Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Transcriptie

1 Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1

2 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2 en OE 1 = OE 2. De x-as kiezen we volgens de rechte OE 1 en de y-as, die er loodrecht op staat volgens OE 2. In dit geval spreken we van een orthonormaal assenstelsel. Figuur 1 Een vector is een wiskundig object dat bepaald is door drie elementen: een richting, een zin en een grootte. Elke vector heeft een vertegenwoordiger met beginpunt O. Zo is op figuur 1. Het volstaat dus het eindpunt van de vector met beginpunt O te kennen om deze vector te bepalen. De coördinaat van het eindpunt is dan de coördinaat van de vector. We noteren de vector als. Op figuur 1 is de coördinaat van het punt A(3,4) de coördinaat van de vector en we noteren co( of ook. Bewerkingen met vectoren De optelling van vectoren Op figuur 2 is de vector de som van de vectoren (3, 2) en (-1, 4). Dus is + met co( ) = (3, 2) + (-1, 4) = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6). 2

3 De optelling van twee vectoren met zelfde beginpunt gebeurt dus volgens de zogenaamde regel van het parallellogram (waarbij de somvector op de diagonaal van het parallellogram ligt). Figuur 2 De scalaire vermenigvuldiging of de vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal Op figuur 3 zijn de vectoren en veelvouden van de vector co( ) = 3.(2, 1) = (6, 3) en co( ) = -2.(2, 1) = (-4, -2). 3

4 Figuur 3 Op figuur 1 is. Hieruit blijkt dat elke vector op een unieke manier kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de vectoren (1,0) en (0,1): Men zegt daarom dat deze twee vectoren een stel basisvectoren zijn van het vectorvlak V. -1. noteren we als, de tegengestelde vector van die ook gelijk is aan. Zo is bijvoorbeeld de tegengestelde vector van gelijk aan (-2, -3). De vector noemen we de nulvector met co( ) = (0, 0). Coördinaat van een willekeurige representant van een vector Hoe bepalen we de coördinaat van een vector waarvan een representant (of vertegenwoordiger) is en waarbij het beginpunt dus niet samenvalt met de oorsprong O? Hiervoor gebruiken we de betrekking van Chasles-Möbius:. = (tegengestelde vectoren) = =. Stel dat en, dan is Met andere woorden: met (zie figuur 4). Merk op dat kop-en-staart-regel. Deze regel voor de optelling van twee vectoren noemt men de 4

5 Figuur 4 Opgave 1. a. Teken in een orthonormaal assenstel de vectoren, en b. Teken dan de volgende vectoren en bepaal hun coördinaat: c. Bepaal de coördinaat van. d. Teken de vector en bepaal de coördinaat van deze somvector. Opgave 2. Gegeven : (1, 2),, Gevraagd: bepaal zodat ABCD een parallellogram is. Hint. ABCD is een parallellogram. Opgave 3. Als M het midden is van het lijnstuk [AB], dan is + ). Toon aan. De norm van een vector De norm van een vector is de afstand tussen de punten A en B. Notatie: = AB. Als en, dan is en Een genormeerde vector is een vector waarvan de norm gelijk is aan 1. Gevolg. k Immers, als, dan is en dus is 5

6 = Voorbeelden. 1. Als (1, 2), dan is en. 2. Als (1, 2) en, dan is. 3. ) is een genormeerde vector want = 1. Opgave 4. Gegeven :,. Bepaal de norm van de volgende vectoren: Evenwijdige vectoren //. Voorbeeld. Als ), ) en, dan is en Hieruit blijkt dat of ook (figuur 5). 6

7 Figuur 5 Opgave 5. Bepaal x zodat // als ), ) en. Middenparallel in een driehoek Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is half zo lang als de derde zijde en loopt ermee evenwijdig. Dit lijnstuk noemt men een middenparallel. We bewijzen dit met behulp van vectoren. Gegeven: Δ ABC M is het midden van [AB] N is het midden van [AC]. Te bewijzen : 1) MN // BC 2). We geven hiervoor twee bewijzen. Eerste bewijs: Figuur 6 7

