Antwoorden De juiste ondersteuning

Transcriptie

1 ntwoorden De juiste ondersteuning a. De straal van de cirkel waarover het beweegt is 5. De maximale hoogte van het is dus 5. Het moet dus dm omhoog. b. Het van het tweede blok beweegt over een cirkel met straal 7, het moet dus 7 omhoog. 8 ( 7 ) > 6 8, dus bij het tweede blok moet meer arbeid verricht worden. Ellips, parallellogram, regelmatige driehoek Een gaat door de witte punten, de andere door de zwarte. Het evenwichtssteunpunt is het snijpunt van deze twee en. steunpunt 4 Het ene witte punt is steunpunt van de cirkels en, het andere witte punt van de cirkels en. steunpunt 5 Een is de symmetrieas van het trapezium, een andere vind je door het trapezium te verdelen in een parallellogram en een regelmatige driehoek en de symmetriepunten van deze twee te verbinden. steunpunt

2 6 symmetrieas = symmetrieas steunpunt van ruit en steunpunt van ruit symmetrieas 5 van ruit en 4 van, symmetrieas 4 5 van,4,5 van, en 7 Het ligt op afstand 7 van links (en dus afstand van rechts). symmetrieas van, van 4 en van,4,5 8 a. b. ligt op het verbindingslijnstuk van de massa's met grootte en 8 en verdeelt dat in de verhouding 8:. Het ligt op het verbindingslijnstuk van en de massa met grootte 5 en verdeelt dat in de verhouding :. 8 5

3 9 is het van de massa's en 4 (verdeelt hun verbindingslijnstuk in de verhouding 4:). is het van de massa's en (verdeelt hun verbindingslijnstuk in de verhouding :). (het midden van ) is het gevraagde. 4 0 a. In de tekening is het midden van lijnstuk enz. is het van de massa's in en en D is het van de gewichten in en D. Dus ligt het van de vier massa's op de verbindingslijn van met D, dus op een mediaan. Met eenzelfde redenering volgt dat het ook op de andere mediaan ligt. b. In M ligt het van de massa s in en. Het van de drie massa s ligt dus op M. keer zo ver van als van M. D D a. De witte punten zijn middens van de stukken van de geknikte stang. Het (grijs) ligt midden tussen de witte punten. b. is het midden van het ene stuk en van het andere. Lijn is. is het midden van het afgekorte stuk en D het midden van lijnstuk. E is het midden van het afgeknipte stuk. Dan is DE. Dus is het. D E

4 Een van de vlieger is de symmetrieas. We bepalen vervolgens het X van de geknikte stang. K is het midden van Q en Q van. Een N van knik is KQ. X E ligt op zó, dat E =. Het midden van E is P en N het E K P M midden van PQ. Het midden van E is M. Een andere van knik is MN, dus het snijpunt X van MN en KQ is het van de geknikte stang. Het is de loodrechte projectie van X op lijn. a. D ligt op zijde zó, dat D =. N is het midden van D, M van en W van MN. K is het midden van D. Dan is KW. P is het midden van zijde. Dan is PM. Het snijpunt X van de lijnen PM en KW is het van de geknikte stang. P N X W b. Het van de stangendriehoek is het snijpunt van de lijnen M en XQ (Q is het midden van zijde ). 4 * ij de minste storing, stort het zaakje in. * Hij is een rustige, stabiele persoon. * De inkomsten en uitgaven moeten even groot zijn. * De ploegen waren tegen elkaar opgewassen. * De belangrijkste politici zitten in Den Haag. * Het grootste, belangrijkste deel van zijn werk * We moeten meer gaan denken in termen van ethiek dan van politiek. 5 b. is het van de gewichten in en en D is het van de gewichten in en D. Dus ligt het van de vier gewichten op de verbindingslijn van en D. K D M Q 4

5 Met eenzelfde redenering volgt dat het ook op de andere verbindingslijnen liggen. Dus gaan de drie verbindingslijnen alle door het van,, en D. Het kan ook meetkundig. Je kunt telkens vier middens in een vlak plaatsen. Je krijgt zo drie vlakken. De snijlijn van telkens twee van die vlakken is de verbindingslijn twee middens. De drie vlakken snijden elkaar in één punt. Dat is ook het gemeenschappelijk punt van de drie snijlijnen. 6 Ga op een wip liggen. oek de plek zodat er evenwicht is. Dan ligt jouw boven het draaipunt van de wip. 7 De hellingshoek is α, zie plaatje. Er geldt: tan α = 4, dus α 76. α α 0 40 α De rechthoek gaat zó hangen, dat deze lijn verticaal loopt. 8 a. zwarte stang De juiste ondersteuning grijze stang (a + b) a b (a + b) a b b. Uit a volgt: x = b en y = a, dus x a = y b (= ab). 9 a. is een snijpunt van de cirkel met middelpunt en straal 5 en de cirkel met middelpunt en straal 6. 5

