Meetkunde. 1 Koordenvierhoeken (Cyclic quadrilateral) Christophe Debry.

Transcriptie

1 eetkunde hristophe ebry e intentie van deze meetkundezitting is het inoefenen van het gebruik van koordenvierhoeken. Wat zeker niet de bedoeling is, is te pretenderen dat jullie straks als meetkunde experten de zaal zullen vertlaten, want daarvoor is er jammer genoeg niet genoeg tijd. Geen enelaos, eva, esargues, inversie, of projectief gedoe vandaag, maar gewoon het oog trainen op het spotten van koordenvierhoeken en het introduceren van aanverwante machinerie, zoals machtslijnen en voetpuntsdriehoeken. Veel plezier! Hints bij de opgaven kan je vinden op mijn website: perswww.kuleuven.be/ u Koordenvierhoeken (yclic quadrilateral) Een vierhoek wordt een koordenvierhoek genoemd als er een cirkel bestaat die door de punten,, en gaat. In een olympiadeprobleem zal je eerst een koordenvierhoek moeten ontdekken (soms is dit gegeven) en daarna de erg interessante eigenschappen van een koordenvierhoek gebruiken. In het bijzonder lenen de eigenschappen van koordenvierhoeken zich erg tot het vinden van rechte hoeken, of het bewijzen dat twee hoeken gelijk zijn. Wat zijn deze speciale eigenschappen precies? Omtrekshoeken en middelpuntshoeken. Stel dat Γ een cirkel is met middelpunt O, en neem punten,, op Γ. an is 2 = O. Om volledig rigoureus te zijn, moeten we wel zeggen welke hoeken we precies bedoelen (de rechten en maken immers twee hoeken!), maar de tekening op de volgende bladzijde zou alles moeten verduidelijken. Gelijke omtrekshoeken. Hoewel dit een direct gevolg is van het eerste resultaat, vermelden we dit hier nog eens apart: omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk. Voor mensen die het liever in formules zien: stel dat,,, op één cirkel liggen en dat en aan dezelfde kant van de rechte liggen. an is =. (Zie figuur.) Hoeken op een diameter. Stel dat [] een diameter is van een cirkel en dat X een derde punt is op die cirkel. an is ÂX = 90. Ook dit volgt uit het eerste resultaat: het middelpunt O van de cirkel ligt op [] en dus is ÂX = 1 2ÂO = = 90. 1

2 O Rechte hoek betekent diameter. Stel dat een rechthoekige driehoek is met Ĉ = 90. an is [] een diameter van de omgeschreven cirkel van. Tegengestelde hoeken in een koordenvierhoek. Stel dat een convexe koordenvierhoek is. an is  +  = 180, met andere woorden: tegengestelde hoeken in een convexe koordenvierhoek zijn supplementair. Raaksomtrekshoeken. Stel dat,, punten op een cirkel Γ zijn. Zij l de raaklijn in aan Γ en neem een punt op l zodat en aan verschillende kanten van liggen. an is = Â. Het omgekeerde geldt ook: als en aan verschillende kanten van liggen en = Â, dan raakt aan de omgeschreven cirkel van. it is een manier om te bewijzen dat een gegeven rechte raakt aan een gegeven cirkel. Een andere manier is het gebruik van de macht van ten opzichte van de omgeschreven cirkel, maar dat is voor later. Twee voorbeeldjes om deze eigenschappen te illustreren. EWIJS. Zij de omgeschreven cirkel van een driehoek. Zij het tweede snijpunt van de binnenbissectrice van met en definieer analoog en. (Over deze belangrijke snijpunten zo meteen meer!) an staat loodrecht op. Zij het snijpunt van en. We moeten bewijzen dat + = 90. Via omtrekshoeken op de cirkel vinden we dat = Ĉ + = Ĉ + = 1 2Ĉ + 1 2Â. naloog geldt dat = 1 2, en dus volgt het gestelde. EWIJS. Zij een gelijkbenige driehoek met top in. Een cirkel met koorde [] snijdt [] (inwendig) in en [] (inwendig) in Q. an is Q gelijkbenig. Inderdaad, omdat Q een convexe koordenvierhoek is, geldt Q = 180 ĈQ = Ĉ = Ĉ. aar is gelijkbenig, dus Ĉ = Ĉ = Q. Er volgt dat Q = Q en dus is Q gelijkbenig met top in. 2

3 Q ls je íéts moet onthouden van deze tekst, is het wel de volgende levensbelangrijke stelling: Stelling Zij Γ de omgeschreven cirkel van een driehoek en zij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel van (i.e., het snijpunt van de binnenbissectrices). Zij het tweede snijpunt van I met Γ. an: (a) is het midden van de boog die niet bevat. et andere woorden, I en de middelloodlijn van [] snijden elkaar op Γ. (b) is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van I. EWIJS. (a) Omdat de bissectrice van is, en een convexe koordenvierhoek is, geldt = = Ĉ = Ĉ, dus =, dus ligt op de middelloodlijn van []. (b) Het volstaat omwille van (a) te bewijzen ) dat = I. it doen we als volgt: Î = Î + Ĉ = 1 2 ( + Â, en I = = Ĉ, dus I = 180 ) 1 2 (Â + Ĉ = Î. it bewijst de gelijkbenigheid van I. I 3

4 Oefeningen 1 (VWO 2012, R2/25) e convexe vijfhoek E is ingeschreven in een cirkel zodanig dat E = 75 en dat = = E. an is gelijk aan... 2 Zij E een convexe koordenvijfhoek zodat = en E. Toon aan dat E =. 3 eschouw een driehoek. e loodrechte projecties van en op hun overstaande zijden noemen we en E respectievelijk. Zij het midden van [] en zij N het midden van [E]. Toon aan dat N en E loodrecht op elkaar staan. 4 (Zuid frika 1995) Stel dat er een punt op de zijde [] van een driehoek bestaat zodat = Â. Zij O het middelpunt van de omgeschreven cirkel van. Toon aan dat O = (UK 2010/R1) Zij een driehoek met  = 90. Zij L een punt op []. e omgeschreven cirkel van L snijdt een tweede keer in en de omgeschreven cirkel van L snijdt een tweede keer in N. Toon aan dat L,, N collineair zijn. 6 (UK 1996/R1) Zij O het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een scherphoekige driehoek. Zijn en Q de tweede snijpunten van de omgeschreven cirkel van O met en resp. Toon aan dat O en Q loodrecht op elkaar staan. 7 (UK 2001/R1) Zijn 1 en 2 twee cirkels die elkaar raken in het punt (waarbij 2 binnen 1 ligt). eschouw een willekeurig punt (verschillend van ) op 1. Zijn en Q punten op 1 zodat de koorden en Q raken aan 2 in de punten S en T respectievelijk. an is Q = 2ŜT. 8 (Sharygin 2012) Een punt ligt op de kleine boog van de omgeschreven cirkel van een vierkant. Het snijpunt van en noemen we, en Q is het snijpunt van en. Toon aan dat de oppervlakte van de vierhoek Q onafhankelijk is van de keuze van het punt. 9 (altic Way 2003) Zij een vierkant en zijn en N punten op [] en [] zodat N = 45. Toon aan dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel van N op ligt. 10 (Sharygin 2011) Zijn a, b en c de middens van de zijden [], [] en [] van een driehoek. e loodrechte projecties van de hoekpunten op de overstaande zijden noemen we a, b en c. Zij S c het tweede snijpunt van de omgeschreven cirkels van a b en a b en definieer op analoge wijze S a en S b. Toon aan dat S a, S b en S c collineair zijn, en dat de rechten S a, S b en S c evenwijdig zijn. 11 (Sharygin 2011) In een scherphoekige driehoek zijn en de loodrechte projecties van en op hun overstaande zijden en is H het hoogtepunt. e rechte H snijdt de cirkel met diameter [] een punt tussen en H. Het snijpunt van en noemen we en het snijpunt van en noemen we N. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van en N elkaar raken. 4

