Bijkomende Oefeningen: Les 1

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Bijkomende Oefeningen: Les 1"

Maarten Bosmans
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende Oefeningen: Les ijkomende oefeningen: Les

2 2 ijkomende Oefeningen: Les 1 1. epaal de vergelijkingen van de rechten door de volgende punten en bespreek hun ligging (snijpunten met de assen, richtingcoëfficiënt,...) (1,1) en (5,7) (1,1) en (4,4) (1,1) en (1,2) (1,1) en (2,1) 2. Ligt het punt (2,-3) op de rechte door de punten (-2,1) en (0,2)? Ligt het punt (-2,10) op de rechte door de punten (2,2) en (4,-2)? Ligt het punt (3,-2) op de rechte door de punten (2,-1) en (-3,2)? 3. epaal de vergelijkingen van de rechten die door het punt (1,1) gaan en evenwijdig zijn aan respektievelijk de rechte 4x+3y-1=0 de rechte y=3x+6 de rechte x=2y+2 x = 3+ 2k de rechte y = 3-2k 4. ieronder staan enkele parametervergelijkingen van rechten gegeven. epaal telkens 2 punten, een richting, de cartesiaanse vergelijking, de richtingscoëfficiënt en snijpunt met y-as x = 1 2k y = 4+ 2k x = 3k 1 y = 2k + 2 x = 2 y = 1 2k x = 6k 1 y = 0 5. Zoek telkens het snijpunt van de volgende paar rechten y = 3x + 6 x = 2y + 2 x + y = 4 2x 3y = 8 x + 2y = 23 13x 11y = 3 x + 3y = 5 5x + 6y = 2 6. Zoek het snijpunt van de diagonalen in de vierhoek gevormd door de hoekpunten (1,2), (2,5), (3,-1) en (4,4) 7. Zoek de doorsnede van de rechte x = 3 2k y = 4+ k en de rechte 6x+4y-2=0.

3 3 ijkomende Oefeningen: Les 2 1. egeven drie punten (2,3), (5,7) en (10,-5) die de hoekpunten zijn van een driehoek. epaal de omtrek van deze driehoek. 2. egeven de volgende drie rechten a? x+3y=11, b? y=6x-9, c? 7x+2y-39=0. eze bepalen een driehoek. epaal de omtrek. 3. Volgende voorwaarden bepalen telkens op eenduidige manier een cirkel. epaal telkens middelpunt, straal, de vergelijking en de snijpunten met de assen als die bestaan. Maak ook elke keer een schets van de situatie. a. e cirkel met middelpunt (2,5) en straal 13. b. e cirkel met middelpunt (5,4) en die het punt (-10,12) bevat c. e cirkel waarvoor de punten (-3,6) en (6,-6) een diameter vormen. d. e cirkel die gaat door de drie punten (-4,17), (8,-1) en (13,24) 4. egeven de cirkel met vergelijking (x-7) 2 +(y+4) 2 =169. epaal de doorsnede van deze cirkel met de rechte y=mx+7. Voor welke waarden van m zijn er snijpunten? Is hier ook een raaklijn bij?

4 4 ijkomende Oefeningen: Les 3 1. espreek de driehoek bepaald door de hoekpunten (2,3), (5,2) en (3,9). Zoek in het bijzonder naar de lengtes van de zijden de omtrek, de grootte van de hoeken en de oppervlakte. Voor dit laatste maak je gebruik van de normaalvergelijking. 2. epaal de rechte b door het punt (6,4) die loodrecht staat op de rechte met de vergelijking: a 4x+7y+6=0. Wat is het snijpunt S van beide rechten? Vergelijk de afstand d(s,) tussen het snijpunt S en het gegeven punt en de afstand d(,a) van het gegeven punt tot de rechte a via de normaalvergelijking. 3. epaal de raaklijn in het punt (20,14) aan de cirkel die door dit punt gaat en als middelpunt (8,9) heeft. (aanwijzing: een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal) 4. egeven de punten (-2,0), (-1,1) en (-5,-2). oe ver ligt van de middelloodlijn van het koppel? 5. epaal de cirkel die (14,9) als middelpunt heeft en die raakt aan rechte 2x-3y+6=0. x + y = 5 6. espreek de driehoek die wordt ingesloten door de 3 rechten x + 7y = 2. Zoek in het bijzonder naar 3y 2x = 1 de lengtes van de zijden, de grootte van de hoeken en de oppervlakte. (oplossing: omtrek 12,87 en oppervlakte: 6.426) 7. egeven zijn 3 punten (1,10), (17,-20) en (-11,1). epaal de hoek α die gevormd wordt door de vectoren en. epaal ook de twee bissectrices van deze hoek. Toon aan dat deze bissectrices loodrecht op elkaar staan en dat de hoek tussen een van de bissectrices en vector inderdaad de helft is van α

