Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Transcriptie

1 Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

2 . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd noemen wij het gepunte vlak πo. Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector namelijk OP. Het punt P = OP van π o noemen wij een gebonden vector, vaste vector of puntvector.... Basis en assenstelsel Wij kiezen punten in πo en die samen met O een driehoek vormen. Ex Voor elke P in πo bestaat er juist één ( x, y) IR zodat Benamingen: E, E is een basis van πo. { } x y Ey ( x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis { Ex, Ey}. Merk op: begrip coördinaat is basisgebonden. OE x is de x-as; OE y is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of assenkruis...3. Bewerkingen met vectoren P = xe + y x E y In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren: ) de som van vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.. Analytische meetkunde

3 y C a A b B O a b x ) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k R is vector met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen...4. Toepassing: midden van een lijnstuk Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a,a ) en B (b,b ) Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk. M A + B a + b, a + b =.. Rechten... Vectoriële vergelijking Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt S verschillend van de oorsprong is het eindpunt van een vector S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo n vector wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo n richtingsvector is, dan is elke k S met k R opnieuw een richtingsvector van e. e S O Beschouw e een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P op e. Analytische meetkunde 3

4 P e P e S P P Als S een richtingsvector is van e, geldt P P = ks of P = P + ks voor een k R. Omgekeerd ligt voor elke k, het eindpunt van de vector P + ks op de rechte e. We kunnen de vectoriële vergelijking P = P + ks dan ook beschouwen als de nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte e zou liggen (bepaald door het punt P en de richting S ). is de vectoriële vergelijking van de rechte. P = P + ks met k R... Parametervergelijkingen Overgang op de componenten in R met P = ( x, y) P = ( x, y ), en S = ( a, b) levert Verdere uitwerking levert equivalent met ( x, y) = ( x, y ) + k( a, b) met k R ( x, y) = ( x + ka, y + kb) met k R x = x + ka met k R y = y + kb Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt ( x, y ) met richtingsgetallen ( a, b ), de coördinaten van de richtingsvector S. Merk op dat bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel P als S kunnen gekozen worden. Analytische meetkunde 4

5 ..3. Cartesische vergelijking(en) Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we of x x y y = als ab a b b y y = ( x x ) als a a Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De verhouding b a wordt de richtingscoëfficiënt genoemd. Als a =, dan worden de parametervergelijkingen x = x met k R y = y + kb De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden (cartesische) vergelijking over. x = x De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (,); de richtingscoefficient bestaat niet! Analoog, als b =, dan is y = y de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (,); de richtingscoefficient is! Merk op dat ( a, b ) = (,) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als richtingsvector van een rechte. Als de rechte gegeven is door middel van punten P ( x, y ) en P ( x, y ) volstaat het een richtingsverctor te vinden. Vermits P P een geschikte vector is, krijgen we P = P + k( P P ) met k R als vectoriële vergelijking en als stel parametervergelijkingen; x = x + k( x x ) met k R y = y + k( y y) x x y y = x x y y als cartesische vergelijking als x x en y y. Als x = x dan is de vergelijking analoog aan a = ; Analytische meetkunde 5

6 als y = y dan is de vergelijking even analoog aan b=. De algemene cartesische vergelijking van een rechte in Ax + By + C = R is dus van de vorm waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke vergelijking van deze vorm in R een rechte voorstelt. Wat is de richtingscoëfficiënt van deze rechte? Vind een stel richtingsgetallen..3. Evenwijdige rechten Als gegeven is de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c =, de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c = e e dan is O S S e // e S = ks met k R a b = ka = kb m = m A B = ka = kb met k R met k R toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C= en het punt P(x,y ) gevraagd: construeer f // e en door P f heeft als vergelijking A(x- x )+B(y- y )= Analytische meetkunde 6