5 12 (VWO 2003) Twee cirkels 1 en 2 snijden elkaar in het punt S. e raaklijn in S aan 1 snijdt 2 in en S. e raaklijn in S aan 2 snijdt 1 in en S. Een derde cirkel 3 gaat door, en S. e raaklijn in S aan 3 snijdt 1 in en S, en snijdt 2 in Q en S. Toon aan dat S = QS. 13 (enelux 2012) In een driehoek is het midden van []. Zij een variabel punt binnen de driehoek met de eigenschap dat Ĉ =. Zij Γ de omgeschreven cirkel van. e rechte snijdt Γ een tweede keer in Q. Zij R de spiegeling van rond de raaklijn in aan Γ. Toon aan dat de lengte QR onafhankelijk is van de positie van binnen de driehoek. 14 (IO 1998/5) Zij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel van. Zijn K, L en de punten waar de ingeschreven cirkel de zijden, en raakt. Zij l de rechte door, evenwijdig met KL en zijn R en S de snijpunten van l met K en L respectievelijk. Toon aan dat RIS een scherpe hoek is. 15 Zij een inwendig punt van een driehoek waarvoor geldt dat  = Â. Zij de loodrechte projectie van op en zij de loodrechte projectie van op. Zij het midden van []. Toon aan dat =. 16 (Sharygin 2012) Zij een scherphoekige driehoek en zij H de loodrechte projectie van op. e loodrechte projecties van H op en noteren we met K en L resp. e omgeschreven cirkel van snijdt KL in en Q en snijdt H een tweede keer in T. Toon aan dat H het middelpunt is van de ingeschreven cirkel van QT. 17 (IO 2002/2) Zij een punt op een cirkel Γ met diameter [] zodat ÂO < 120. Zij O het middelpunt van Γ en zij het midden van de boog die niet bevat. e rechte door O, evenwijdig met, snijdt in het punt I. e middelloodlijn van [O] snijdt Γ in E en F. Toon aan dat I het middelpunt is van de ingeschreven cirkel van EF. In dit tweede inleidende deel over koordenvierhoeken, gaan we een stapje verder: we moeten nu niet enkel gegeven koordenvierhoeken uitbuiten, maar moeten er ook proberen te vinden. En dit kan op verschillende manieren. We zullen later zien hoe we macht van een punt kunnen gebruiken, maar momenteel gaan we ons focussen op de volgende karakterisatie van koordenvierhoeken: Stelling Zij een convexe vierhoek. an zijn de volgende uitspraken equivalent: (1) is een koordenvierhoek (2)  +  = 180 (3) + = 180 (4)  =  (of aanverwanten) 5

6 EWIJS. ls een koordenvierhoek is hebben we al gezien dat de andere drie eigenschappen gelden. We moeten dus nog de omgekeerde implicaties aantonen. Het is duidelijk dat (2) en (3) equivalent zijn. Laten we nu nog (4) (1) en (2) (1) bewijzen. Stel dus dat (4) geldt, i.e.,  = Â. Zij het tweede snijpunt van met de omgeschreven cirkel van. an is  =  =  =  (waarbij de laatste gelijkheid geldt omdat van wel al geweten is dat het een convexe koordenvierhoek is). us, en zijn colineair, i.e., ligt zowel op als op. Hieruit volgt dat = en dus dat een koordenvierhoek is. Stel nu dat (1) geldt, i.e.  +  = 180 en zij het tweede snijpunt van met de omgeschreven cirkel van. an is een convexe koordenvierhoek, dus  = 180  = Â. Omwille van de reeds bewezen implicatie (4) (1) (maar nu voor ) volgt er dat een koordenvierhoek is, i.e., ligt op de omgeschreven cirkel van en dit is precies de omgeschreven cirkel van. ij wijze van voorbeeld bewijzen we de volgende klassieke stelling: Stelling van iquel Zij een driehoek en zijn, Q en R punten op [], [] en []. an hebben de omgeschreven cirkels van QR, R en Q een gemeenschappelijk punt. EWIJS. Zij S het snijpunt van de omgeschreven cirkels van QR en R. an is QSR = 180  en SR = 180. us SQ = 360 QSR SR =  + = 180 Ĉ. Omwille van equivalentie puntje (d) uit de vorige stelling, betekent dit dat SQ een koordenvierhoek is, i.e., S ligt ook op de omgeschreven cirkel van Q. R Q S Voor we aan de oefeningen beginnen wil ik nog de aandacht vestigen op de volgende belangrijke eigenschap. 6

7 Stelling Zij H het hoogtepunt van en zij K de spiegeling van H om. an ligt K op de omgeschreven cirkel van. EWIJS. Omdat K convex is, volstaat het aan te tonen dat K = K. Omdat K de spiegeling is van H om is K = H = 90  = H. Het volstaat dus nog te bewijzen dat, H, K collineair zijn. aar dit is duidelijk het geval: H staat loodrecht op als hoogtelijn en HK staat loodrecht op omdat we om gespiegeld hebben. H K Oefeningen 1 eschouw een driehoek. Op de buitenkant van de zijden worden de gelijkzijdige driehoeken, en geconstrueerd. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van deze gelijkzijdige driehoeken een gemeenschappelijk punt hebben. 2 (UK 1995/R2) Zij een rechthoekige driehoek met rechte hoek in. e binnenbissectrices van en Ĉ snijden de overstaande zijden in en E respectievelijk. Zijn en Q de loodrechte projecties van en E op de schuine zijde. epaal Q. 3 (VWO 1999) Zij [N] een diameter van een halfcirkel waar twee punten en op liggen. e loodrechte projecties van en op N noemen we en respectievelijk en het midden van [] noteren we met. Toon aan dat Ĉ enkel afhangt van en niet van de precieze positie van en. 4 (entro merican 2003) Zij [] een diameter van een cirkel Γ. e raaklijn aan Γ in bevat punten en zodat tussen en ligt. e tweede snijpunten van Γ met en noemen we E en F respectievelijk, en de tweede snijpunten van Γ met F en E zijn G en H respectievelijk. Toon aan dat H = G. 5 (Junior alkan 2010) Zij een driehoek. e bissectrices van de hoeken  en snijden de overstaande zijden in L en K respectievelijk. e middelloodlijn van [K] snijdt L in, en N is het snijpunt van K met de rechte door L, evenwijdig met K. Toon aan dat N = LN. 7