6 b. D = S (-hoeken) D = S (gegeven) Dus S = S. c. : = : S (want = S) : S = D : D (de driehoeken D en DS zijn gelijkvormig. Dus : = D : D. D S 0 a b. In eerste instantie krijg je een gewicht van in 9 en een gewicht van in. Deze twee neem je samen in 9 + ( 9) = a. Volgt direct uit de hefboomwet. b. ie plaatje. Uit de hefboomwet volgt: m z a = m a z ( ) ( ) z mz = ma ma m + + ( m + m ) z = ma + ma z a a z eide leden delen door m + m geeft het gewenste resultaat. c. ij een andere keuze van 0, veranderen z en a met dezelfde waarde, dus z a verandert niet, zo ook z a. a. ls je m en m samenneemt, krijg je een massa m = m + m in m a + m a b =. m + m 0 m z m 6

7 Neem je vervolgens de massa s m en m samen, kom je in mb + ma m a + m a + m a z = =. m + m m + m + m b. De formule uit het vorige onderdeel is symmetrisch = a. figuur figuur figuur Het van elke 'zijde' ligt in het midden (figuur ). We nemen hun massa s. In figuur zijn de massa's van de opstaande zijden samengenomen. In figuur zijn de massa's van grootte en samengenomen. Het ligt op hoogte. b. 5 6,,, a. Neem aan: de stangen hebben massa, en 0. De hoogte van de driehoek is. De stangen van kun je samennemen tot een massa van 6 op hoogte 6. Nu moet je nog een massa van 0 op hoogte 0 samennemen met een massa van 6 op hoogte 6. Het ligt op hoogte 0 6 =. 6 b. De zwaartelijn uit de top is, de andere niet, want dan zou het op hoogte = 4 liggen a. Dat RS : SQ = : volgt uit de hefboomwet. Dat : = RP : QP volgt uit = RP en = QP (middenparallel). b. Volgens de stelling op blz 4 verdeelt de bissectrice van hoek RPQ de zijde RQ in de gevraagde verhouding. 7

8 De bissectrice van hoek RPQ is dus van de stangendriehoek. Evenzo zijn de bissectrices van de hoeken RQP en PRQ en. Het snijpunt van deze bissectrices is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek PQR. 7 We bepalen het van de knik. P is het midden van, Q van en R van. Het snijpunt S van de bissectrice van hoek QPR en lijn QR is het van de knik. Het van de vlieger is de loodrechte projectie van S op lijn. P R S Q 8 a. De massa van de grote cirkel is 4 (namelijk keer zo groot als die van de kleine cirkel). Volgens vraag geldt: 4 = + x b. Uit a volgt: x =. Dus het ligt van het raakpunt af. c. De hele figuur heeft massa 5. Noem de plaats van het x. 5 5 x = - + 4, dus x =. 5 Dus ligt het van het raakpunt af ie de 'strip': het ligt op het midden van de schuine zijde. 8

9 0 is de plaats van het van het grote vierkant en de plaats van van het kleine. Noem de plaats van het en z de afstand van tot O. Dan: 6 = z 0 + 6,dus z = K. is de plaats van het van het grote vierkant en de plaats van van het kleine. Noem de plaats van het en z de afstand van tot O. Dan: 6 = z , dus z =. 5 O a. De driehoeken DE, GH enzovoort ontstaan uit driehoek door puntvermenigvuldiging uit. b. Het ( = symmetriepunt) van een parallellogram ligt op de middenparallellen (medianen) van dat parallellogram. Lijn D is middenparallel van al die parallellogrammen. c. ls de en van twee parallellogrammen op één lijn liggen, ligt het van de samengenomen parallellogrammen ook op die lijn (principe ). a. De stukken met + hebben dezelfde hoogte en gelijke bases. O # o # + + M o b. De driehoeken M (+,#,#) en M (+,o,0) hebben dezelfde oppervlakte, want ze zijn even hoog en hebben gelijke bases. c. Uit b volgt: de stukken met # en # zijn samen even groot als de stukken met o en o, dus zijn de stukken met # en o even groot. a. Volgt uit c. b. ekijk het plaatje bij de vorige opgave. Oppervlakte driehoek = Oppervlakte driehoek M. De hoogtelijn uit is voor de driehoeken en M hetzelfde, dus = M. 9