8 . Omdat M het midden is van [AB] is. en omdat N het midden is van [AC] is Dus is Tweede bewijs: = =. Hiermee zijn telkens de twee eigenschappen van de middenparallel [MN] bewezen. Zwaartepunt van een driehoek Als Z het zwaartepunt is van driehoek ABC, dan is Bewijs. We vertrekken van de gekende eigenschap van het zwaartepunt Z :, waarbij P het midden is van de zijde [BC]. We kunnen dit als volgt uitdrukken met behulp van vectoren:. Dus is Figuur 7 8

9 Bovendien is + ) (zie opgave 3), waaruit volgt dat Opgave 6. a) Als Z het zwaartepunt is van driehoek ABC, dan is is. Toon aan. b) Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt van driehoek ABC als (0, 2), en. Opgave 7. De middens van de zijden van een willekeurige vierhoek bepalen een parallellogram. Bewijs dit met behulp van vectoren (figuur 8). Figuur 8 Opgave 8. In Δ ABC is [AM] een zwaartelijn. Toon aan dat. Opgave 9. In een trapezium ABCD zijn M en N de middens van de opstaande zijden [AD] en [BC]. Toon aan dat. Opgave 10. Het lijnstuk bepaald door de middens van twee overstaande zijden van een willekeurige vierhoek en het lijnstuk bepaald door het midden van de diagonalen van deze vierhoek, delen elkaar middendoor. Bewijs dit met behulp van vectoren (figuur 9). Hint. Toon aan dat PMQN een parallellogram is. 9

10 Het scalair product van twee vectoren Figuur 9 In een driehoek OAB geldt de cosinusregel, die we met behulp van vectoren als volgt kunnen schrijven: De term noemen we het scalair product van de vectoren en. Definitie. V. Merk op. Als of, dan is Het scalair product van twee vectoren is dus een reëel getal! Uit deze definitie leiden we nu de analytische uitdrukking af van het scalair product van twee vectoren: als en, dan is (reken dit eens na). 10

11 Als en, dan is. We kunnen nu ook een analytische uitdrukking opstellen van de cosinus van de hoek bepaald door twee vectoren : als en, dan is Als of, dan is de hoek tussen de vectoren en niet gedefinieerd. Als en, dan is Gevolg. Twee vectoren en staan loodrecht op elkaar als en slechts als hun scalair product 0 is: Opmerking.. Voorbeelden. 1. Voor en ) is en De hoek tussen de vectoren en is dus gelijk aan Voor en ) is. De vectoren en staan loodrecht op elkaar. 11

12 3. Voor en ) is 22 en De hoek tussen de vectoren en is gelijk aan Opgave 11. Bereken telkens de hoek tussen de vectoren en 1) en. 2) en. 3) en. 4) en. 5) en. 6) en. Voorwaarde voor loodrechte stand van twee rechten Twee rechten, niet evenwijdig met één van de coördinaatassen, staan loodrecht op elkaar als het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan -1. In symbolen: Als rechte a : y = m 1 x + q 1 en rechte b : y = m 2 x + q 2 dan is Bewijs. Teken de rechten a en b respectievelijke evenwijdig met a en b en door de oorsprong 0. Dan is a : y = m 1 x en b : y = m 2 x. De vector ) ligt dan volgens de richting bepaald door a (en a ) en de vector ) ligt dan volgens de richting bepaald door b (en b ). Dit zijn dus richtingsvectoren van deze rechten (figuur 10). 12

13 Figuur 10 Dan geldt: Voorbeeld. Op figuur 8 is en Dan is rico van a = 4 en rico van b =, zodat. Opgave 12. Welke van de volgende rechten zijn evenwijdig en welke rechten staan loodrecht op elkaar? a : 3x + 2y 4 = 0 b : x y = 0 c : y = 0,25x + 1,25 13

