wiskunde B pilot vwo 2016-II

Transcriptie

1 wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het punt ( x, y ) op de grafiek van f geeft x ( y+ ) Dit geeft x+ ( y+ ), dus x+ y+ Dus y x+, dus ( y, x ) ligt op de grafiek van g (dus g is de inverse functie van f ) maximumscore 6 Opgelost moet worden ( x+ ) x+, dus ( x+ ) x+ 9 9 Hieruit volgt ( x+ ) x+ ( x+ x+ ) 8 Hieruit volgt ( x+ )(( x+ ) ) 0 8 Dus x + 0 ( x + ) Dit geeft x, x x 0 De gemeenschappelijke punten zijn (, ), (, ) en (0, 0) De gemeenschappelijke punten liggen op de lijn y x Uit f( x) xvolgt x + x + x 0 Hieruit volgt xx ( + x+ ) 0 Dus xx ( + )( x+ ) 0 Dit geeft x, x x 0 De gemeenschappelijke punten zijn (, ), (, ) en (0, 0)

2 wiskunde B pilot vwo 06-II De gemeenschappelijke punten liggen op de lijn y x Uit f( x) x volgt ( x+ ) x+ Hieruit volgt ( x+)(( x+) ) 0 Dus x + 0 (x + ) Dit geeft x, x x 0 De gemeenschappelijke punten zijn (, ), (, ) en (0, 0) Opmerking Als één van de drie oplossingen van de op te lossen vergelijking ontbreekt, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen. Als twee oplossingen ontbreken, voor deze vraag maximaal scorepunten toekennen. Spots maximumscore 4 r x + d (en dus ) r x + d x cosα r x x r x + d Ispot x Ispot x E 4 4 x + d x + d x + d 4 maximumscore ( ) ( ) ( ) ( x + ) de I x + 00 x x + 00 x spot dx 4 00 de 0 dx geeft ( x + 00) x ( x + 00) 0 ( ) x 00 ( x 00 x ) 0 x + 00 x 0 (omdat ( ) + + x ) x 50 dus (omdat x > 0 ) x 50 Het antwoord:, (mm)

3 wiskunde B pilot vwo 06-II 5 maximumscore 6 De horizontale afstand (in mm) van de rechterspot tot P is 40 d De totale verlichtingssterkte in P is d 5 + (40 d) ( ) ( ) Beschrijven hoe het maximum 0,04 ( nauwkeuriger) gevonden kan worden Beschrijven hoe het minimum 0,06 ( nauwkeuriger) gevonden kan worden Het minimum is 8% ( nauwkeuriger) (: 80% van het maximum is 0,059), dus het deel van het werkoppervlak tussen de spots wordt voldoende gelijkmatig belicht Opmerkingen De factor mag, mits toegelicht, in de berekening buiten beschouwing worden gelaten. Als wordt aangenomen dat Etotaal E, voor deze vraag geen scorepunten toekennen.

4 wiskunde B pilot vwo 06-II Twee snijdende cirkels 6 maximumscore 4 (Pythagoras in driehoek NDA geeft) (Pythagoras in driehoek MDA geeft) AD + DN r AD + ( DN ) Samen geeft dit ( DN ) r DN Herleiden tot DN r maximumscore 4 DM DN r CD CM ( r ) CD DM geeft r r 0 Exact oplossen geeft r + 5 ( een gelijkwaardige uitdrukking) ( r 5 voldoet niet) DM DN r CD CN DM MN r ( r ) r r CD DM geeft r r 0 Exact oplossen geeft r + 5 ( een gelijkwaardige uitdrukking) ( r 5 voldoet niet) DM + DN, dus DM r CD + DM + CN, dus DM + r Samen geeft dit r r 0 Exact oplossen geeft r + 5 ( een gelijkwaardige uitdrukking) ( r 5 voldoet niet) Een redenering waaruit volgt NCA AMC AC AN r Hieruit volgt dus CM AC r Dit geeft r r 0 Exact oplossen geeft r + 5 ( een gelijkwaardige uitdrukking) ( r 5 voldoet niet) 4

5 wiskunde B pilot vwo 06-II Sinusoïde met perforaties 8 maximumscore 5 De noemer is nul als cos( x ) 0, dus als x x + cos ( x) f( x) + cos( x) Dit is gelijk aan cos( x ) + (voor x, x ) lim cos( x) + en x lim cos( x) + (: als x nadert tot tot x, dan nadert f( x ) tot ), en (, ) Dus de coördinaten van de perforaties zijn ( ) Opmerking Als het stelsel { + cos( x) 0, cos( x ) 0} opgelost wordt, resulterend in x, x, zonder daarna op exacte wijze tot y te komen, hiervoor hoogstens scorepunten toekennen. 5