8 6 Zijn E en F twee punten op de zijden [] en [] van een vierkant, zodat ÊF = 45. Zijn en N de snijpunten van de diagonaal met de rechten E en F, respectievelijk. Zij het snijpunt van F en NE. Toon aan dat loodrecht staat op EF. 7 (USO 1993) Stel dat de diagonalen en van een convexe vierhoek elkaar loodrecht snijden in het punt O. Toon aan dat de loodrechte projecties van O op de zijden van een koordenvierhoek vormen. Vormen de spiegelingen van O rond de zijden ook een koordenvierhoek? 8 Zij EF een convexe koordenzeshoek zodat = E. Het snijpunt van F met noemen we T en het snijpunt van E en F noemen we S. Toon aan dat F SE = ÂT. 9 (VWO 2007) eschouw een halfcirkel met diameter [] en middelpunt O. Zij Z een willekeurig punt binnen de halfcirkel, zij X het snijpunt van OZ met en zij Y het snijpunt van Z met. e raaklijn in X aan de halfcirkel snijdt Y in het punt. Toon aan dat Z loodrecht staat op X 10 (Rusland 1996) Zijn E en F punten op de zijde [] van een convexe vierhoek. (et, E, F, in die volgorde op de rechte.) Stel dat E = ĈF en ÊF = F E. Toon aan dat F = Ê. 11 (O 2007) Zij een scherphoekige driehoek waarin  = 60 en >. Zij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel en zij H het hoogtepunt. Toon aan dat 2ÂHI = 3Â. 12 (NL TST 2010) Zij een koordenvierhoek met de eigenschap dat  =. Zij E het snijpunt van de diagonalen en. Zij en midden van [E] en zij N het midden van []. Toon aan dat N een koordenvierhoek is. 13 (NL TST 2011) e cirkels Γ 1 en Γ 2 snijden mekaar in en. e gemeenschappelijke raaklijn van de twee cirkels die het dichtst bij ligt, raakt Γ 1 in en Γ 2 in. e lijn snijdt Γ 2 voor de tweede keer in. Zij het midden van []. an is =. 14 (altic Way 2005) Zij een driehoek en zijn en E punten op [] en [] resp. zodat = E. e rechte die de middelpunten van de omgeschreven cirkels van en E verbindt, snijdt en in K en L resp. Toon aan dat K = L. 15 (EGO 2012) Zij O het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek. e punten, E, F liggen op [], [] en [] resp. zodat E O en F O. Zij K het middelpunt van de omgeschreven cirkel van F E. Toon aan dat K en loodrecht op elkaar staan. 16 (USJO 2011) eschouw een convexe koordenvijfhoek E (met omgeschreven cirkel Γ) zodat en E evenwijdig zijn. Een punt ligt buiten Γ op zodat en raken aan Γ. Toon aan dat E door het midden van [] gaat. 17 Zij een scherphoekige driehoek. e cirkel met diameter [] en middelpunt O snijdt en in en N respectievelijk. Zij R het snijpunt van de bissectrices van 8

9 en ON. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van R en NR elkaar snijden op. 18 (IO 2006/1) Zij een punt binnen waarvoor geldt dat + = +. Toon aan dat I en dat er gelijkheid geldt als en slechts als = I. 19 (enelux 2011) eschouw een driehoek. e binnenbissectrice van de hoek  snijdt [] in. Zij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel van. e middelloodlijn van [] snijdt I in en I in N. Toon aan dat, I, en N op een cirkel liggen. 20 Zij een convexe vierhoek en zij K een punt op [] waarvoor geldt dat K = (indien dit bestaat). Zij L een punt op zodat KL. Toon aan dat K = L. 21 (IO 2012/1) eschouw een driehoek. e aangeschreven cirkel tegenover heeft middelpunt J. eze cirkel raakt, en in de punten K, L en. Zij F het snijpunt van L en J en zij G het snijpunt van K en J. Zij S het snijpunt van F en en zij T het snijpunt van G en. Toon aan dat het midden is van [ST ]. (e aangeschreven cirkel tegenover is de cirkel die raakt aan, en in punten K, L en zodat tussen en K ligt, tussen en L ligt en tussen en ligt.) 22 (UK 2013/R2) Zij een punt in zodat  =. Het punt Q wordt gekozen zodat Q een parallellogram is. Toon aan dat Q = Ĉ. 23 (Zhautykov 2010) Zij een convexe koordenvierhoek waarin =. Stel dat er punten op [] en N op [] bestaan zodat N = + N. e rechten en N snijden de omgeschreven cirkel van een tweede keer in en Q respectievelijk. Toon aan dat het hoogtepunt van Q op N ligt. 24 (IO 1985/1) eschouw een koordenvierhoek. e rechten, en raken aan een cirkel waarvan het middelpunt op [] ligt. Toon aan dat + =. 25 Zij een koordenvierhoek waarin + =. Toon aan dat de bissectrices van  en elkaar snijden op. 26 Zij een convexe vierhoek waarvoor geldt dat = Ĉ. Zij E het snijpunt van de bissectrice van  met. ewijs dat ÂE = 90 als en slechts als = (IOSL 2010) Zij E een convexe vijfhoek waarin E, = + E en  = ĈE. Zij het midden van [E] en zij O het middelpunt van de omgeschreven cirkel van. Toon aan dat als O = 90, dan is 2 = ĈE. 9

10 2 acht van een punt (ower of a point) Zij Γ een cirkel met middelpunt O en straal r en zij een punt. We definiëren het getal µ,γ := O 2 r 2 als de macht van ten opzichte van Γ. eze definitie lijkt onschuldig, maar na het lezen van de volgende paragrafen zal hopelijk duidelijk worden dat het machtsconcept voor heel wat problemen nuttig kan zijn. achtsstelling Zij Γ een cirkel en zij een punt. Een rechte door snijdt Γ in en (waarbij eventueel = als de rechte raakt aan Γ). (a) Er geldt dat µ,γ = als buiten de cirkel ligt en µ,γ = als in de cirkel ligt. (b) Een tweede rechte door snijdt Γ in en. an is =. EWIJS. (a) ls = een raakpunt is, is de stelling triviaal omwille van ythagoras. Stel dus dat en zijn X en Y de snijpunten van Γ met de rechte door en het middelpunt O van Γ. Stel dat buiten de cirkel ligt. an is X Y = ( O r)( O + r) = O 2 r 2 = µ,γ (waarbij r de straal van Γ is; zie figuur). Het volstaat dus te bewijzen dat = X Y. We mogen er omwille van symmetrie van uitgaan dat tussen en ligt en dat X tussen Y en ligt (i.e., en XY snijden elkaar aan de kant van en X). an is  X = Y en X = 180 X = XY, dus X en Y zijn gelijkvormig en hieruit volgt de gewenste gelijkheid. Het geval waarin in de cirkel ligt, verloopt volledig analoog. (b) Volgt uit (a) X O Y Je zal de interpretatie van µ,γ uit (a) veel vaker gebruiken dan de echte definitie: in olympiadeproblemen waar macht van een punt van pas kan komen, zal je op zoek moeten gaan naar snijlijnen met cirkels om dan de bovenstaande eigenschap toe te passen. Een eenvoudig voorbeeld: (VWO 2007/R2) e punten,, en liggen op een cirkel. e rechten en snijden elkaar buiten de cirkel in het punt. ls = 7, = 5 en = 3, bepaal. 10

11 EWIJS. Het antwoord is: = 17. Inderdaad, zij Γ de cirkel waar,, en op liggen. e rechte snijdt Γ in en, dus µ,γ = ( ligt buiten Γ). naloog geldt µ,γ =. Omdat = 5 < 7 = en buiten de cirkel ligt, ligt tussen en en is = 12. Er volgt dat 60 = µ,γ = 3 en dus = 20. Omdat = 3 en uit de cirkel ligt, volgt er dat = 17. Omgekeerde achtsstelling Zij een vierhoek en stel dat en mekaar snijden in een punt. an is een koordenvierhoek als en slechts als =. EWIJS. e slechts als implicatie is de vorige stelling. Stel nu omgekeerd dat =. Omdat en een hoek (in ) gemeenschappelijk hebben, en / = /, zijn deze driehoeken gelijkvormig. Er zijn nu een aantal gevallen: kan in of uit de cirkel liggen, en de positie van op de rechten en kan veranderen. We behandelen hier enkel het geval dat buiten de cirkel ligt, en dat tussen en ligt en tussen en ligt (zie figuur). an is  = =  = 180 Â. e overstaande hoeken in hebben dus som 180 en hieruit volgt dat een koordenvierhoek is. it is dus een nieuwe manier om na te gaan of een vierhoek cyclisch is. Een klassieke (niet olympiade) toepassing van macht van een punt (naast de vele toepassingen die nog moeten komen) is het volgende bewijs van de ongelijkheid van Euler. Ongelijkheid van Euler Zijn R en r de stralen van de omgeschreven, resp. de ingeschreven cirkel van een driehoek. an is R 2r. 11