7 .4. Het Euclidisch vectorvlak.4.. Definities Als A( a, a) en B( b, b ) in π gegeven zijn, dan is het scalair product van deze vectoren A. B = a b + a b R dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal A B A. B = dan is de norm van de vector A = A. A = a + a > dan is A een genormeerde vector als A = dan is de afstand tussen A a, a ) en B b, b ) ( ( d( A, B) = A B = a b + a b B ( ) ( ) O A A - B Analytische meetkunde 7

8 .4.. eigenschap als A O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A waarbij a de rechte OA voorstelt. Verklaar waarom Ea genormeerd is. E = a A A.4.3. Orthonormale basis (O.N.B.) Ex Ey { E, E } x y is een orthonormale basis Ex = Ey =.5. Hoeken Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin..5.. De hoek van een rechte met de x-as (Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.) In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat m tanα = = m m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de x- as en de rechte. y E y e m α E x x Analytische meetkunde 8

9 .5.. De hoek tussen rechten Gegeven: de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, α de hoek met de x-as de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, α de hoek met de x-as Definitie: de hoek tussen de rechten e en e in die volgorde genomen, genoteerd (e, e ), is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e en e ; het eerste been ligt op een halfrechte bepaald door e en het tweede been op een halfrechte bepaald door e. e e (e,e ) e (e,e ) e Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek kiezen. De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens. (Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk). tanα tanα m m a b a b tan( α α) = = = + tanα tanα + m m a a + b b.6. Loodrechte stand van rechten Als gegeven is de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c =, de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c = dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.) Analytische meetkunde 9

10 e S e O S e e S S a m a + bb = A A = m B B + = toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C= en het punt P (x,y ) gevraagd: construeer f e en door P f heeft als vergelijking B(x- x )-A(y- y )=.7. Afstand van een punt tot een rechte ) definitie ( of constructieve methode) Beschouw in π een punt P ( x, y ) en een rechte e : Ax + By + C =. Om de (loodrechte) afstand van P tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk. Construeer de rechte r door P loodrecht op e. Zoek het snijpunt S van r en e. De gezochte afstand is dan gelijk aan d( P, S ). ) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.) Ax + By + C d( P, e) = d( P, S) = A + B Analytische meetkunde

11 .8. Oefeningen. Gegeven: A(5, ), B(,5), C( 7,). a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC. (, ); 4, 7 ;, b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC. (-, ). Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende gegevens: a) gaande door (-, 7), (, -8) (3, -5) en m = -5 b) de rechte x (k,) en m = c) de rechte y (,k) en m bestaat niet! d) de rechte met vergelijking: x - y + 4 = (, ) en m = e) de rechte met vergelijking: y = 3 4 x (4, 3) en m = 3 4 f) de rechte met vergelijking: y = x + 3 (, ) en m = 3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen: e: y = 4x f: x + 3y = g: 4x + y + 5 = 4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel. e: y - x + 5 = α = 45 ;α = 35 f: y 3x 5 = α = 6 ;α = 5. Bewijs dat de figuur gevormd door A(,), B(, 4), C(5,6), D(4,3) een parallellogram is. 6. Gegeven een rechte e: x + y = 4 Gevraagd: a) behoort A(4, ) tot e? Neen b) behoort B(4,) tot e? Ja c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 x = 4 d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis y = 3 e) construeer de rechte f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as (4, ) en (, ) 7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + = met a IR Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat: a) de rechte door (, ) gaat a = - b) de rechte die door gaat onmogelijk c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = a = -9 d) e evenwijdig is met x-as a = e) e evenwijdig is met y-as onmogelijk f) e op de x-as een stuk + 3 afsnijdt a = 3 g) e op de y-as een stuk +5 afsnijdt onmogelijk Analytische meetkunde

