Inversie. r 2 P Q. P Q =
|
|
- Gerarda Peters
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Inversie Zij O een punt in het vlak en zij r > 0 een reëel getal. De inversie I O,r met centrum O en straal r is de afbeelding vlak \ {O} vlak \ {O} die als volgt wordt gedefinieerd: I O,r (P ) het unieke punt P op de halfrechte [OP zodat OP OP =. Afspraken. Om de notatie te verlichten, wordt, eenmaal afgesproken wat het centrum en de straal van de inversie zijn, het beeld I O,r (P ) van een punt P met P genoteerd. We zullen in dit theorie overzicht deze notatie gebruiken (het centrum is steeds een punt O en de straal is r). Als c een kromme is (bijvoorbeeld een rechte of een cirkel), dan gebruiken we de notatie c om de figuur te benoemen die bekomen wordt door elk punt van c \ {O} te inverteren. Eigenschap 0. Inversie is een involutie: I O,r (I O,r (P )) = P voor elk punt P O. (Duidelijk.) Eigenschap 1. Zijn P en Q verschillende punten in het vlak (en allebei verschillend van O). Dan zijn de driehoeken P OQ en QOP gelijkvormig. In het bijzonder is ÔP Q = ÔQ P en P Q = P Q. OP OQ Bewijs. Dit volgt uit de gelijkheden OP OP = = OQ OQ en P OQ = QOP. Dit is een handige eigenschap om gegeven gelijkheden te vertalen naar de geïnverteerde configuratie, maar het geeft nog niet aan waarom inversie nuttig kan zijn. Wat deze transformatie onderscheidt van andere conforme afbeeldingen (zoals translaties en rotaties) is het feit dat cirkels kunnen omgevormd worden tot rechten en omgekeerd, waardoor een ingewikkelde figuur met veel rakende cirkels plots een mooie tekening met massa s evenwijdige rechten wordt. Eigenschap 2. Zij l een rechte. Als l het punt O bevat, dan is l = l \ {O}. Als l het punt O niet bevat, dan is l de cirkel met diameter [OP ] (waarin we het punt O weglaten), waarbij P de loodrechte projectie van O op l is. 1 Bewijs. De uitspraak voor O l is evident. Stel nu dus dat O l en zij P zoals hierboven. Zij Q een willekeurig punt van l. Dan is 90 = ÔP Q = ÔQ P, dus Q ligt op de cirkel met diameter [OP ]. Omgekeerd kunnen we zien dat elk punt O op deze cirkel afkomstig is van een punt op l. Dus I O,r (l { }) is gelijk aan de cirkel. De gelijkheid l = l \ {O} en de specificatie waarin we het punt O weglaten is wiskundig accuraat, maar leest niet vlot. Als we in het vervolg zien dat de inverse figuur eigenlijk een kromme is waarin het punt O weggelaten is, zullen we dit vanaf nu verzwijgen (maar in een correcte versie van de uitspraak moet zo n precisering er natuurlijk wel bij). Gevolg. Zij Γ 0 de cirkel met middelpunt O en straal r. Zij l een rechte. Als l de cirkel Γ 0 in twee punten snijdt, dan is l de omgeschreven cirkel van O en die twee punten. 2 Als l raakt aan Γ 0, dan is l de cirkel met diameter het lijnstuk tussen O en dat raakpunt. Bewijs. Oefening. Eigenschap 3. Zij Γ een cirkel. Als O op Γ ligt, dan is Γ een rechte die niet door O gaat. Als O niet op Γ ligt, dan is Γ een cirkel die niet door O gaat. In dat geval zijn O en de middelpunten van Γ en Γ collineair. 1 Het feit dat we weten waar het middelpunt van de cirkel ligt, kan in sommige opgaven erg nuttig zijn. 2 Waarin we het punt O verwijderen, maar dit is de laatste keer dat we dit vermelden! Oefening: spot alle uitspraken waar we deze bijzin vergeten zijn.