12 EWIJS. We gaan een straffere uitspraak bewijzen: als O en I de middelpunten van de omgeschreven, resp. de ingeschreven cirkel van zijn, dan is OI 2 = R 2 2Rr. Om dit aan te tonen, merken we op dat OI 2 R 2 de macht van I ten opzichte van de omgeschreven cirkel van (noem hem vanaf nu Γ) is. Omdat I in ligt, en dus zeker in Γ, geldt voor elke rechte door I dat zijn snijpunten U en V met Γ voldoen aan IU IV = OI 2 R 2. ls we met het tweede snijpunt van I met Γ noteren, dan willen we bewijzen dat I I = 2Rr. Omdat I de bissectrice van is, is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van I en dus is I =. Zij de loodrechte projectie van I op [] en zij het punt op Γ zodat [ ] een diameter is. an zijn I en gelijkvormig, dus I I = I = I. Hierbij is = 2R en I = r. We zijn klaar! O I Herinner je je de belangrijke stelling over het snijpunt van de bissectrice met de middelloodlijn? Wel, het volgende resultaat is minstens even belangrijk. Stelling Stel dat Γ 1 en Γ 2 twee cirkels zijn die elkaar snijden in twee punten en. Stel dat een gemeenschappelijke raaklijn aan Γ 1 raakt in het punt en aan Γ 2 raakt in het punt Q. Zij het snijpunt van met Q. an is het midden van [ Q]. EWIJS. is een snijlijn vanuit met Γ 1 en Γ 2, dus µ,γ1 = = µ,γ2. Omdat in raakt aan Γ 1, geldt er dat µ,γ1 = 2 en analoog µ,γ2 = Q 2. Hieruit volgt het gestelde. 12

13 Q In het bewijs zagen we dat het snijpunt gelijke macht had ten opzichte van beide cirkels. e meetkundige plaats van al de punten met die eigenschap is het onderwerp van de volgende paragraaf. Samenvatting e macht van een punt ten opzichte van een cirkel Γ met straal r en middelpunt O is gelijk aan µ,γ = O 2 r 2. ls een willekeurige rechte door de cirkel snijdt in en, dan is µ,γ = ±, afhankelijk van de positie van (en niet van de rechte). In het bijzonder: als een koordenvierhoek is en en snijden elkaar in een punt, dan is =. Omgekeerd: als een vierhoek is en en snijden elkaar in een punt zodat =, dan is een koordenvierhoek. e verbindingslijn tussen twee gemeenschappelijke punten van twee cirkels gaat door het midden van de raakpunten die op een gemeenschappelijke raaklijn liggen. Oefeningen 1 Zij een punt op een cirkel Γ en zij een punt buiten Γ. Toon aan dat µ,γ = 2 als en slechts als de rechte raakt aan Γ. 2 (VWO 2008/R2) Het punt ligt buiten een cirkel die en bevat. e rechte raakt aan de cirkel. e rechte snijdt de cirkel een tweede keer in. ls = 2, = 3 en = 4, bepaal. 3 Zij een driehoek met hoogtepunt H en loodpunten, en. Toon aan dat H H = H H = H H. 4 eschouw twee cirkels 1 en 2 die mekaar snijden in twee verschillende punten en Q. Een rechte door snijdt 1 en 2 een tweede keer in en, respectievelijk. Zij het midden van [] en noem X en Y de snijpunten van Q met 1 en 2, respectievelijk. ewijs dat het midden is van [XY ]. 5 Zij een driehoek en zij het snijpunt van met de binnenbissectrice van. Toon aan dat 2 =. 13

14 6 (eel van US TSTST 2012) Zij het midden van de zijde [] in en zij N het snijpunt van met de bissectrice van. e omgeschreven cirkel van N snijdt [] en [] (inwendig) in de punten en Q resp. Toon aan dat = Q. 7 (USO 1998) eschouw twee concentrische cirkels γ en Γ met γ binnen Γ. Stel dat de koorde [] van Γ aan γ raakt in het punt. Zij het midden van []. Stel nu dat een rechte door de cirkel γ snijdt in punten E en F met de volgende eigenschap: E ligt tussen en F, en de middelloodlijnen van de lijnstukken [E] en [F ] snijden mekaar op de rechte. Noem dit laatste snijpunt. Toon aan dat het midden is van []. 8 (UK 2004/R2) Zij een gelijkzijdige driehoek en zij een punt op [] (inwendig). Een cirkel Γ raakt aan in het punt, snijdt in en N en snijdt in en Q. Toon aan dat + + N = + + Q. 9 (UK 2000/R2) Twee cirkels Γ 1 en Γ 2 snijden elkaar in en. Een gemeenschappelijke raaklijn aan deze cirkels raakt Γ 1 in en Γ 2 in N. Toon aan dat de driehoeken en N gelijke oppervlakte hebben. 10 (altic Way 2006) e punten en E liggen op de zijden [] en [] van een driehoek. e rechten E en snijden in F. Toon aan dat F E een koordenvierhoek is als gegeven is dat 2 = + E. 11 (anada 2013) Zij G het zwaartepunt van een rechthoekige driehoek (de hoek in is recht). Zij een punt op de halfrechte [G zodat Ĉ = Ĉ en zij Q een punt op [G zodat ĈQ = Â. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van QG en G elkaar snijden op. 12 Zijn en punten in het vlak. Zijn 1, 2,..., 6 punten aan dezelfde kant van zodat de volgende driehoeken gelijkvormig zijn: Toon aan dat 1, 2,..., 6 op een cirkel liggen. 13 (altic Way 2003) Zij een convexe koordenvierhoek en zij het midden van []. Zij het snijpunt van en. e cirkel die door gaat en die aan raakt in het punt, snijdt en opnieuw in R en Q, resp. Zij S een punt op [] zodat S = Q. e rechte door S, evenwijdig aan, snijdt in T. Toon aan dat T = R. 14 (UK 1994/R2) QRS is een convexe koordenvijfhoek zodat Q = QR = RS. Toon aan dat R ( + R ) = Q ( Q + S ). 14

