12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

Transcriptie

1 ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig. ewijs: 3 ' 3 = = 60 (constante hoek) = = 60 (constante hoek) 3 = 60 3 = 80 (gestrekte hoek) us is een gelijkbenige driehoek met een hoek van 60, dus is een gelijkzijdige driehoek.

2 c Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. = + ewijs: 3 ' 3 = = 60 + = 3 = = = = + = = + (ZHZ) dus = a Gegeven: Koordenvierhoek met en punt K op zo, dat K = K. Het snijpunt van de diagonalen is S en punt L is het snijpunt van KS en. SL = KS ewijs: K S 6 L S = 90 en K = K, dus K is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van S (Thales). us KS = K en hieruit volgt S =. S = S 4 (overstaande hoeken) = S 4 ofwel KS = SL b Gegeven: Koordenvierhoek met en punt K op zo, dat K = K. Het snijpunt van de diagonalen is S en punt L is het snijpunt van KS en. KL

3 ewijs: K S 6 L + + S = 80 (hoekensom driehoek) S = 90 + = 90 = (constante hoek) + = 90 = S 4 (onderdeel a) + S 4 = 90 L = 90 + S 4 + L = 80 (hoekensom driehoek) us KL staat loodrecht op. 3 Gegeven: Koordenvierhoek waarbij middellijn is van de omgeschreven cirkel. unt ligt op en punt Q op zo, dat Q. Q is een koordenvierhoek. ewijs: S is het snijpunt van Q en. + = 90 S Q is middellijn, dus = 90 (Thales) S = 90 + = S + = 360 (hoekensom vierhoek) = (constante hoek) us Q is een koordenvierhoek (koordenvierhoek). bladzijde 55 4 a Gegeven: p en p raken elkaar + = 80

4 ewijs: Teken vierkant met door F en // F ; door F en // F F 3 ; door F 3 en // F en door en // F F 3. Het snijpunt van F F 3 en F is O. p 3 p F 3 O F F p 4 F = F = d(, F ) dus op p (parabool). e raaklijn in aan p is de bissectrice van F F en gaat dus door O. Evenzo ligt op p en gaat de raaklijn in aan p door O. e parabolen p en p raken elkaar dus in. b Gegeven: ligt op de raaklijn aan p in S. ewijs: Teken S en ST F. p 3 p p F 3 O T F S F p 4 S op p dus SF = ST (parabool) SF = ST = 90 SF ST (ZZR) S = S Hieruit volgt F S = TS en dus is volgens de raaklijneigenschap S raaklijn van p. us ligt op de raaklijn aan p in S. p

5 5 a Gegeven: γ = α +β ewijs: Spiegel α in l en β in l. e gespiegelde lijnen staan loodrecht op de richtlijn (raaklijn parabool). Teken door een lijn evenwijdig met de gespiegelde lijnen. l l β β α α F γ = α (Z-hoeken) = β (Z-hoeken) = γ = α + β b Gegeven: F = γ ewijs: Spiegel α in l en β in l. e gespiegelde lijnen staan loodrecht op de richtlijn (raaklijn parabool). Teken door F een lijn evenwijdig met de gespiegelde lijnen. l l α α F β β γ F = α (Z-hoeken) F = β (Z-hoeken) F = α + β γ = α +β (onderdeel a) F = F = γ

6 6 Gegeven: boog Q = boog Q ewijs: X Y c Q Q c YX = YX (constante hoek) YX = (overstaande hoeken) = Q Q YX = Q Q (overstaande hoeken) dus boog = boog Q Q boog = boog Q Q boog Q = boog + boog Q boog Q = boog Q boog Q = boog Q Q + boog Q bladzijde 56 7 a l is onafhankelijk van de stand van l (constante hoek) is onafhankelijk van de stand van l (constante hoek) is onafhankelijk van de stand van l dus is onafhankelijk van de stand van l + + = 80 (hoekensom driehoek) b Gegeven: N =

7 ewijs: Teken, en. N l = (omtrekshoek) is gelijkbenig, dus N = = N c Gegeven: N = ewijs: Teken, N, N en. N l = N (omtrekshoek) N is gelijkbenig, dus N = N = N N + N + N = 80 (hoekensom driehoek) N = = N = N = = + + = 80 (hoekensom driehoek) 8 a Gegeven: = 90 + γ ewijs: γ

8 + + = 80 (hoekensom driehoek) = (bissectrice) + + = (bissectrice) + + γ = 80 (hoekensom driehoek), dus + = 90 γ + 90 γ = 80, dus = 90 + γ b Gegeven: e baan die beschrijft is een cirkelboog. ewijs: = 80 γ I II c e grootte van γ verandert niet als over boog I beweegt (constante hoek). us = 90 + γ verandert niet van grootte als over boog I beweegt. us de baan van is een cirkelboog (constante hoek). γ I II = (omtrekshoek) = 90 + γ + = 360 = 90 + γ, dus = 80 + γ γ = 360, dus = 80 γ d Gegeven: ligt op boog II. ewijs: + γ = 80 γ + γ = 80, dus is een koordenvierhoek (koordenvierhoek) en hieruit volgt dat op boog II ligt. bladzijde 57 9 Gegeven: e driehoeken en E met = E. e omgeschreven cirkels van de driehoeken snijden elkaar in en in S. S ligt op E.

9 ewijs: Teken S, S en ES. E S + S = 80 (koordenvierhoek) = = S (constante hoek) 0 a Het snijpunt van en c is N. S + S = 80, dus S ligt op E. R N R c boog R R = van de omtrek van c, dus R R = 360 = R = RR = 0 = 60 R = 90 (raaklijn) = R = N us N = N, ofwel de afstand van tot c is de helft van. b In het grensgeval met α = 90 is XS S een vierkant, immers de hoeken bij S en S zijn 90 en S = S. S X G S e zijde van het vierkant is r, dus X = r. O(G) = O(cirkel met straal r ) O(cirkel met straal r) = π( r ) πr = πr πr = πr = O(c)

10 bladzijde 58 a α S β + S + β = 80 (koordenvierhoek) α + S + β = 80 (gestrekte hoek) = α = β (constante hoek) = ofwel = α = β b e middelloodlijn van snijdt de cirkel in en. (Omdat en op de middelloodlijn van liggen geldt: = en = ). Uit de omgekeerde bewering volgt nu dat de spiegeltjes in de richtingen en Q getekend moeten worden. Q

11 a Teken twee lijnen evenwijdig met k op afstand cm van k, de cirkel met middelpunt en straal cm en de cirkel met middelpunt en straal 4 cm. k c b e meetkundige plaats is de halve lijn en de parabool met brandpunt en richtlijn evenwijdig met k op afstand 3 cm van k. k c

12 bladzijde 59 3 a Gegeven: = ewijs: α = dus = = α (gelijkbenige driehoek) + α = 80 (koordenvierhoek) + = 80 (gestrekte hoek) = α =, dus is een gelijkbenige driehoek en hieruit volgt dat =. b S α = 90 (Thales) α + + = 80 (hoekensom driehoek) = 90 α = α (onderdeel a) = α (onderdeel a) + α α = 80 = 90 (Thales) = 90 + α = 90 α + + = 80 (hoekensom driehoek) + + S = 80 (hoekensom driehoek) = 90 α 90 α + 90 α + S = 80 = 90 α S = 3α