12 h) e op y een stuk 3 afsnijdt a IR 8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens: a) m = - en door het punt (3, 4) y + x - = b) door de punten (, 3) en (5, ) 3y + x -3 = c) door de oorsprong en het punt (, 6) y - 3x = d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y = 5 e) door de punten (-, 4) en (-, ) x = - f) door de punten (, 3) en (-, -6) y - 3x = g) m = en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - x - 4 = h) die van y een stuk +3 en van x een stuk + afsnijdt 3x + y - 6 = i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (, 4) gaat y - 5x + 6 = j) die door het punt (-, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + y - 5 = y + 3x - 6 = k) die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (,) en (5, ) 3y - x - 9 = l) die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig is met de y-as x = m) die door het punt (-, 4) gaat en evenwijdig is met de x-as y = 4 9. Gegeven de rechte e: y = (a - )x + (a + b) met a,b IR. Bepaal a en b zodanig dat: a) e door de punten (, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = - b) e door het punt (, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = a = en b = - c) e een stuk - op x afsnijdt en (, -) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7 d) e door (, ) en (-, -4) gaat a = 4 en b = -4. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte: a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45 maakt. y - x + 7 = ; y + x - = b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 3 maakt. 3y 3x 9 = ; 3y + 3x 9 =. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (, 4): a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de positieve y-as x + y - = b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt x - y + =. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn: e: (a - )x - (a+)y + = f: (a + )x + ( - 4a)y + a = a = of a = 3 3. Onderzoek of volgende punten collineair zijn: a) (8, 3), (-6, -3), (5, 6) Ja b) (, ), (4, -), (-5, 5) Ja Analytische meetkunde

13 4. Bepaal a zodanig dat de punten (, 3), (a, ) en (a +, a - 3) collineair zijn. Bepaal de vergelijking van de rechte. a = 3 en y + x - 5 = a = 4 en y + x - 8 = 5. Bepaal de snijpunten van volgende rechten: e : x + y = 4 a) f :3x + y = 7 e :5x + 3y -= b) f : x + 8 = e :6y - 3 = 4x c) 3 f : x 3y + = 6. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (, ) (, ) (-4, 7) samenvallende rechten y - = m (x - ) 7. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient. 8. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn. 9. Gegeven: A(,), B(,), C(,) t.o.v. een orthonormale basis. Bepaal: A. B AC. C. B A. A B. B C. C y = x + q Bewijs dat de punten A(4, 6), B(, -4), C(-, ) een rechthoekige driehoek vormen.. Bepaal de vergelijking van de loodlijn en ook het voetpunt. a) uit het punt (, ) op de rechte e: 5x + y - 6 = 5 x - 5y = en 3, 3 3 b) uit het punt (, -6) op de rechte f: x - y + 5 = x + y + = en (-4, -3). Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: x + 5y + 4 = in haar snijpunt met de x-as. 5x - y + = Analytische meetkunde 3

14 3. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt ( 4,) op die rechte. y + x - 6 = 4. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -) en B(, 3). y - x = 5. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x 4y +4 = ; 4x + y 3 = ; x + 5y 8 =. Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het hoogtepunt. y 5x + 5 = 3y + 4x 5 = 4y x = 3 9, Gegeven: A(5, -3), B(-, 5), C(-7, ). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek gevormd door deze punten. ; 3; Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5 5; 8. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(, ), C(-3, ) tot de rechte e: x y + 5 = ; 3 ; 9. Bepaal de afstanden van het punt A(5, ) tot de punten B(, -), C(-, ) en tot de rechte BC. 5; 5 ; 5 3. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: x + y - 3 = a) m.b.v. de formule b) m.b.v. de loodlijn Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(, ) op de rechte e : x y + = wordt neergelaten Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(5, -3) Analytische meetkunde 4

15 33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: x + y + 3 =, x + y = 34. Gegeven: A(, p), e: x + y + =, f: x + y - 3 =. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke afstanden tot de rechten e en f heeft. p = en p = Bepaal de vergelijking van de rechte door A(, 3) en die op een afstand 3 ligt van de oorsprong. y = 3 en 5y + x - 39 = Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, ) zodanig dat de rechte evenver verwijderd is van de punten B(3, -) en C(-3, ) y + x + 3 = en y + x - 5 = 37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + y - = en die op een afstand van het punt A(-, ) ligt. 5x + y - 5 = 5x + y + = Analytische meetkunde 5