2 Bewijs. De eerste uitspraak volgt uit de Eigenschappen 0 en 2. Stel nu dus dat O niet op Γ ligt. Het volstaat (waarom?) aan te tonen dat als ABCD een koordenvierhoek is (waarvan de omgeschreven cirkel niet door O gaat), dan is A B C D ook een koordenvierhoek. Dit volgt uit Eigenschap 1, waarbij we georiënteerde hoeken gebruiken: A C B = ÔC B ÔC A = ÔBC ÔAC = (ÔBD + DBC = ÔBD ÔAD = ÔD B ÔD A = A D B. ) ) (ÔAD + DAC Wat de collineariteit betreft: de spiegeling rond de rechte die O en het middelpunt van Γ verbindt laat de figuur onveranderd, dus ook de inverse figuur moet hier invariant onder zijn. Gevolg. Zij Γ 0 de cirkel met middelpunt O en straal r. Zij Γ een cirkel. Als Γ 0 en Γ uitwendig raken, dan is Γ een cirkel die inwendig raakt aan Γ 0 in datzelfde punt. Als Γ het punt O bevat en de cirkel Γ 0 snijdt in twee punten, dan is Γ de rechte door deze twee snijpunten. Als Γ het punt O bevat en de cirkel Γ 0 inwendig raakt, dan is Γ de raaklijn aan Γ 0 in dat raakpunt. Bewijs. Oefening. De laatste twee uitspraken zijn gratis dankzij het vorige gevolg en Eig. 0. Tijd voor een voorbeeld! Stelling. (Ptolemaeus) Zijn A, B, C en D punten in het vlak, niet allemaal collineair. Dan geldt AB CD + BC AD AC BD. Er geldt gelijkheid als en slechts als ABCD een convexe koordenvierhoek is. Bewijs. We beschouwen de inversie met centrum D en straal 1. De driehoeksongelijkheid en Eigenschap 1 vertellen ons dat AC DA DC = A C A B + B C = AB DA DB + BC DB DC, en hieruit volgt de ongelijkheid. Er geldt gelijkheid als en slechts als B op het lijnstuk [A C ] ligt, i.e., ABC = ( A B C ) is een cirkel door D en de punten B en D liggen op verschillende bogen begrensd door A en C. Gevolg. (VWO 2013) Beschouw drie concentrische cirkels met stralen 1, 2 en 3 en de gelijkzijdige driehoek zodanig dat op elk van de drie cirkels een hoekpunt van ligt. Dan zegt Ptolemaues dat O op de omgeschreven cirkel van ligt. Bijgevolg is P 1 OP 2 = 180 P 1 P 3 P 2 = 120 en dus vertelt de cosinusregel in OP 1 P 2 ons dat z 2 = = 7. Wat gebeurt er met rakende figuren? Wel, de filosofie is dat de inversen van rakende objecten terug raken. Concreet: Als Γ 1 en Γ 2 rakende cirkels zijn die niet door O gaan, dan zijn Γ 1 en Γ 2 rakende cirkels die niet door O gaan. Inderdaad, de inverse figuren zijn alvast cirkels die bovendien niet door O gaan, dus elk gemeenschappelijk punt van Γ 1 en Γ 2 inverteert terug naar een gemeenschappelijk punt van Γ 1 en Γ 2 en omgekeerd. Als Γ 1 en Γ 2 raken in O, dan zijn Γ 1 en Γ 2 evenwijdige rechten. Inderdaad, de inverse figuren zijn alvast rechten die niet door O gaan en een snijpunt van die rechten zou terug inverteren naar een gemeenschappelijk punt van Γ 1 en Γ 2 dat verschillend is van O. Stel dat Γ 1 en Γ 2 rakende cirkels zijn, dat O op Γ 1 ligt maar niet op Γ 2. Dan is Γ 1 een rechte die raakt aan de cirkel Γ 2. Inderdaad,...