14 d: 2x + 3y 4 = 0 e : y = x + 2 f : 2x 3y + 5 = 0 g : 4x + y = 1 h : 3x = 2y Opgave 13. Toon aan dat Δ PQR rechthoekig is als 1) P(2, -1) Q(4, 0) R(0, 3) 2) P(-1, 1) Q(1, ) R(-, -1) Het scalair product in de fysica In de fysica stelt men kracht en verplaatsing voor door een vector. Stel dat men een kracht met een grootte van 400 N (newton) uitoefent op een voorwerp en dat de grootte van de verplaatsing gelijk is aan 10 m (meter). (a) Indien de krachtvector evenwijdig is met de verplaatsingsvector, dan is de verrichte arbeid W (work) gelijk aan 400 N. 10 m. cos 0 = J (joule). (b) Indien de uitgeoefende niet evenwijdig is met de verplaatsing, maar bijvoorbeeld een hoek maakt van 60 (figuur 9), dan is 400 N. 10 m. cos 60 = 400 N. 10 m. 0,5 = J. Figuur 11 Toepassing. Vectoriële vergelijking en parametervergelijkingen van een rechte. Twee verschillende punten A en B bepalen de rechte AB. We drukken met behulp van vectoren uit dat een punt P op de rechte AB ligt. 14

15 Figuur 12 met noemen we de vectoriële vergelijking van de rechte AB. De vector Merk op. Elke vector noemen we een richtingsvector van de rechte AB. waarbij PQ AB is een richtingsvector van AB. Wanneer we in de vectoriële vergelijking elke vector vervangen door zijn coördinaat, bekomen we een stel parametervergelijkingen van de rechte AB. 15

16 : We noemen, met een stel parametervergelijkingen van de rechte AB met parameter r, met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ). De coördinaat ( van de richtingsvector noemen we een stel richtingsgetallen van de rechte AB. Deze getallen zijn slechts op een factor k na bepaald (k 0). Voorbeeld. De rechte AB met A(2, -1) en B(5, 4) heeft als parametervergelijkingen: x = 2 + 3r y = r, met (3, 5) zijn een stel richtingsgetallen van de rechte AB. Voor elke waarde die we nu aan de parameter r toekennen, bekomen we de coördinaat van een punt op de rechte AB. Voor r = 0 vinden we x = 2 en y = -1 (het punt A). Voor r = 1 vinden we x = 5 en y = 4 (het punt B). Voor r = 4 vinden we x = 14 en y = 19. Merk op dat de parametervergelijkingen van een rechte AB niet uniek bepaald zijn. Wanneer we de rol van de punt A en B omwisselen, bekomen we voor de rechte AB uit het bovenstaande voorbeeld andere parametervergelijkingen: x = 5 3r y = 4 5r, met Voor r = 0 vinden we de coördinaat van B. Voor r = 1 vinden we de coördinaat van A. Voor r = -3 vinden we x = 14 en y = 19. Wanneer we uit een stel parametervergelijkingen van een rechte AB de parameter r elimineren, vinden we de gekende cartesiaanse vergelijking van die rechte terug: (1) (2) en we nemen aan dat x 1 x 2. Uit (1) volgt: 16

17 We vullen dit in in (2): De vergelijking noemen we de cartesiaanse vergelijking van de rechte AB met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ). Opgave 14. De vectoriële vergelijking van de rechte AB kan ook geschreven worden in de vorm Toon dit aan., met r + s = 1. Opgave 15. Geef een stel parametervergelijkingen van de rechte door het punt P(3, 4) en die evenwijdig is met a) de x-as b) de y-as c) de rechte met als vergelijking 6x + 3y = 1 d) de rechte door de punten A(1, -2) en B(4, 5). Opgave 16. Bepaal een stel parametervergelijkingen en de cartesiaanse vergelijking van de rechte AB met a) A(0, 0) en B(4, 2) b) A(2, 0) en B(0, -2) c) A(2, 3) en B(-1, -3) d) A(-1, 3) en B(-1, 4) e) A(2, -3) en B(4, -3). 17