15 15 Zij een convexe vierhoek. Zij het snijpunt van de diagonalen en zij K het snijpunt van en de bissectrice van Â. Veronderstel dat = +. ewijs dat K op de omgeschreven cirkel van ligt. 16 (Zuid frika 1999) Zij een parallellogram. e bissectrice van snijdt en in K en L resp. Toon aan dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel van KL op de omgeschreven cirkel van ligt. 17 (IOSL 2011) eschouw een convexe vierhoek die geen koordenvierhoek is. e omgeschreven cirkel van heeft straal r 1 en middelpunt O 1. efinieer O 2, O 3, O 4, r 2, r 3 en r 4 op analoge wijze. Toon aan dat 1 O r O r O r O r4 2 = (Zwitserland 2010) Zij een driehoek met =. e raakpunten van de ingeschreven cirkel (waarvan we het middelpunt met I noteren) aan de zijden [], [] en [] noemen we, E en F resp. Zij het midden van [EF ] en zij het tweede snijpunt van met de ingeschreven cirkel. Toon aan dat I een koordenvierhoek is. 19 (O 2012) Het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek noemen we H, en met,, noteren we de loodrechte projecties van,, respectievelijk op de overstaande zijden. erk op dat een koordenvierhoek is (omwille van de rechte hoeken); zij Γ zijn omgeschreven cirkel. Zij het snijpunt van [H] en Γ. an raken de omgeschreven cirkels van H en mekaar in. 20 (IO 2009/2) Zij O het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek. e punten en Q liggen op de zijden [] en [] respectievelijk. Zijn K, L en de middens van [ ], [Q] en [ Q] respectievelijk. Stel dat Q raakt aan de omgeschreven cirkel van KL. Toon aan dat O = OQ. 21 (IOSL 2006) Zij E een convexe vijfhoek zodat = Ĉ = E en  =  = ÂE. Zij het snijpunt van de diagonalen en E. Toon aan dat door het midden van [] gaat. 3 achtslijnen en machtspunten (Radical axis, radical center) eschouw twee cirkels Γ en Γ. e machtslijn van Γ en Γ is de verzameling van alle punten in het vlak waarvoor geldt dat µ,γ = µ,γ. In eerste instantie is het zelfs niet duidelijk waarom deze verzameling een rechte is, laat staan waar die rechte ligt in concrete gevallen. Laten we dus eerst de machtslijn beter begrijpen. 15

16 achtslijn e machtslijn van twee niet concentrische cirkels is echt wel een lijn, die overigens loodrecht staat op de verbindingslijn tussen de middelpunten van de cirkels. EWIJS. Hier bestaat uiteraard een synthetisch bewijs van (oefening), maar laten we eens analytisch werken. Noteer de middelpunten van de cirkels met (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ) en zijn r 1 en r 2 hun stralen. an is de machtslijn gelijk aan {(x, y) R 2 (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 r 2 1 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 r 2 2}. e definiërende vergelijking is equivalent met (x 1 x 2 )x + (y 1 y 2 )y = met een constante. Omdat (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (niet concentrisch), zijn niet beide coëfficiënten in deze vergelijking nul, dus de vergelijking is die van een rechte. Omdat de verbindingsrechte tussen de middelpunten een vergelijking van de vorm (x 1 x 2 )x + (y 2 y 1 )y = heeft, zijn deze rechten inderdaad orthogonaal. Het concentrische geval is niet interessant: als de middelpunten gelijk zijn, dan zijn ook de afstanden van een punt tot de middelpunten gelijk en dus behoort tot de machtslijn als en slechts als de stralen gelijk zijn. it klinkt wat vreemd, maar we hebben echt het volgende bewezen de cirkels concentrisch zijn, dan is de machtslijn ofwel de lege verzameling (als de cirkels niet gelijk zijn) ofwel het hele vlak (als de cirkels gelijk zijn). aar dit was slechts een voetnoot. e allerbelangrijkste eigenschap komt er nu aan: achtslijn van snijdende cirkels e machtslijn van twee snijdende cirkels is gelijk aan de verbindingsrechte tussen hun twee snijpunten. ls de cirkels raken, dan is de machtslijn hun gemeenschappelijke raaklijn in hun raakpunt. EWIJS. We weten dat de machtslijn een rechte is, en beide snijpunten behoren er duidelijk toe (want deze punten hebben macht 0 ten opzichte van beide cirkels), dus de rechte die hen verbindt is de machtslijn. ls de cirkels raken, behoort het raakpunt zeker tot de machtslijn en staat de machtslijn loodrecht op de verbindingsrechte tussen de middelpunten; dit impliceert dat de machtslijn de raaklijn is. Om aan te tonen hoe krachtig dit resultaat is, bewijzen we volgende stelling (probeer hem eens zonder macht van een punt aan te tonen!): Voorbeeld Zijn Γ en Γ twee cirkels die mekaar snijden in precies twee punten. Zij r de verbindingsrechte van die twee snijpunten en zij een willekeurig punt op r. Een rechte l door snijdt Γ in en en een rechte l door snijdt Γ in en. an is een koordenvierhoek. EWIJS. Inderdaad, r is de machtslijn van de twee cirkels, dus µ,γ = µ,γ. aar per constructie is µ,γ = ± en µ,γ = ±, waarbij de ± bij beide uitdrukkingen dezelfde is (het punt ligt binnen Γ als en slechts als het binnen Γ ligt omdat op r ligt). Er volgt dat =, en dus volgt het gestelde uit de omgekeerde machtsstelling. 16

17 We kunnen nu ook drie niet concentrische cirkels beschouwen. achtspunt Zijn Γ 1, Γ 2 en Γ 3 drie niet concentrische cirkels. Zij l 1 de machtslijn van Γ 2 en Γ 3, zij l 2 de machtslijn van Γ 3 en Γ 1 en zij l 3 de machtslijn van Γ 1 en Γ 2. an zijn l 1, l 2 en l 3 concurrent, behalve als de middelpunten van Γ 1, Γ 2 en Γ 3 collineair zijn. In dat geval zijn l 1, l 2 en l 3 evenwijdig. EWIJS. ls de middelpunten collineair zijn, dan zijn de l i evenwijdig want ze staan allemaal loodrecht op deze middelpuntslijn. Stel dus dat de middelpunten niet collineair zijn. an zijn de machtslijnen niet evenwijdig (waarom?), stel dus dat l 1 en l 2 elkaar snijden in een punt. Omdat op l 1 ligt, is µ,γ2 = µ,γ3. Omdat op l 2 ligt, is µ,γ3 = µ,γ1. Er volgt dat µ,γ2 = µ,γ1 en dus ligt op l 3. Een manier waarop dit machtspunt nuttig kan zijn, is de interpretatie van een conjectureel concurrentiepunt. et andere woorden, als je van drie rechten moet aantonen dat ze concurrent zijn, dan kan je proberen deze rechten te interpreteren als machtslijnen horende bij drie paren cirkels; zij zijn dan concurrent (indien niet evenwijdig). erk trouwens op dat we nergens gebruikt hebben dat de stralen van de cirkels niet nul zijn. e resultaten zijn dus ook geldig voor een cirkel en een punt. Het wordt zelfs nog gekker als alle cirkels punten worden: de machtslijn van twee puntcirkels is dan hun middelloodlijn (waarom?) en het machtspunt van drie niet collineaire punten is het middelpunt van hun omgeschreven cirkel! Grappig... Samenvatting e machtslijn van twee cirkels Γ en Γ is de verzameling punten met de eigenschap dat µ,γ = µ,γ. ls Γ en Γ niet concentrisch zijn, is de machtslijn een lijn. eze lijn staat loodrecht op de verbindingsrechte tussen de middelpunten van Γ en Γ. e machtslijn van twee snijdende cirkels is gelijk aan de verbindingsrechte tussen hun twee snijpunten. ls de cirkels raken, dan is de machtslijn hun gemeenschappelijke raaklijn in hun raakpunt. eschouw drie niet concentrische cirkels. Elk paar cirkels bepaalt een machtslijn; deze drie machtslijnen zijn concurrent. 17