3 Een theorie is maar zo mooi als haar meest verrassende voorbeeld, dus we lossen ter inleiding van de oefeningen nog twee problemen van een hoog niveau op. In de eerste vraag zijn er veel cirkels en rechten door een een bepaald punt; daarom willen we inverteren met dat punt als centrum. In de tweede vraag zijn er heel wat hoeken van de vorm XY Z waarbij X en Y vast zijn; daarom willen we inverteren met X of Y als centrum. Voorbeeld. (IMOSL 2003/G4) Zijn Γ 1, Γ 2, Γ 3 en Γ 4 vier verschillende cirkels zodat Γ 1 en Γ 3 uitwendig raken in een punt P en zodat Γ 2 en Γ 4 uitwendig raken in datzelfde punt P. Stel dat Γ 1 en Γ 2 ; Γ 2 en Γ 3 ; Γ 3 en Γ 4 ; Γ 4 en Γ 1 een tweede keer snijden in A, B, C en D respectievelijk en dat deze punten verschillend zijn van P. Toon aan dat AB BC P B 2 = AD DC P D 2. Oplossing. We beschouwen de inversie met centrum P en straal 1. Omdat Γ 1 en Γ 3 raken in P zijn Γ 1 en Γ 3 evenwijdige rechten en analoog zijn Γ 2 en Γ 4 evenwijdige rechten. Hun snijpunten A, B, C en D vormen dus een parallellogram met A B = C D en A D = B C. (Hier gebruiken we dat de punten verschillend zijn van P.) Omwille van Eigenschap 1 betekent dit dat AB P C P D = CD P A P B en AD P B P C = BC P A P D. Voorbeeld. (IMO 1996/2) Zij P een punt in ABC zodat ÂP B ÂCB = ÂP C ÂBC. Zijn D en E de middelpunten van de ingeschreven cirkels van AP B en AP C respectievelijk. Toon aan dat de rechten AP, BD en CE concurrent zijn. Oplossing. We beschouwen de inversie met centrum A en straal 1. Omdat ÂXY = ÂY X voor alle punten X en Y (verschillend van A) zegt de voorwaarde ons dat B C P = C B P, i.e., B P = C P. Dus BP AP AC = CP AB AP, hetgeen we kunnen herschrijven tot BA / BP = CA / CP. De bissectrice BD van ÂBP snijdt [AP ] in een punt M zodat BA / BP = MA / MP en analoog snijdt de rechte CE het lijnstuk [AB] in een punt N zodat CA / CP = NA / NP. Er volgt dat MA / MP = NA / NP. Omdat M, N [AP ] volgt er dat M = N. Oefeningen 1. Stel dat drie cirkels door één punt gaan. Toon aan dat er een cirkel bestaat die aan de drie cirkels raakt. 2. (De cirkel van Apollonius) Stel dat A, B en X drie punten op een rechte zijn. Beschouw de verzameling van alle punten P zodat P X de bissectrice is van ÂP B. Toon aan dat deze verzameling een cirkel is, behalve als X het midden was van [AB]. (De cirkel van Apollonius t.o.v. de punten A en B en de verhouding AX / BX.) 3. Twee cirkels Γ 1 en Γ 2 snijden elkaar in A en B. Een gemeenschappelijke raaklijn aan Γ 1 en Γ 2 raakt hen in R 1 en R 2 (respectievelijk). De rechte door B evenwijdig met de raaklijn snijdt Γ 1 en Γ 2 een tweede keer in S 1 en S 2 respectievlijk. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van BR 1 S 2 en BR 2 S 1 elkaar twee keer snijden op AB. 4. Twee cirkels Γ 1 en Γ 2 snijden elkaar in A en B. De raaklijn in A aan Γ 1 snijdt Γ 2 een tweede keer in C en de raaklijn in A aan Γ 2 snijdt Γ 1 een tweede keer in D. Zij E het punt op de spiegeling van A rond B. Toon aan dat ACED een koordenvierhoek is.
