt op boog II AMB + γ = 180 γ + γ = 180 AMBC is een koordenvierhoek (koordenvierhoek) M ligt op boog II G9 Gegeven: ABC en BDE met ACB = BDE De omgeschreven cirkels van deze driehoeken snijden elkaar in B en in S Te bewijzen: S ligt op de lijn AE Teken AS, BS en SE D + S = 180 (koordenvierhoek) D = C S1 + S = 180 S op AE C = S1 (constante hoek)

15 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 15/16 G10a G10b Het snijpunt van AM met de cirkel is N boog R = 1 = 1 1R van de omtrek van c, dus R1MR 360 = R = 1 = 1 1MA R1MR 10 = 60 AM = MR1 = r = MN R1 = 90 (raaklijn) Dus AN = MN de afstand van A tot c is de helft van AM In het grensgeval met α = 90 is XS1MS een viekant, immers de hoeken bij S1 en S zijn 90 en MS1 = MS De zijde van dit vierkant is r MX = r O ( G ) = O (cirkel met straal r ) O (cirkel met straal r ) = π ( r ) π r = π r πr = πr = O ( c) G11a G11b B1 + S1 + β = 180 (koordenvierhoek) = α α + + β = B S (gestrekte hoek) A = β (constante hoek) B1 = A α = β Dus BAC = ABC De middelloodlijn van AB snijdt de cirkel in C 1 en C (omdat C1 en C op de middelloodlijn van AB liggen geldt: C1AB = C1BA en CAB = CBA) Uit de omgekeerde bewering volgt nu dat de spiegeltjes in de richtingen PC 1 en QC getekend moeten worden G1a Teken twee lijnen evenwijdig met k op afstand 1 cm van k, de cirkel met middelpunt M en straal cm en de cirkel met middelpunt M en straal 4 cm G1b De meetkundige plaats is de halve lijn MA en de parabool met brandpunt M en de richtlijn evenwijdig met k op afstand 3 cm van k

16 G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 16/16 G13a Gegeven: Zie opgave G13 in het boek Te bewijzen: DC = DP AB = BP P = A = α (gelijkbenige driehoek) C 1 + α = 180 (koordenvierhoek) = = α P C + = C C (gestrekte hoek) 1 C 180 Dus CDP is een gelijkbenige driehoek en hieruit volgt DC = DP G13b Gegeven: Zie opgave G13 in het boek Te bewijzen: ASD = 3 α B1 = 90 (Thales) = α α + + = D1 90 B1 D1 180 (hoekensom driehoek) P = α (zie G13a) C 1 = α (zie G13a) C = + α = (Thales) 1 90 C 90 A1 + α α = 180 A1 + P + C = 1 = α A 90 (hoekensom driehoek) A1 + D1 + ASD = 180 (hoekensom drieh) D1 = 90 α 90 α + 90 α + ASD = 180 A1 = 90 α ASD = 3 α