5 5 ijkomende Oefeningen: Les 4 1. Toon aan dat de bissectrices van a? 15x-8y-5=0 en b? 21y+20x-3=0 overeenkomen met d1? 775x+125y-196=0 of d2? -95x+589y+94=0. emerk dat deze inderdaad loodrecht op elkaar staan. Maak een schets en bereken de hoeken. 2. Iemand staat op de oever van een stroom en ziet een boom op de andere oever onder een hoek van 50. ij verwijdert zich 50m van de stroom en ziet nu dezelfde boom onder een hoek van 15. oe hoog is de boom en hoe breed is de stroom? T 3. In de nevenstaande figuur merkt u een methode om de hoogte d(s,t), te bepalen van een piramide met vierkant grondvlak. e volgende afstanden werden afgepast: S d(,o)=1,75m, d(,)=0,375m, d(,)=2m, d(,m)=93m, M d(k,m)=114m K O oe hoog is deze piramide? ank u, meneer Thales. 4. ereken in volgende figuur de afstanden d(f,g), d(e,g) en d(d,e), waarbij f in het midden ligt van b en c. Leg telkens uit hoe je daaraan komt. a 32 d 15 b f g e 4 c ereken in bovenstaande driehoek de afstand KL zodat KLM een ruit wordt. K M L x 1? x 2? ereken de oppervlakte!!! 7. egeven de driehoek (-4,17), (8,-1) en (13,24). epaal hiervoor het middelpunt van de omschreven cirkel, alsook zwaartepunt en hoogtepunt. ewijs dat deze op één lijn liggen (e rechte van uler). Voor het middelpunt van de ingeschreven cirkel is dit echter niet het geval.

6 6 ijkomende Oefeningen: Les 5 1. egeven zijn drie punten (-6,7), (9,32) en (17,30). epaal voor deze driehoek de rechte van uler en toon aan dat op deze rechte zowel het hoogtepunt, het zwaartepunt en het middelpunt van de omschreven cirkel liggen. 2. egeven zijn drie punten (-17,27), (4,-22) en (24,28). epaal voor deze driehoek de rechte van uler en toon aan dat op deze rechte zowel het hoogtepunt, het zwaartepunt en het middelpunt van de omschreven cirkel liggen. 3. egeven (2,1), (5,-1) en hoeken α=50 en β=30. Zoek de coördinaten van het punt P(P x,p y ) via de zogenaamde voorwaartse insnijding. Zie cursus p 22. (ntwoord: (3.757,1.514)) 4. egeven de coördinaten van drie punten (1,4) (3,6) en (4,5) alsook de hoeken a(50 ) en b=20.epaal de coördinaten van het punt P(P x,p y ) via de zogenaamde achterwaartse insnijding. Zie cursus p 22. (ntwoord: (3.18,2.35)

7 7 ijkomende Oefeningen: Les 6 egeven zijn drie punten,, x y z Teken deze drie punten in een driedimensionale grafiek. 2. epaal de lengtes van de zijden van driehoek 3. epaal de hoeken van deze driehoek 4. epaal de oppervlakte van deze driehoek. 5. Teken deze driehoek op ware grootte met een nauwkeurigheid van 1mm. 6. epaal de parametervergelijkingen van de rechten, en. Zoek telkens drie punten op de rechte door de parameter k respektievelijk 1,10 en 3 te nemen. 7. Stel de parametervergelijking op van het vlak dat door de drie punten, en gaat en zoek door eliminatie van de parameters, de cartesiaanse vergelijking van dit vlak. a bij wijze van controle na of de drie punten inderdaad wel voldoen aan deze vergelijking.

8 8 ijkomende Oefeningen: Les 7 1. Schets het vlak α 2x-y+4z=4 via de snijpunten met de assen en teken ook de doorgangen. 2. Teken de rechte 2x y z = 2 en bepaal een parametervergelijking via een punt en een richting van x + y+ z = 1 deze rechte. x = 1+ 4 k 3. egeven de rechte a y = 1 + k en het vlak α 11x+715y-594z=3355. epaal hun snijpunt. z = 3 2 k 4. egeven de rechte b 8x + 3y 8z = 26 en het vlak β 4x+2y-3z=11. epaal hun snijpunt. 4x + 4y 9z = 13 x = k x = 2+ 5 p + 3 q 5. egeven de rechte c y = k en het vlak γ y = 3+ q. epaal hun snijpunt. z = 6 k z = 6 p + 8 q 6. epaal de rechte a door het punt (5,-5,4), die loodrecht staat op het vlak α x-2y+z=1. Zoek het snijpunt S van dit vlak en de rechte. epaal tenslotte de afstand tussen en S.

9 9 ijkomende Oefeningen: Les 9 Zoek het snijpunt van de aangeduide rechte met het gekleurde vlak als er een is! Zoek de doorsnede van de twee aangeduide vlakken. Zoek de doorsnede van het aangeduide vlak met het grondvlak van de figuur.

10 10 epaal de doorsnede van het vlak dat door de drie aangegeven punten gaat en de ruimtefiguur. T K L M epaal de schaduw van volgende figuur. T S Tenslotte kan u de opdracht uit de cursus p.36 ivm perspectief van een woning uitvoeren.

11 11 ijkomende oefeningen: Les 10 eschouw de nevenstaande figuur. ereken de onderstaande afstanden. espreek telkens uw oplossing en geef vooral aan welke hulpvlakken en/of loodlijnen zijn gebruikt en welke hulpmiddelen uit vlakke meetkunde. d(t,) d(t,) d(,) d(,) d(t,) d(t,) d(,t) d(s,t) d(,t) d(,t) d(s,t) d(,) d(,) d(,) d(t,) T S 6 Teken de loodlijn door S op het vlak T. onstrueer het loodvlak door loodrecht op de rechte egeven een regelmatig tetraëder (een viervlak bestaande uit 4 gelijkzijdige driehoeken). epaal de inhoud als je weet dat elke zijde 2m is.

Vergelijkbare documenten

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.