4 5. Zij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek ABC en zijn M, N en P de raakpunten van die ingeschreven cirkel aan BC, CA en AB respectievelijk. Toon aan dat de middelpunten van de omgeschreven cirkels van AIM, BIN en CIP collineair zijn. 6. Zij ABCD een vierhoek waarin  + Ĉ = 90. Toon aan dat AB 2 CD 2 + AD 2 BC 2 = AC 2 BD Twee cirkels Γ 1 en Γ 2 (met stralen r 1 en resp.) raken elkaar extern. Zij l een gemeenschappelijke raaklijn aan deze twee cirkels en zijn A en D de raakpunten aan Γ 1 en Γ 2 respectievelijk. De raaklijn aan Γ 1 die evenwijdig is met l (maar niet gelijk aan l) snijdt Γ 2 in de punten E en F. Een willekeurige rechte door D snijdt EF in B en snijdt Γ 2 een tweede keer in C, waarbij we B C veronderstellen. Toon aan dat l raakt aan de omgeschreven cirkel van ABC. 8. (Bay Area MO 2008) Zij D een punt in de driehoek ABC. Zijn A 1, B 1 en C 1 (resp.) de tweede snijpunten van AD, BD en CD met de omgeschreven cirkels van BDC, CDA en ADB. Toon aan dat AD AA 1 + BD BB 1 + CD CC 1 = (IMOSL? 1994) De ingeschreven cirkel van ABC raakt aan BC, CA en AB in D, E en F respectievelijk. Zij X een punt binnen ABC zodat de ingeschreven cirkel van XBC ook raakt aan BC in D. Zijn Y en Z de raakpunten van die ingeschreven cirkel aan CX en BX respectievelijk. Toon aan dat EF ZY een koordenvierhoek is. 10. (Israël 1995) Zij Γ een halfcirkel met diameter [P Q]. Een cirkel Ω raakt Γ inwendig en raakt aan P Q in het punt C. Zij AB de raaklijn aan Ω die loodrecht staat op P Q, waarbij A op Γ en B op het lijnstuk [CQ] ligt. Toon aan dat AC de bissectrice is van P AB. 11. (IMOSL 1998) Zij ABCDEF een convexe zeshoek zodat B + D + F = 360 en Toon aan dat AB BC CD DE EF F A = 1. BC CA AE F D EF DB = 1. (Hint. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van ABC, CDE en EF A een gemeenschappelijk punt hebben.)
5 1. Inverteer t.o.v. het gemeenschappelijke punt: de drie cirkels worden drie snijdende rechten (of misschien evenwijdig). Het is evident dat er een cirkel bestaat die aan deze drie rechten raakt. 2. Inverteer t.o.v. X. Zij P een punt zodat AP / BP = AX / BX (m.a.w., P X is de bissectrice van ÂP B). Dan is AX BX = AP BP = A P XA XP/ B P XB XP/ = A P AX B P BX, dus A P = B P. Met andere woorden, de inversie van de verzameling is de middelloodlijn van [A B ]. Dus de verzameling was een cirkel, behalve als deze middelloodlijn door M gaat. Maar dan zou M ook het midden zijn van [AB]. 3. Zij i de inversie met middelpunt B en straal AB, en schrijf l = S 1 S 2. Dan is i(a) = A, i(l) = l en is i(r 1 R 2 ) een cirkel die in B raakt aan l. Verder raken de rechten i(γ 1 ) = i(a)i(s 1 ) en i(γ 2 ) = i(a)i(s 2 ) aan de cirkel i(r 1 R 2 ) in de punten i(r 1 ) en i(r 2 ) respectievelijk. Deze rechten snijden elkaar in i(γ 1 Γ 2 \ {B}) = A, dus i(r 1 R 2 ) is de ingeschreven cirkel van Ai(S 1 )i(s 2 ). Omwille van de bissectricestelling en Menelaos geldt dus dat i( BS 1 R 2 ) = i(s 1 )i(r 2 ), i( BR 1 S 2 ) = i(s 2 )i(r 1 ) en i(ab) = AB (de transversalen gedefinieerd door de raakpunten van de incirkel) concurrent zijn, dus BR 2 S 1 en BR 1 S 2 en AB snijden elkaar in een punt verschillend van B. 4. Inverteer t.o.v. A. Dan zijn (AC) = AC en Γ 1 evenwijdige rechten, evenals AD en Γ 2. Merk op dat B het snijpunt is van Γ 1 en Γ 2, dus AC B D is een parallellogram. Omdat AE = 2 AB is AB = 2 AE (en E ligt tussen A en B ) dus E is het midden van [AB ], dus E is het midden van [C D ]. In het bijzonder is ( CDE) een rechte dus ACED was een cirkel. 5. Zij r de straal van de ingeschreven cirkel en zij i de inversie met middelpunt I en straal r. Dan is i(m) = M, i(n) = N en i(p ) = P. Dus is i( AIM) = i(a)m, i( BIN) = i(b)n en i( CIP ) = i(c)p. We beweren dat i(a) het midden is van [NP ]. Hieruit zou het gestelde volgen want dan zouden de i(a)m, i(b)n en i(c)p concurrent zijn (Menelaos/zwaartepunt), dus zouden de omgeschreven cirkels elkaar snijden in een punt verschillend van I en dat kan enkel als hun middelpunten collineair zijn. We bewijzen nu nog dat i(a) het midden is van [NP ]. In de gelijkbenige driehoek ANP is AI de bissectrice van de tophoek, dus AI is meteen ook de middelloodlijn van [NP ]. Verder is i(ab) een cirkel die diameter [IP ] heeft (want P is de loodrechte projectie van I op AB), en is i(ac) een cirkel die diameter [IN] heeft. Als X = i(a) het tweede snijpunt is van deze twee cirkels (naast I), dan is P XI = NXI = 90, dus IX NP, dus IX = IA, dus X is het snijpunt van NP met IA. Omdat IA de middelloodlijn was van NP, volgt dus dat i(a) het midden is van [MN]. Alternatief: zij S het snijpunt van IA en NP. Dan is ISP gelijkvormig met IP A, dus IS/IP = IP/IA, i.e., IA IS = IP 2 =, dus S = i(a). 6. Zij X het beeld van het punt X onder I(D, r). Dan is B C = BC DB DC, C A = CA DC DA, A B = AB DA DB.