16 . KEGELSNEDEN.. Inleiding Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen. Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel snijdt. Figuur snijding van een kegel door een vlak Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts: bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende... De cirkel Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn definitie en zijn vergelijking. Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt M het middelpunt. P C d( P, M ) = R Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel Verklaar! x + y = R Analytische meetkunde 6

17 Indien het middelpunt M de coördinaten ( x, y ) heeft, is de middelpuntsvergelijking De verklaring is analoog. De algemene vergelijking van de cirkel is ( x x ) + ( y y ) = R x + y + Ax + By + C = Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!.3. De parabool Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte d gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt F noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn. Q P d( Q, d) = d( Q, F) Als het brandpunt F( p, ), richtlijn d : x = p en (x,y) de coordinaat is van Q ten opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de parabool P y = 4 p x Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid: d y Q T F x Q P d( Q, d) = d( Q, F) y = Figuur parabool ( ) + ( ) = + x p y x p ( x p) + ( y ) = ( x + p) 4 p x De topvergelijking van deze parabool is dus y = 4 p x. De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool. Analytische meetkunde 7

18 Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met zijn opening naar boven als de parameter p >, en met de opening naar beneden als p <. Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de coördinaatassen als symmetrieas. y = 4 p x met p > y = 4 p x met p < x = 4 p y met p > x = 4 p y met p < Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T ( x, y ) vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen Horizontale symmetrieas: Verticale symmetrieas: ( y y ) 4 p ( x x ) = met ( x x ) 4 p ( y y ) = met F( x + p, y ) en d : x = x p F( x, y + p) en d : y = y p De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas is Horizontale symmetrieas: Verticale symmetrieas: x = Ay + By + C y = Ax + Bx + C Analytische meetkunde 8

19 .4. Oefeningen (we werken in een O.N.B.). Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R. a) a =, b =, R = 5 x + y = 5 b) a = 4, b =, R = ( x 4) + y. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels ( ) = 4 a) x + y 8x 6y = (,3) 5 M 4 en R = b) 3x + 3y x + 3y + = M, en R = 3 6 c) 6x +6y 8x 5 = M, en R = 4 d) 36( x + y ) 48x + 36y 7 = M, en R = Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en straal. a) x + y 6x + 4y + 59 = geen cirkel b) 6x + 6y + 8x 64y 335 = cirkel C 4,,5 c) 4x + 4y x + 4y + 9 = (punt) cirkel C 3, 5, 4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op A:x y = 5 x + y 6x 6y + 48 = 5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de cirkel (5, 6) en (-, ) een middellijn is. x + y 4x 6y 5 = 6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c: x + y + 3x 4y = x + y + 3x 4y = 7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC met A(, ); B(6, -); C(-3, -5) x + y 5x + y 8 = 8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, ) en gaat door het punt P(, ). Bepaal: a) de vergelijking van de cirkel. ( x 3) + y = 5 b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte ( ) x y 3 + = Analytische meetkunde 9

20 9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek. a) y 8x = (, ); x = - b) y + 6x = 3, ; x = 3 c) x + y =, 8 8 d) x y =, 8 8. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (, ) en door het punt A(-, 3): y = 9x. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt, en richtlijn d: y = x + y =. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -) en richtlijn d: x = 3 y + 4y 8x + 44 = 3. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -) en richtlijn d de bissectrice van het tweede kwadrant. x + y xy 8x + 8y + 6 = 4. Schets de grafiek van: a) 3x 4x y + 5 = b) 4y + 4y 3x + = ( x 4) = ( 3 y ) (y + 5) = 3 4 x Analytische meetkunde