6 wiskunde B pilot vwo 06-II Getransformeerde grafiek 9 maximumscore AP ( p ) ln + en ( ) e BP ln p + BP ln ( e ) ln ( p ) BP ( p ) ( p ) + + ln + ln + ( AP ) De y-coördinaat van het midden van lijnstuk AB is f( p) + g( p) e ( p + ) + p + ln ( p + ) + ln ( p + ) ln ln f( p) + g( p) ln ( e ) ( ) f( p) + g( p), dus het midden van lijnstuk AB is P, dus AP BP 0 maximumscore 5 (Vanwege de symmetrie in de lijn met vergelijking y geldt) de inhoud is gelijk aan y ln ( x ) x y, met y ln ( x ) d + herleiden tot 0 + y x e Een primitieve van e y is e y y De inhoud is ( e ) 6

7 wiskunde B pilot vwo 06-II maximumscore 8 ( ) Een vergelijking van de verschoven grafiek is y ( x ) Voor de x-coördinaat van het snijpunt geldt ( ) x ln + + x + Hieruit volgt x x f ( x) x + De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het snijpunt is f () De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de verschoven grafiek is ( ) f ( ) ( ) ( ) + Het product van de richtingscoëfficiënten is, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht ( ) Een vergelijking van de verschoven grafiek is y ( x ) Voor de x-coördinaat van het snijpunt geldt ( ) x ln + + x + Hieruit volgt x x f ( x) x + De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het snijpunt is f () dy ( x ) De afgeleide die hoort bij de verschoven grafiek is d x ( x ) + ( een gelijkwaardige uitdrukking) De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de verschoven grafiek is ( ) ( ) ( ) + Het product van de richtingscoëfficiënten is, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht

8 wiskunde B pilot vwo 06-II f( x) ln(( x) + ) f( x) (voor elke waarde van x) Uit de verschuiving (en de symmetrie) volgt x x f ( x) x + De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het snijpunt is f () De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de verschoven grafiek is ( ) f ( ) ( ) + ( ) Het product van de richtingscoëfficiënten is, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht 8

9 wiskunde B pilot vwo 06-II Droogligtijd maximumscore 4 De vergelijking ( t) 5cos 40 moet worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden t 4,6 en t 59,4 Het antwoord: 450 (minuten) maximumscore 5 Op t t is h z, dus z 5cos( t ) Een redenering waaruit volgt dat t D 5cos geeft Substitutie van t D in z ( t ) z 5cos( ( D )) Hieruit volgt z 5cos( D) 4 maximumscore 5 Voor de formule van de grafiek van figuur geldt dz 5sin( D ) dd dz 5 D,5 geeft ( (ongeveer) 0,5) dd Dus de helling bij de grafiek van figuur is, 9 5 Voor de formule van de grafiek van figuur 4 geldt dd 4, 4 0 z +, ( een gelijkwaardige uitdrukking) dz De helling bij de grafiek van figuur 4 voor z 0 is, 9

10 wiskunde B pilot vwo 06-II Punt bewegend over een lijn 5 maximumscore 5 AP ( + 4 t) + (5t ) BP (4t 4) + (5t + ) AP BP herleiden tot een lineaire vergelijking Dit geeft t P 5, Invullen in de vectorvoorstelling van k geeft ( ) Een vergelijking van lijn k is y x 4 ( 6) 4 AP x + ( x ) en ( ) 4 BP x + x AP BP herleiden tot een lineaire vergelijking 5 Dit geeft x Invullen in de vergelijking van k geeft y (dus ( 5, ) P ) Een vergelijking van lijn k is y x 4 Een vergelijking van de middelloodlijn n van lijnstuk AB is van de vorm 6x y+ c 0 Het punt (, ) ligt op n; hieruit volgt voor n de vergelijking y x 8 x 8 x exact oplossen geeft x 5 4 Invullen in de vergelijking van k geeft y (dus ( 5, ) P ) Een vergelijking van lijn k is y x 4 ( ) Een richtingsvector van de middelloodlijn n van lijnstuk AB is 6 Een vectorvoorstelling van de middelloodlijn is x ( ) ( ) t y ( 6) + + 6t ( + t) exact oplossen geeft t 5 ; dit geeft x y (dus P ( 5, )) 0

11 wiskunde B pilot vwo 06-II 6 maximumscore Er moet gelden dpm (, ) dpy (, -as) dpy (, -as) ( de straal) is gelijk aan + 4t ( + 4t ) Lijn m heeft vergelijking x+ y 6 + 4t+ (+ 5 t) 6 9t dpm (, ) ( ) + 0 Beschrijven hoe de vergelijking dpm (, ) dpy (, -as) kan worden opgelost Dit geeft t 0, t,5 Invullen in + 4t geeft stralen, en 6,6 Opmerking Als door tussentijds afronden een afwijkend antwoord wordt gevonden, hiervoor scorepunt in mindering brengen.