6 Verder is A B C = A B D + DB C = DAB + BCD = 90 Dus (A B ) 2 +(B C ) 2 = (C A ) 2. (We kunnen de cosinusregel toepassen i.p.v. Pythagoras om een veralgemeende Ptolemaeus te verkrijgen.) 7. Zij i de inversie t.o.v. A (willekeurige straal). Dan is i(l) = l en is i(γ 1 ) een rechte die evenwijdig is met l. Omdat EF evenwijdig is met l, heeft i(ef ) geen punt in het eindige vlak zonder A gemeen met l, i.e., i(ef ) is een cirkel die in A aan l raakt. Verder raakt i(ef ) ook aan i(γ 1 ). Verder is i(γ 2 ) een cirkel die in i(d) aan l raakt en ook aan i(γ 1 ) raakt. De configuratie is dus momenteel: i(γ 1 ) is een rechte die evenwijdig is met l, en i(γ 2 ) en i(ef ) zijn twee cirkels die raken aan i(γ 1 ) en l (in A en i(d) respectievelijk). De rechte BC gaat niet door A, dus i(bc) is een cirkel door A en i(d). Het tweede snijpunt van i(bc) met i(γ 2 ) is i(c) en het tweede snijpunt van i(bc) met i(ef ) is i(b). Maar de figuur is symmetrisch rond de middelloodlijn van [Ai(D)] (i.e., als we gewoon de twee evenwijdige rechten, de twee rakende cirkels en de willekeurige cirkel beschouwen, dan is het duidelijk dat de twee snijpunten van die willekeurige cirkel met de rakende cirkels even hoog gaan liggen), dus i(b)i(c) is evenwijdig met l, i.e., i( ABC) is evenwijdig met l, i.e., ABC raakt aan l. 8. (Bay Area MO 2008) We beschouwen de inversie met centrum D en straal 1. De inverse van de omgeschreven cirkel van BDC is een rechte B C die niet door D gaat. De inverse van AD is AD. Dus A 1 is het snijpunt van B C en A D. Dus D is nu een punt geworden in de driehoek A B C (in het bijzonder is A A 1 = A D + A 1 D ) en A 1, B 1 en C 1 zijn de snijpunten van A D, B D en C D met de overstaande zijden. Verder is ( AD AA 1 = 1 + A ) 1 ( ) 1D = 1 + A D 1 AD A 1 D = A 1 D A A 1 = Opp( B C D) Opp( A B C ). Hieruit volgt het gestelde. 9. (IMOSL? 1994) Inverteer met centrum D en straal 1. Dan zijn BC = B C, Γ A en Γ X evenwijdige rechten (waarbij Γ P de omgeschreven cirkel is van BCP ). De cirkel (BF ) raakt aan de rechte Γ A in het punt F. Omdat Γ A en B D = BD evenwijdig zijn, is F dus het midden van de boog B D op (BF ), i.e., noteren we het midden van [B D] met M B, dan is F het voetpunt van M B op Γ A. Analoog is E het voetpunt van M C op Γ A, is Y het voetpunt van M C op Γ X en is Z het voetpunt van M B op Γ X. Omdat Γ A en Γ X evenwijdig zijn, is E F Z Y een rechthoek, in het bijzonder een koordenvierhoek. Hieruit volgt dat EF ZY een koordenvierhoek is of een rechte. Dit laatste is enkel mogelijk als A = X. 10. (Israël 1995) We beschouwen de inversie met centrum C en straal 1. Dan is Γ een halfcirkel met diameter [P Q ]. (Symmetrie rond P Q in het begin, dus centrum ligt zeker op P Q = P Q en is dus het midden van de koorde [P Q ].) De rechte Ω raakt aan P Q en is evenwijdig met P Q (het raakpunt is dus het middelpunt van de boog P Q op Γ ). Door het bewijs na te lezen van het feit dat (AB) een cirkel is, zien we dat (AB) een cirkel is met diameter [B C]. Deze cirkel moet overigens raken aan Ω. Er volgt dat de stralen van de cirkels Γ en (AB) gelijk zijn. (Inderdaad, ze zijn gelijk aan de afstand tussen hun middelpunten en hun gemeenschappelijke raaklijn; omdat de verbindingsrechte tussen hun