18 Oefeningen 1 Zij een scherphoekige driehoek. e punten, E en en F liggen op [], [] en []. Toon aan dat het hoogtepunt van het machtspunt van de cirkels met diameter [], [E] en [F ] is. 2 (altic Way 2010) Zij S het snijpunt van de diagonalen van het vierkant. irkel Γ gaat door en, cirkel Γ gaat door en. e snijpunten van Γ en Γ noemen we en Q. Toon aan dat S op Q ligt. 3 Zij Γ een cirkel en zij een punt. Wat is de machtslijn van Γ en als op of buiten de cirkel ligt? 4 Zijn en Q punten buiten een cirkel Γ. e raaklijnen door (resp. Q) aan Γ raken aan deze cirkel in de punten en (resp. en ). Zij K het snijpunt van de middenparallel van (evenwijdig met ) en de middenparallel van (evenwijdig met ). Toon aan dat K = KQ. 5 (Rusland 1997) e cirkels 1 en 2 snijden elkaar in de punten en Q. Stel dat de hoekpunten en van een rechthoek op 1 liggen en de hoekpunten en op 2 liggen. Toon aan dat de diagonalen van de rechthoek elkaar snijden op Q. 6 (Finland 2008) Zij I het snijpunt van de binnenbissectrices van een driehoek. e rechten I, I en I snijden de omgeschreven cirkel van in de punten, E en F resp. Toon aan dat EF. 7 (USO 1997) Zij een driehoek. e gelijkbenige driehoeken, E en F (met top in, E en F resp.) worden uitwendig op de zijden geconstrueerd. Toon aan dat de loodlijn uit op EF, de loodlijn uit op F en de loodlijn uit of E concurrent zijn. 8 (USO 1990) Zij een scherphoekige driehoek. e cirkel met diameter [] snijdt de hoogtelijn uit in en N. e cirkel met diameter [] snijdt de hoogtelijn uit in en Q. Toon aan dat N Q een koordenvierhoek is. 9 (Leningrad 1988) Zijn en N punten op de zijden [] en [] van. e cirkels met diameter [N] en [] snijden in en Q. Toon aan dat het hoogtepunt van op Q ligt. 10 (altic Way 1997) e punten,,,, E liggen in die volgorde op een rechte zodat = = = E. Zij een punt dat niet op de rechte ligt. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van noemen we en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van E noemen we N. Toon aan dat N en loodrecht op elkaar staan. 11 Zijn Γ 1, Γ 2, Γ 3 cirkels met middelpunten O 1, O 2, O 3 resp. Stel dat O 1 op de machtslijn van Γ 2 en Γ 3 ligt, en dat O 2 op de machtslijn van Γ 3 en Γ 1 ligt. Toon aan dat O 3 op de machtslijn van Γ 1 en Γ 2 ligt. 12 Zij een driehoek en zij een punt binnen deze driehoek. Zijn O a, O b en O c de middelpunten van de omgeschreven cirkels van, en resp. Veronderstel dat O a op ligt en dat O b op ligt. Toon aan dat O c op ligt. 18

19 13 (O 1995) Zij QRS een koordenvierhoek waarin Q en RS niet evenwijdig zijn. Zij V de verzameling van alle punten T met de eigenschap dat de omgeschreven cirkels van QT en RST elkaar raken. Toon aan dat V een deel van een cirkel is. 14 (USJO 2012) eschouw een driehoek. Zijn en Q punten op [] en [] respectievelijk waarvoor geldt dat = Q. Zijn S en R verschillende punten op [] (met S tussen en R). Stel dat S = RS en ĈQR = QSR. Toon aan dat QRS een koordenvierhoek is. 15 (USO 2009) eschouw twee cirkels ω 1 en ω 2 (met middelpunten O 1 en O 2 resp.) die mekaar snijden in X en Y. Zij l 1 een rechte door O 1 en zij l 2 een rechte door O 2. e snijpunten van l 1 met ω 2 noemen we en Q, en de snijpunten van l 2 met ω 1 noemen we R en S. ls QRS een koordenvierhoek is, dan ligt het middelpunt van zijn omgeschreven cirkel op XY. 16 (altic Way 2005) e rechten e en f snijden elkaar loodrecht in het punt O. e punten en liggen op e, de punten en liggen op f zodat,,,, O verschillend zijn. e rechten b en d zijn de loodlijnen op door, resp.. e rechten a en c zijn de loodlijnen op door, resp.. Het snijpunt van a en b noemen we X en het snijpunt van c en d noemen we Y. Toon aan dat O op XY ligt. 17 (IO 2000/1) Twee cirkels Γ 1 en Γ 2 snijden in elkaar in en N. e gemeenschappelijke raaklijn aan Γ 1 en Γ 2, aan de kant van, raakt de cirkels in de punten en respectievelijk. e rechte door, evenwijdig met, snijdt Γ 1 en Γ 2 een tweede keer in en respectievelijk. Het snijpunt van en noemen we E. Ten slotte is het snijpunt van N en en is Q het snijpunt van N en. Toon aan dat E = EQ. 18 (IO 2008/1) Zij H het hoogtepunt (het snijpunt van de hoogtelijnen) van een scherphoekige driehoek. e cirkel Γ met het midden van [] als middelpunt, en door H, snijdt [] in 1 en 2. efinieer op analoge wijze 1, 2, 1 en 2. an liggen 1, 2, 1, 2, 1, 2 op één cirkel. 19 (IO 1995/1) Zijn,, en vier verschillende punten op een rechte l (in die volgorde). Zij Γ de cirkel met diameter [] en zij Γ de cirkel met diameter []. e snijpunten van Γ en Γ noemen we X en Y. eschouw nu een punt op de rechte XY (maar niet op l). e rechte snijdt Γ een tweede keer in en de rechte snijdt Γ een tweede keer in N. Toon aan dat de rechten, N en XY concurrent zijn. 20 (Kedlaya) Zij EF een convexe koordenzeshoek zodat = E = F E = ÂF = Ĉ = ÊF. Toon aan dat = = EF. 21 (UK 2012/R1) Zij een driehoek. Zij Γ de cirkel door die raakt aan in en zij Γ de cirkel door die raakt aan in. Zij het tweede snijpunt van Γ en Γ en zij E het tweede snijpunt van met de omgeschreven cirkel van. Toon aan dat het midden is van [E]. 19

20 22 (Turkije 2006) Zij een convexe vierhoek en beschouw punten en Q op [] met = Q. e omgeschreven cirkels van en van Q snijden in en K. e omgeschreven cirkels van en van Q snijden in en L. an is KL een koordenvierhoek. 23 (IO 2012/5) Zij een rechthoekige driehoek met Ĉ = 90. e hoogtelijn uit snijdt in het punt. Zij een punt op het lijnstuk []. Het punt K ligt op [X] zodat K = en het punt L ligt op [X] zodat L =. Zij het snijpunt van L en K. Toon dan aan dat K = L. 24 (Italië 2010) Zij een convexe vierhoek met Ĉ = Ĉ en = Â. Zij het midden van []. an is =. 25 (India TST 1995) Zij een driehoek en zijn en E punten op [] en [] respectievelijk zodat E evenwijdig is met. Zij een punt binnen E. Het snijpunt van E met noemen we F, en het snijpunt van E met noemen we G. e omgeschreven cirkels van G en F E snijden mekaar in en Q. Toon aan dat, en Q collineair zijn. 26 (alkan O Shortlist 2011) Zij een convexe vierhoek met = =. e diagonalen en snijden elkaar in O. e omgeschreven cirkels van en O snijden elkaar in en. Zij Q het snijpunt van en. an is ĈOQ = OQ. 27 (Sharygin 2011) eschouw een driehoek en de omgeschreven cirkel Γ van de middens van de zijden van. Zijn X en Y de raakpunten van de raaklijnen uit aan Γ. Toon aan dat XY en mekaar snijden op de raaklijn in aan de omgeschreven cirkel van. 28 (Roemenië Stars of athematics 2011) Zij een scherphoekige driehoek met met omgeschreven cirkel Γ. Zij het midden van [], zij N het tweede snijpunt van met Γ en zij H het hoogtepunt van. Zij verder het punt op Γ met H = 90 (het tweede snijpunt van Γ met de cirkel met diameter [H]) en zij K het punt zodat NK een parallellogram is. Toon aan dat, HK en concurrent zijn. 29 (IOSL 2011) Zij een driehoek met = en zij het midden van []. e bissectrice van snijdt de omgeschreven cirkel van in een punt E dat binnen ligt. e rechte snijdt de omgeschreven cirkel van E een tweede keer in F. Zij I het snijpunt van F en E, en zij K het snijpunt van I en. Toon aan dat I het middelpunt is van de ingeschreven cirkel van K. 30 (Roemenië TST 60) Zijn en verschillende punten op een halfcirkel met diameter []. Zijn E, F en G de middens van [], [] en [] resp. e loodlijn uit E op F snijdt de raaklijn in aan de halfcirkel in e loodlijn uit G op F snijdt de raaklijn in aan de halfcirkel in N. Toon aan dat N en evenwijdig zijn. 20

21 4 Voetpuntsdriehoeken (edal triangle) Een klassiek resultaat om vertrouwd te raken met het concept van een voetpuntsdriehoek: EWIJS. eschouw een driehoek. Zijn, E, F de loodrechte projecties van de hoekpunten,, resp. op de overstaande zijden. an zijn de hoogtelijnen van de bissectrices in EF. Inderdaad, zij H het snijpunt van de rechten, E, F (dit zijn de hoogtelijnen van en zijn dus concurrent). Omwille van symmetrie, volstaat het te bewijzen dat ÊH = F H. Om dit aan te tonen, merken we op dat en H op de cirkel met diameter [H] liggen (omdat ĈH = ĈEH = 90 ) en dus is HE een convexe koordenvierhoek. Hieruit volgt dat ÊH = ÊH = ÂF = 180 ĈF ÂF = 90 Ĉ. naloog vinden we dat F H = 90 Ĉ, en dus zijn we klaar. Uit het bewijs bleek het cruciaal te zijn dat de hoogtelijnen elkaar snijden in een punt H. e punten, E en F waren dan de loodrechte projecties (ook wel de voetpunten genoemd) van H op de zijden. In het algemeen definiëren we voor een punt in het vlak zijn voetpuntsdriehoek ten opzichte van als de driehoek gevormd door zijn loodrechte projecties op de zijden van. eze voetpuntsdriehoek kan soms handig zijn omdat je eigenschappen van het punt in kan vertalen naar eigenschappen van zijn voetpuntsdriehoek, en dat, als je wat geluk hebt, deze voetpuntsdriehoek plots een heel specifieke vorm kan aannemen. Het zinnetje de eigenschappen van vertalen naar de eigenschappen van zijn voetpuntsdriehoek is wat cryptisch momenteel, maar de volgende stelling zou alles duidelijk moeten maken. edal Triangle Trick (TT) Zij een punt in het vlak van een driehoek. Zijn, E en F de voetpunten van op, en respectievelijk. (a) ls binnen de driehoek ligt, dan is ÊF =, EF = Â Â en ÊF = Â Â (b) EF = /2r, F = /2r en E = /2r, waarbij r de straal is van de omgeschreven cirkel van. EWIJS. Omdat loodrechte projecties rechte hoeken impliceren, verwacht de hond van avlov in ons wel wat koordenvierhoeken. En inderdaad, E F, F en E zijn koordenvierhoeken. Hieruit volgt dat ÊF = Ê + F = Â + = Â + Â ( ) = =. Vanaf nu mag weer buiten de driehoek liggen (ga wel na dat we nergens de positie van gebruiken). Om het tweede deel van de stelling te bewijzen, merken we op dat [ ] een diameter is van de omgeschreven cirkel van EF (omwille van de rechte hoeken in E en F ), dus de uitgebreide sinusregel vertelt ons dat EF = sin ÊF. e sinusregel in toepassen, impliceert nu dat sin ÊF = sin Ĉ = /2r. Klaar! 21

22 E F Het nut van zo n voetpuntsdriehoek is hierbij nog niet bewezen, maar ik hoop dat je de kracht er van inziet als je in de oefeningen plots zonder al te veel moeite drie IO vragen kan oplossen. Oefeningen 1 Zij een punt binnen een driehoek. Zijn, E en F de loodrechte projecties van op, en resp. Toon aan dat de volgende som onafhankelijk is van de positie van : EF F E E F (eels IO 1993/2) Zij een punt binnen waarvoor geldt dat = en  = 90 + Â. epaal de waarde van de verhouding. 3 (IO 1996/2) Zij een punt binnen zodat   =  Â. Zijn en E de middelpunten van de ingeschreven cirkels van en respectievelijk. Toon aan dat de rechten, en E concurrent zijn. 4 (IO 2003/4) Zij een koordenvierhoek en zijn, Q en R de loodrechte projecties van op, en respectievelijk. Toon aan dat Q = QR als en slechts als de bissectrices van  en  elkaar op snijden. (ls alles goed gaat, heb je niet nodig dat een koordenvierhoek is!) 22

23 5 e rechte van Simson In de vorige sectie beschouwden we vooral voetpuntsdriehoeken van punten binnen. ls je ook andere punten toelaat, kunnen er zich gekke fenomenen voordoen. Soms zelfs zo gek dat ze nuttig worden. Rechte van Simson e voetpunten van een punt op de zijden van een driehoek zijn collineair als en slechts als op de omgeschreven cirkel van ligt. EWIJS. Stel eerst dat op de omgeschreven cirkel van ligt en zijn X, Y en Z de voetpunten van op, en respectievelijk. oor de hoekpunten te hernoemen, mogen we veronderstellen dat op de boog ligt waar niet op ligt en dat tussen en het antipodale punt van ligt. (et andere woorden, X en Y liggen op het inwendige van de zijden, Z ligt buiten [], aan de kant van.) e rechte hoeken verraden dat Y Z en Y X convexe koordenvierhoeken zijn, en dus is XY + Y Z = 180 X + Z = 360. Omdat een convexe koordenvierhoek is, volgt er dat XY + Y Z = 180 en dit bewijst dat X, Y en Z (in die volgorde) op een rechte liggen. e stappen zijn (mits in de goede configuratie) omkeerbaar, dus is de stelling bewezen. Z Y X oxeter Greitzer vermelden dat Simson ( , dezelfde als die van de goniometrische formules) waarschijnlijk deze rechte niet zelf heeft ontdekt. e echte ontdekker zou Wallace zijn, in 1797, en daarom wordt deze rechte soms ook de rechte van Simson Wallace genoemd. Het volgende klassieke resultaat over de Simsonlijn kan handig zijn. 23

24 Stelling Zij een punt op de omgeschreven cirkel van en zij H het hoogtepunt van. an ligt het midden van [H ] op de rechte van Simson van. ROOF. Zijn T a, T b en T c de voetpunten van (dan is T a T b de rechte van Simson). Een homothetie met centrum en factor 2 vertelt ons dat het voldoende is te bewijzen dat de volgende vier punten op een rechte liggen: H, de spiegeling a van om [], b en c. We weten al dat a, b en c collineair zijn (het beeld van de rechte van Simson), dus het volstaat nog te bewijzen dat H op a b ligt. Omdat a b evenwijdig is met T a T b, moeten we aantonen dat H b evenwijdig is met T a T b, of nog, dat Ĥ b = T a T b (in de configuratie van onze figuur). Zij K de spiegeling van H om. Het is evident dat, H, K collineair zijn (H en HK staan loodrecht op ) en een eerdere oefening vertelt ons dat K op de omgeschreven cirkel van ligt. In de koordenvierhoek T a T b (rechte hoeken!) en op de omgeschreven cirkel van vinden we nu dat T a T b = T a = = K = ĤK. e spiegeling rond vertelt ons dat ĤK = KH b. erk nu op dat HK en b evenwijdig zijn (want beiden loodrecht op ), dus KH b = Ĥ b. Gooi nu alles samen en smijt er een zwart vierkantje tegen aan. K b H a T b c T a T c ij wijze van voorbeeld lossen we een IO vraag op: IO 2007/2 Zij een parallellogram en zij E een punt zodat E een convexe koordenvierhoek is. Zij F een punt op (het inwendige van) [] en zij G het snijpunt van F met. Stel dat EF = EG = E. Toon aan dat F de bissectrice van is. 24

