en een punt P BC zodat BP 2. CB.

Transcriptie

1 Oplossingen E F G H Gegeven is de kubus A C D en een punt P C zodat P C a) epaal het snijpunt van de rechte PH met het voorvlak AFE van de kubus De rechte PH ligt in het diagonaalvlak EHC van de kubus dat het voorvlak snijdt in E De doorboring is dus punt S b) ereken de hoek die de rechte PH maakt met het grondvlak De hoek die PH maakt met het grondvlak is de hoek DPH want PD is de loodrechte projectie van PH op het grondvlak Neem voor de eenvoud van berekening aan dat de ribbe van de kubus meet Dan is PC en CD zodat geldt PD 0 In rechthoekige driehoek PDH geldt dan: tandph DPH 7 '54" 0 EFGH Gegeven is een kubus ACD De lengte van G is 9,80m Leid hieruit af dat de ribbe van de kubus ongeveer 6,9m is G is een zijvlaksdiagonaal dus geldt: G 9,80 G r r 6,9 In deze kubus zijn de driehoek DG en de lichaamsdiagonaal CE getekend ewijs dat CE DG Om te bewijzen dat een rechte loodrecht staap op een vlak moeten we twee snijlijnen vinden in dat vlak die loodrecht staan op de rechte We verschuiven G en DG één ribbe naar onder (naar ' C en D' C ) zodat ze CE wel snijden Op de figuur geldt dan dat EC r, ' C D' C r en ' E D' E 5 r (Pythagoras) Dus is EC, G EC, ' C EC ' 90 (want En ook EC, DGEC, DC ' ECD ' 90 (want Omdat EC G en EC DG EC C' E' ) zal dus EC vldg EC CD' ED' ) Van de eerste kubus zijn de opstaande ribben AE, F, CG en DH verticaal We kantelen de kubus nu om hoekpunt C zodat de lichaamsdiagonaal CE verticaal komt te staan

2 ereken, tot op de seconde nauwkeurig, de hoek waarover de kubus is gekanteld Uit de figuur volgt dat deze goek gelijk is aan de hoek ECG cosecg ECG 54 44'08" We bewezen reeds dat CE DG zodat in dit geval dus de driehoek DG horizontaal komt te liggen We kunnen deze driehoek dan beschouwen als vloer van een zogenaame kubuswoning Reken na dat de oppervlakte van deze vloer ongeveer 4 m is Dit is een gelijkzijdige driehoek met als zijde G 9,80, zodat de oppervlakte gegeven wordt door S 9,80 4,59 m 4 (deze woningen bestaan echt en kan je bewonderen in Rotterdam De architect heet Piet lom) De rechten A en CD zijn kruisende rechten ewijs dat ook AC en D kruisende rechten zijn A en CD zijn kruisende rechten A,, C en D zijn niet coplanair AC en D zijn kruisende rechten 4 Gegeven een viervlak ACD, waarbij A D ewijs dat dan ook A C AC CD en C CD CD vlac CD A CD A en D A A vlcd CD vlac A vlcd AC, C CD en AC CD 5 Twee overstaande kruisende zijvlaksdiagonalen AH en G in een kubus worden respectievelijk door de punten P, P, P en Q, Q, Q in vier gelijke delen verdeeld, waarna de punten op gelijke hoogte met elkaar worden verbonden (zie figuur)

3 ereken de hoek tussen de kruisende rechten PQ en PQ Al deze rechten zijn evenwijdig met het grondvlak We verschuiven ze dus naar het grondvlak (zie figuur) en verkrijgen dus dat: ' ' ' ' ' ' ' ' 4 PQ, PQ P Q, PQ P SP P SP gtan PQ, PQ 507'48" 6 Construeer de gemeenschappelijke loodlijn van de ribbe F en de ruimtediagonaal AG in de kubus EFGH ACD ewijs dat wat je tekende wel degelijk de gemeenschappelijke loodlijn is Noem M het midden van AG en N het midden van F Dan is MN het gemeenschappelijke loodlijnstuk MN F want MN// D en D F (diagonaalvlak is een rechthoek) MN AG want het is duidelijk dat AN GN zodat N op de middelloodlijn ligt van AG 7 ereken de inhoud van de figuur die ontstaat door een regelmatige zeshoek ACDEF met zijde z te laten wentelen om de rechte AD Het is duidelijk dat de zo ontstane ruimtefiguur bestaat uit twee kegels en een cilinder Noem M het centrum van de zeshoek, dan kunnen we eenvoudig de straal r en de hoogte h van de kegels berekenen want AM is gelijkzijdig: r N z en h AN z (met N het midden van AM ) Dus I z z z z z kegel cilinder 8 In een bol met straal r wordt een kegel K ingeschreven met hoogte r ereken de verhoudingen van hun volumes V VK en hun oppervlaktes S SK Zonder de algemeenheid te schaden noemen we de straal van de bol We bekijken een dwarsdoorsnede door het middelpunt M van de bol Zo verkrijgen we de figuur hiernaast Het gegeven vertaalt zich dan tot: AM, TN, MN

4 We kunnen dan eenvoudig berekenen rk AN AM MN (Pythagoras in MAN ) Verder is het apothema van de kegel: ak T TN rk (Pythagoras in TAN ) V Dit geeft: V K rk hk r en SK rk rkak S r 9 In het orthonormale assenstelsel O xyz staan twee kubussen naast elkaar zoals afgebeeld op de figuur De kubussen hebben ribbe a) epaal de coördinaten van de aangeduide punten A, en C A 0,0,, 0,,0 en,, C b) ereken de lengtes A, C en CA De stelling van Pythagoras geeft A, C en CA 5 c) Leid hieruit af dat de driehoek AC rechthoekig is A C CA AC is rechthoekig 0 Gegeven zijn de punten A7,,,, 5, en,, C epaal de coördinaat van P als geldt dat PAPPCO PAPPCO AP P CP O P Dus 7 5 P,, P,, In het trapezium OAC geldt dat C// OA en dat C OA ereken de coördinaat van C als O 0,0,0, A4,, 6 en 4,, A OA C A C C Uit de figuur blijkt dat 44 6 Dus C,, C6,0,0 AC 6 In een viervlak ACD is M het midden van A en N het midden van CD 4 ewijs dat MN AC AD C D Uit de formule voor het midden volgt dat M A en C D N, zodat:

5 RL ACADCD CADACD 4 4 CD A C D A NM MN LL 4