7 middelpunten evenwijdig is met die raaklijn, zijn deze afstanden gelijk.) Omdat P, C, B, Q in die volgorde op een rechte lagen, liggen P, C, Q, B in die volgorde op een rechte en dus volgt uit de gelijkheid van de stralen dat A B P gelijkbenig is met tophoek in A. (Merk hierbij op dat A het snijpunt is van Γ en (AB) dat tussen de rechten P Q en Ω ligt.) Omdat A P AC P C = AP en A B AC BC = AB vinden we dat AB AC P C = AP AC BC, i.e., AB / BC = AP / P C. Gebruik nu de bissectricestelling. 11. (IMOSL 1998) De omgeschreven cirkels van ABC, CDE en EF A een gemeenschappelijk punt. Inderdaad, zij P het snijpunt van de laatste twee cirkels. Dan is ÂP C = ÂP E + ÊP C = (180 ÂF E) + (180 ÊDC) = ÂBC, dus P ligt op de omgeschreven cirkel van ABC. We inverteren met centrum P en straal 1. Omwille van de definitie van P zijn B, D en F punten op de zijden van de driehoek A C E. Verder is A B B C C D D E E F AB/(P A P B) F A = BC/(P B P C) = AB P C BC P A = 1 door cancellatie en het gegeven. Menelaos zegt dus dat B, D en F collineair zijn. Dus E is een punt op A F, D is een punt op B F en C is een punt op A B en deze drie punten zijn collineair. Menelaos (maar nu omgekeerd) impliceert dat... Verwijder nu de accenten en we zijn er.
De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieEnkel-, Dubbelverhouding en Harmonische Objecten
januari 2008 Enkel-, Dubbelverhouding en Harmonische Objecten Inleiding In de meetkunde werkt men vaak met verhoudingen van de afstanden van één punt tot twee andere. In het bijzonder natuurlijk bij de
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieMeetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieUitwerkingen toets 8 juni 2011
Uitwerkingen toets 8 juni 0 Opgave. Vind alle paren (x, y) van gehele getallen die voldoen aan x + y + 3 3 456 x y. Oplossing. Omdat links een geheel getal staat, moet rechts ook een geheel getal staan.
Nadere informatieIMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 2014
IMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 04 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave. Bepaal alle paren (a, b) van positieve gehele getallen waarvoor a + b a b + a en b a ab + b. Oplossing.
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieStelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2
Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door
Nadere informatieInversie. Hector Mommaerts
Inversie Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities en constructies 1.1 Definitie We weten hoe we een punt moeten spiegelen rond een rechte. We gaan nu kijken hoe we een punt spiegelen rond een cirkel.
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatieHenrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014
HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE Onderzoeksopdracht Stelling van Ptolemaeus Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 Inhoudstafel Historische achtergrond Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Toepassingen
Nadere informatieUitwerkingen toets 18 maart 2011
Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie
Nadere informatie7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 18 maart 2016
Selectietoets vrijdag 18 maart 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Voor een positief geheel getal n dat geen tweemacht is, definiëren we t(n) als de grootste oneven deler van
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 9 maart 2018
Selectietoets vrijdag 9 maart 2018 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. We hebben 1000 ballen in 40 verschillende kleuren, waarbij er van elke kleur precies 25 ballen zijn. Bepaal
Nadere informatieGerichte lengtes spelen o.a. een rol bij de stelling van Ceva en Menelaos en komen in deel 3 aan de orde.