25 EWIJS. Zijn K, L, de loodrechte projecties van E op, en resp. Omdat E op de omgeschreven cirkel van (vanaf nu Γ genoemd) ligt, zegt Simson Wallace dat K, L, collineair zijn. e eerste stap is opmerken dat het midden is van []. Inderdaad, in de gelijkbenige driehoeken EF en EG vinden we dat K het midden is van [G] en dat L het midden is van [F ]. us KL is evenwijdig met F G G en bijgevolg gaat KL door het midden van []. aar dit midden ligt op, dus het midden van [] is het snijpunt van KL en en dit is precies. In het parallellogram volgt dus dat het midden is van []. ijgevolg is E de middelloodlijn van []; zij I het tweede snijpunt van E met Γ, dan is I de bissectrice van (belangrijk feit) en dan is EI een diameter van Γ (want de middelloodlijn van een koorde), i.e., ÊI = 90. e rest is angle chasing: We gaan bewijzen dat Ĝ = I; dit is voldoende want I = 1 2 = 1 2 (belangrijk feit en parallellogram). Omdat en F evenwijdig zijn, is Ĝ = ĜF. e gestrekte hoek K valt uiteen in drie delen: 180 = I+90 +ÊK. us I = 90 ÊK = ĈEK (in EK). We moeten dus nog bewijzen dat ĜF L = ĈEK. In EF L geldt F EL + ÊF G + ĜF L = 90 en in EF G geldt ÊF G + F EL + ĈEK = = 90 (gelijkbenigheid). Trek de vergelijkingen nu van elkaar af! E G K F L I Oefeningen 1 (anada 2001) Zij een driehoek met >. Zij het snijpunt van de middelloodlijn van [] en de bissectrice van Â. e loodrechte projecties van op en noemen we X en Y respectievelijk. Zij Z het snijpunt van XY en. epaal Z / Z. 2 eschouw een driehoek. e bissectrice l van  snijdt de omgeschreven cirkel van in het punt. Toon aan dat de Simsonlijn van loodrecht staat op l. 3 Zij een driehoek en zij l een rechte. Stel dat de spiegelingen van l om de zijden van de driehoek concurrent zijn. Toon aan dat het hoogtepunt van op l ligt. 25

26 4 eschouw een driehoek. Zij het tweede snijpunt van de hoogtelijn uit met de omgeschreven cirkel van. Toon aan dat de Simson lijn van evenwijdig is met de raaklijn in aan de omgeschreven cirkel van. 5 Zij een gelijkbenige driehoek met tophoek in, en zij het midden van []. Zij Γ de cirkel met middelpunt en straal kleiner dan. Raaklijnen vanuit en raken aan Γ in en Q respectievelijk zodat, en Q aan dezelfde kant van liggen. Toon aan dat, Q en collineair zijn. 6 (Frankrijk TST 2000, NL TST 2007) Zij QRS een convexe koordenvierhoek zodat SR = 90. Zijn H en K de voetpunten van de loodlijnen uit Q op R en S resp. Zij T het snijpunt van HK en QS. Toon aan dat T het midden van [QS] is. 7 Zijn, en drie punten op een rechte en een punt er niet op. Toon aan dat op de omgeschreven cirkel van de middelpunten van de omgeschreven cirkels van, en. 8 (Turkije 2010) Zij een convexe koordenvierhoek zodat [] een diameter is van zijn omgeschreven cirkel. Een cirkel Γ door en snijdt een tweede keer in E en snijdt een tweede keer in F. e raaklijn in E aan Γ snijdt in. Verder is Q een punt op de omgeschreven cirkel van E zodat Q E en Q = E. Ten slotte definiëren we nog R als het snijpunt van en EF, en is S het midden van [EQ]. Toon aan dat R evenwijdig is met S. 9 (USO 2010) Zij O het midden van een lijnstuk []. e punten XY Z liggen in die volgorde op de halfcirkel met diameter []. e loodrechte projecties van Y op X, X, Z en Z noemen we, Q, R en S respectievelijk. Toon aan dat de scherpe hoek gevormd door de rechten Q en RS gelijk is aan 1 XOZ Zij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een gelijkbenige driehoek met top in. Zij het snijpunt van I en en zij O het middelpunt van de omgeschreven cirkel van. Zijn ten slotte en N de middens van [] en []. Toon aan dat de rechten I, O en N concurrent zijn. 11 (O 2000) Zij het midden van de zijde [] van de driehoek. e bissectrice van  snijdt in het punt N. e loodlijn in N op N snijdt en in en Q respectievelijk. e loodlijn in op snijdt N in O. Toon aan dat en OQ loodrecht op elkaar staan. 6 tolemaeus Stelling van tolemaeus Voor een convexe vierhoek geldt +. Voor koordenvierhoeken geldt er gelijkheid, en voor andere vierhoeken is de ongelijkheid strikt. 26

27 EWIJS. Zijn X, Y en Z de voetpunten van op, en respectievelijk, en zij R de straal van de omgeschreven cirkel van. We weten dat EF = /2R, F = /2R en E = /2R. e ongelijkheid van tolemaeus is dus gewoon de driehoeksongelijkheid E + EF F. Hieruit blijkt ook meteen dat de ongelijkheid een gelijkheid is als en slechts als, E en F collineair zijn. Omwille van de stelling van Simson is dit inderdaad equivalent met de cycliciteit van. Er zijn vele toepassingen van deze stelling, maar we beperken ons hier tot een aantal oefeningen die zonder tolemaeus erg moeilijk zijn, maar triviaal worden met deze leuke stelling. Oefeningen 1 Zij een gelijkzijdige driehoek en zij een punt op de kleine boog van de omgeschreven cirkel van. an is + =. 2 Stel dat het punt op de kleine boog van de omgeschreven cirkel van een vierkant ligt. Toon aan dat ( + ) = ( + ). 3 Stel dat QRS een convexe koordenvierhoek is zodat Q = QR = RS. Toon aan dat R = QS en bepaal S in functie van Q en R. 4 (UK 1994/R2) QRS is een convexe koordenvijfhoek zodat Toon aan dat Q = QR = RS. R ( + R ) = Q ( Q + S ). 5 (VWO 1995) e punten,, en liggen in die volgorde op een cirkel met straal R. Stel dat = = 5 en dat : : zich verhouden als 1 : 5 : 7. epaal R. 6 (oxeter) Zij een parallellogram en stel dat [], Q [] en R [] punten zijn zodat QR een koordenvierhoek is. Toon aan dat + R = Q. 7 (IO 2001/6) Zijn a > b > c > d natuurlijke getallen zodat ac + bd = (b + d + a c)(b + d a + c). Toon aan dat ab + cd geen priemgetal is. 8 (IOSL 1998) Zijn en N punten binnen een driehoek zodat = N en = N. Toon aan dat N + N + N = 1. 27