Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Transcriptie

1 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte van het vlakdeel is x ( (e ) x + e )dx Een primitieve van (e ) x + ex is (e ) x + x ex De gevraagde oppervlakte is De oppervlakte van het vlakdeel is het verschil tussen de oppervlakte van een trapezium en De oppervlakte van het bedoelde trapezium is ed x x e + ed x x = e De gevraagde oppervlakte is maximumscore x De grafiek van gx= ( ) e wordt om de x-as gewenteld x π (e ) dx x x x De inhoud is (e ) = e e + x x Een primitieve van e e + is e x e x + x De inhoud is π ( e e +3 ) - -

2 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Met een gemeenschappelijk brandpunt 3 maximumscore (AP, raaklijn aan e ) = (BP, raaklijn aan e ) = α ; raaklijneigenschap ellips (AP, raaklijn aan e ) = (CP, raaklijn aan e ) = β ; raaklijneigenschap ellips (CP, raaklijn aan e ) = (BP, raaklijn aan e ) = α ; overstaande hoeken α + β = 8 ; gestrekte hoek (raaklijn aan e, raaklijn aan e ) = α + β = 9 maximumscore Uit de definitie van de ellips volgt PA+ PC = QA+ QC Uit de definitie van de ellips volgt PA+ PB = QA+ QB Hieruit volgt PC PB = QC QB Volgens de definitie van de hyperbool liggen P en Q dus op eenzelfde hyperbool met brandpunten B en C - -

3 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Een parabool? maximumscore A(, ) en B(, ) Als a = is de formule y = x+ De coördinaten van A voldoen, want = + De coördinaten van B voldoen ook, want = + (dus de formule is juist voor a = ) A(, ) en B(, ) De lijn door A(, ) en B(, ) heeft richtingscoëfficiënt Voor lijn AB geldt dus y = ( x ), wel y = x+ a = invullen in de gegeven formule geeft ook y = x+ (dus de formule is juist voor a = ) maximumscore Voor het snijpunt met de y-as geldt y = a + a dy a da dy da De grootste waarde van y is = Voor het snijpunt met de y-as geldt y = a + a a + a= geeft a( a+ ) = dus a = a = Hieruit volgt dat het maximum wordt aangenomen voor a = De grootste waarde van y is = 7 maximumscore De afgeleide van x + is x x = invullen geeft als richtingscoëfficiënt van de raaklijn Een vergelijking van de raaklijn in (, ) is y = x+ De raaklijn is een van de lijnen AB als a = en a + a= a = geeft a = 7 a = 7 invullen in a + a geeft (en dus is de raaklijn aan de parabool in (, ) een van de lijnen AB) - 3 -

4 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Wisselingen in rijtjes kop en munt 8 maximumscore 3 Op van de 9 plekken moet een wisseling plaatsvinden; 9 dit kan op manieren 9 = Als de wisselingen vastliggen, kan een rijtje nog met een K een M beginnen; dus zijn er = rijtjes met wisselingen 9 maximumscore 3 De kans dat een rijtje ten minste één wisseling heeft, is ( = ) De kans op keer zo n rijtje is ( ),9 maximumscore De kans dat een willekeurig rijtje meer dan wisselingen heeft, is = = Het gaat om een binomiale kans met n = en p = Beschrijven hoe de binomiale kans P( X 9 n= en p = ) berekend kan worden, waarbij X het aantal rijtjes met meer dan wisselingen is De kans is (ongeveer), Deze kans is kleiner dan %, dus we vertrouwen Jolly niet - -

5 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Jupiter en Aarde maximumscore De afstand is Dit is gelijk aan (cosπt cos + (sinπt sin cos πt cos πt cos πt + cos πt + sin πt sin πt sin πt + sin πt t cos πt+ sin πt = en cos π + sin πt = Dus de afstand is (cos πt cos πt+ sin πt sin Dus de afstand is cos( maximumscore De snelheid is de afgeleide van cos( De afgeleide van cos( is π sin( π sin( De afgeleide van cos( is cos( Op tijdstip t = 3 is de snelheid (waarmee de afstand afneemt ongeveer), (AE/jaar) (: op tijdstip t = 3 is de snelheid (ongeveer), (AE/jaar)) Opmerking Als de kettingregel niet gebruikt is, maximaal 3 punten toekennen. - -

6 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Met constante hoek 3 maximumscore Driehoek ABN is een gelijkbenige driehoek met tophoek ANB van, dus de basishoek NAB is ook ; gelijkbenige driehoek, hoekensom driehoek De hoek tussen de raaklijn in A en AN is 9, dus de hoek tussen de raaklijn in A aan de cirkelboog met middelpunt N en lijn AB is 3 ; raaklijn De gevraagde hoek tussen de cirkelbogen is dus maximumscore De gevraagde meetkundige plaats bestaat uit twee cirkelbogen op AB, met middelpunten X en Y, waarbij AXB = 9 en AYB = 9 Het tekenen van de middelloodlijn van lijnstuk AB Het tekenen van de punten X en Y Het tekenen van de cirkelbogen maximumscore 3 Als P en P aan verschillende kanten van AB liggen zó dat AP B = en AP B = en dus AP B + AP B = 8, dan is vierhoek AP BP een koordenvierhoek; omgekeerde koordenvierhoekstelling Hieruit volgt dat A, P, B en P op één cirkel liggen De meetkundige plaats van alle punten P waarvoor APB = bestaat uit twee cirkelbogen die de cirkelbogen die behoren bij APB = aanvullen tot twee cirkels (met uitzondering van de punten A en B) - -

7 Eindexamen wiskunde B - vwo - I Rij en oppervlakte maximumscore 3 R + =. i i= Beschrijven hoe deze som berekend kan worden R,97 R = i + i= Beschrijven hoe deze som berekend kan worden R,97 7 maximumscore 3 De i-de rechthoek is n breed en i n + De oppervlakte van de rechthoek is gelijk aan = n i i n n + + Voor i = geeft dit: + n + n en voor i= n: =, dus R = n n+ n n + n + n n 8 maximumscore R = R 99 = R R 99 = + 99 Het antwoord maximumscore lim R n is de oppervlakte onder de grafiek van f op [, ] n De oppervlakte is gelijk aan d x + x Een primitieve van is ln(x+) x + De oppervlakte is ln (dus lim R n = ln) n - 7 -