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi, gerichte lengtes Trainingsweekend, 16 februari 2008 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen
Nadere informatieIMO-selectietoets I woensdag 5 juni 2013
IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 201 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle viertallen (a, b, c, d) van reële getallen waarvoor geldt ab + c + d =, bc + d + a = 5, cd
Nadere informatiedan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek
. Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Opgave : ACB is constant Opgave : a. * b. * c. ACB AMB Opgave 3: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. de drie lijnstukken gaan door één punt Opgave 4: a. Teken
Nadere informatieExtra oefeningen: de cirkel
Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Nadere informatieVlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso-hoeklijnen
Vlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso-hoeklijnen (Deze les sluit aan bij het paragraaf 3 en 4 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieCabri-werkblad. Apollonius-cirkels
Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices
Nadere informatieNeem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].
Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatiex y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b
G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of
Nadere informatieRakende cirkels. We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel.
Rakende cirkels Inleiding We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel. De raaklijn staat, in het raakpunt T, loodrecht op de straal. Bij uitwendig rakende cirkels
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 5. 3 Driehoeken 9. 4 Vierhoeken 14
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 5 3 Driehoeken 9 4 Vierhoeken 14 5 Lijnen in een driehoek 18 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatieEen sangaku (en niet alleen) als het regent
Een sangaku (en niet alleen) als het regent DICK KLINGENS (dklingens@gmail.com) Krimpen aan den IJssel, juli 7. Vooraf Ik bewijs eerst enkele eigenschappen van de driehoek die in verband staan met het
Nadere informatieMassa punten. Hector Mommaerts
Massa punten Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Een massa punt is een paar (n, P ), waarbij n een positief getal is en het gewicht genoemd wordt en waarbij P een punt is. Soms gebruikt men ook de
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieVoorbeeldoplossing toets: Analytische meetkunde loodrechte stand
Voorbeeldoplossing toets: Analytishe meetkunde loodrehte stand met A,, B,7 en C, Bepaal de Gegeven is een driehoek ABC oördinaat van het snijpunt van de zwaartelijn uit A met de hoogtelijn uit C M, BC
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieKleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur.
VRAAG 1 Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 2 Duid in de onderstaande figuur de overeenkomstige zijden en hoeken van de congruente driehoeken aan met eenzelfde
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieMeetkunde. 1 Koordenvierhoeken (Cyclic quadrilateral) Christophe Debry.
eetkunde hristophe ebry christophe.debry@wis.kuleuven.be e intentie van deze meetkundezitting is het inoefenen van het gebruik van koordenvierhoeken. Wat zeker niet de bedoeling is, is te pretenderen dat
Nadere informatieHoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)
- 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatie4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8
Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO 0 INTRO A: + 6 = 0 B: C: 8 D: 8 DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0 Daar gaan twee halve
Nadere informatieSamenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieHoofdstuk 5 : De driehoek
Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als
Nadere informatieBewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR
Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken
Nadere informatieVermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d.
17 Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d. 18 Vermoeden: De drie hoogtelijnen gaan door 1 punt 34. a. De drie middelloodlijnen van een
Nadere informatie25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar
25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2010
Uitwerkingen toets 9 juni 2010 Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek met de eigenschap BAC = 45. Zij D het voetpunt van de loodlijn vanuit C op AB. Zij P een inwendig punt van het lijnstuk CD. Bewijs
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieOver de tritangent stralen van een driehoek
Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatiePassermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni. Mascheroni DICK KLINGENS. aaaaa
- 1 Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni Mascheroni DICK KLINGENS 1. Probleemstelling Stelling. Iedere constructie in het euclidische vlak die met passer en liniaal mogelijk is,
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017
IMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een positief geheel getal. Gegeven zijn cirkelvormige schijven met stralen 1, 2,..., n. Van
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatiePienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7
Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieBlok 6B - Vaardigheden
B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatie12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatie