UITWERKINGEN VOOR HET VWO

Transcriptie

1 UITWERKINGEN VOOR HET VWO EEL HOOFSTUK 5 GRENZEN Kern FSTNEN a) b) Nee. e zijden a en b zijn samen even lang. b a c ) a) Teken diagonaal In geldt ( ) In geldt 0 ( ) us is b) ijv. ) Te bewijzen: ewijs: : : 4a) L O lijn s L L ; L L Kijk vervolgens naar OL OL L O L O L O b) Voor ieder punt rechts van is de weg dus langer. at geldt ook voor ieder punt links van us is de weg L O de kortste weg. L werd gemaakt onder LinuX met LTEX en LYX Typ&andere fouten&blunders graag Melden!

2 5) kustlijn k 6) In V geldt V V V plaatje bij Som 6) us V is de kortste afstand. Een ander bewijs is om punt te V spiegelen in l en vervolgens de driehoeksongelijkheid te gebruiken. normaal 7a) 5 E 4 4 E b) 5 (pythagoras) 90 o 90 o 90 o 90 o Hieruit volgt : E E 5 4 E 5 E E 5 4 dus d 4 8) plaatje bij Som 8) Gegeven: Te bewijzen: ewijs: (geval ZZR) us is

3 9a) d G 5 ; d G ; d G! ; d G b) y as G O x as d G l. 0b) 7 ; (pythagoras) c) d c O O 5 a) y as M ( ) b) #" $ x x 6x 0 c) Stel f x% x 6x 0 is minimaal als f minimaal is. f & x' x 6 f & x' 0 x 6 0 x us is minimaal voor M d) M l O x as a) y as ( f & x' 4x x f & x' 0 4x x x 4x 0 x 0 * x x 0 * x + -, * x #, tekenoverzicht f & x x, 0, O x as 0 0 b) x $ y x $ x x x 4 x x 4 x c) x 4 x is minimaal als f x' x 4 x minimaal is. Minimale afstand voor x., * x, f /, ' f, 4 d G, d) Het minimum wordt bereikt voor, ) of,

4 KERN ISO-FSTNSLIJNEN a) Een cirkel met een straal van mijl. b) Een cirkel met een straal van 680 meter + mijl. 4a) 5 * 0 x as * 5 b) O,5 O b) O O e vergelijking van de iso- lijn is : y 5 0 x 5ab) y as O x as c) e iso-5-lijn wordt een punt. (O) 6a) e iso-p-lijn van een punt, is een cirkel met als middelpunt punt. e lengte van deze iso-p-lijn is dan π p (omtrek van de cirkel met straal p. b) e lengte van de iso-p-lijn is : π p 6 p c) e cirkel: π p ; het gebied bij b) π p 6p 7 Zie de f iguur in het boek 4

5 8a) 9a,b) 00 meter b) Een doorgang is dan niet meer mogelijk. 0a) 60 o 0 o 50 o 45 o 5 o b) is een inham. c) d) 50 o unt 0,5 o 0 o ij : 50 o ; bij : 5 o ; bij : 0 o. Voor blijft over : 60 o 90 o 90 o α 80 o α lijn n α lijn m R 5

6 a) b) Figuur : bij beide rechte hoeken :90 o, bij de hoek van 00 o :80 o, bij de overige twee hoeken : 50 o Figuur : rechte hoeken : 90 o, bij de hoek van 55 o : 5 o Figuur : - c) figuur * * = 55 o = sin 55 o=,44 Figuur : er is geen inham Figuur :,44 (zie plaatje) Figuur :,8 ;,8 ( sin45 o 0 8);, ;, ;, ( sin60 o 0 ) a) b) Stel de drie hoeken van de driehoek α β en γ. an is de middelpuntshoek horend bij α, 80 o α. ij β, 80 o β En bij γ, 80 o γ e drie middelpuntshoeken samen zijn dan : 80 o α 80 o β 80 o γ 540 o α β γ% 540 o 80 o 60 o. e middelpuntshoeken van van de bijbehorende cirkelbogen samen zijn dus 60 o e lengte van de iso--lijn is dan : π π 5 c) e lengte van de iso-00-lijn is : π π 5 d) e lengte van de iso-p-lijn is : π p π p 5 6

7 7 KERN ONFLITLIJNEN 4a) b) Op de (gestippelde) scheidingslijn.. I. II 5a,b) Stel ligt op de middelloodlijn van de middelpunten van de twee cirkels. an d M d M 5 6 e straal van beide cirkels zijn even groot. d M d M d G % d M 4 r d G % d M 4 r M c M c d G d G 6a) b) In de uitvergroting van een hoekpunt zie je twee delen van een kromme lijn. Voor de punten van deze kromme geldt dat de afstand tot het hoekpunt gelijk is aan de afstand tot de zijkant. ls ligt op de middelloodlijn van geldt. us is middelloodlijn ook conflictlijn. 7 e middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver van als van liggen. e randen van de gebieden G en G zijn de punten en. e conflictlijn is dus de middelloodlijn. 8a) S b) S l S S S m S S S S S n c) een stomphoekige driehoek d) een gelijkzijdige driehoek lijn m 7

8 9a) M c 0) dan is ook ( 90 o ) (geval HZH9 b) an geldt M M (straal van de cirkel) c) ij een koordenvierhoek gaan ook de middelloodlijnen van de vier zijden door één punt ( het middelpunt van de omgeschreven cirkel). us gaan ook de conflictlijnen door één punt. d) ls de conflictlijnen door één M gaan, geldt M M M M us is M het middelpunt van de omgeschreven cirkel en is een koordenvierhoek. :; :; < = < = lijn m lijn n ) + + * + * = 80 o dus: + * = 90o lijn m * * lijn n S a,b) zie hiernaast c) Ook voor deze punten geldt dat de afstand tot l m en n gelijk is. us is er ook een cirkel die raakt aan deze lijnen. d) Zie tekening. lijn n lijn m 8

9 ) S a) ij een ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor. e conflictlijnen vallen samen met de diagonalen. b) Voor punt S geldt dat de afstand tot de zijden even groot is. us is S het middelpunt van de ingeschreven cirkel. 4a,b) f) V S R lijn m c) ls d l d d) Zie figuur hierboven. e) Omdat S op de middelloodlijn van V ligt, geldt S SV d S l 5a,b) 6a) ntonius rivier weg b a sloot rutus rivier rutus Titus ntonius Flavius Flavius c) e aansluiting met de weg en met de sloot is bij vraag b) beter verdeeld. rivier rutus Titus Titus ntonius Flavius a) Titus kan niet meer bij de rivier komen. c) Geen 9

10 KERN 4 VORONOI-IGRMMEN 7a) 7b) 8a) b) middelloodloodlijnen Som 9 en 40 (zie volgende bldz.) 40 vervolg (staat geen nummer bij de som) 40b) M S M is het middelpunt van de Omschreven irkel Voor S geldt S S S S an liggen en op een cirkel. 0

11 9a) 40a) 9b) 40b) 9c) 40c) 4a,b,c) lijn n m

12 4a) 4a) k l q E F p n 4b) m b) is gespiegeld in l dus ) l. is gespiegeld in k dus ) k. k dus liggen en op één lijn. E Hetzelfde geldt voor de punten E en F. c) F ) q FE is een koordenvierhoek met 90 o an is E ook 90 o. 4c) E is koordenvierhoek met c ) p. an moet q. 90 o 44b) ijvoorbeeld door de bevolkingsdichtheid. E