10 4 ie plaatje. ls je parallellogram XHG met vanuit vermenigvuldigt, krijg je parallellogram FDE. E G H D X 5 Het van de grote driehoek is en van de kleine W. Het snijpunten van de diagonalen van de vlieger is O. Dan ligt boven O en W ligt onder O. De hoogte van het boven O noemen we x, dan: x 4 = + -, dus x =. F O W De hoogte van het van de pijlpuntvlieger boven O noemen we y, dan: = y +, dus y =. O W 6 Verdeel het trapezium in een parallellogram en een gelijkbenige driehoek, zie plaatje. Neem aan dat de driehoek massa heeft, dan heeft het parallellogram massa. Je moet dus een massa op hoogte samennemen met een massa op hoogte 4. Het ligt dan op hoogte: + 4 =

11 7 M is het midden van en X D ligt op lijnstuk DM zó, dat DX = XM. Dan is X het van driehoek D. Het van driehoek ligt op M en verdeelt N X lijnstuk M in de verhouding W :, dus ligt op de lijn door X evenwijdig aan D. De lijn door X evenwijdig aan D is dus een M van de vierhoek. N is het midden van D en W het van driehoek D. De lijn door W evenwijdig aan lijn is ook van de vierhoek. Het snijpunt van de twee en is dus het van de vierhoek. 8 a. Het snijpunt van D met noemen we T. Dan is de lijn TM van de driehoeken TD en T, dus ook van D. Lijn TM snijdt lijnstuk D doormidden (gelijkvormigheid). b. eg de hoogte (afstand van de twee evenwijdige zijden) van het trapezium is h, dan zijn de massa s van de twee driehoeken evenredig met ha en hb, dus met a en b. c. Op hoogte en d. Je moet een massa evenredig met a op hoogte samennemen met massa evenredig met b op hoogte. a b a + b + =, dus verdeelt lijnstuk MN in de a + b a + b a + b verhouding a b + a + b a + b a + b a b a + b a + b : = : = : a + b a + b a + b a + b a + b a + b dus als (a + b) : (a + b). e. Hier is a = 0 en b = 5, de verhouding van de stukken is: 4 0 : 5 = 4 : 5, dus het ligt op hoogte 9 = 4. 9 De projectie van P op noemen we Q. Het moet op lijnstuk PQ liggen. We nemen aan: DP = en Q = a. Het is geen beperking aan te nemen dat PQ =. Het van rechthoek QPD noemen we en dat van driehoek PQ noemen we. Dan ligt op afstand van D en op afstand + a. 9

12 De massa s in en verhouden zich als :a. Het van het trapezium moet van D afliggen. Dus ( + a) = + ( + a) a = a a =. Dus: DP : P = :. 40 a. D S = S S O 4 is het van de sectoren S 4 en S 5 samen, het van de sectoren S, S 4 en S 5 samen, het van de sectoren S, S, S 4 en S 5 samen, het van de sectoren S, S, S, S 4 en S 5 samen. 4 is de projectie van 5 op O, is de projectie van 4 op O, is de projectie van op O, is de projectie van op OD. b. In driehoek O 4 5 geldt: hoek O 4 5 is recht, 4 O 5 = 9 90 en O 5 =. c. (((sin 9 90 cos 9 90 ) cos 7 90 ) cos 90 ) cos 90 = (( sin 7 90 cos 7 90 ) cos 90 ) cos 90 = (() sin 90 cos 90 ) cos 90 = () sin 90 cos 90 = () 4 sin 90 = () 4. d. O = cos 90 O, O = cos 90 O, O = cos 7 90 O 4 en O 4 = cos 9 90 O 5. Klopt dus, want O 5 =. 4 5 S 4 S 5 e. Uit d volgt: O 6 π () 4, dus O π, dus: O. π

13 f. Het van driehoek O ligt OM van O, dus 4 O r = r. π π 4 Het middelpunt van de halve cirkels is M. De schijf met straal 5 heeft massa π en die met straal 6 massa 8π en de boog heeft dus massa 5π. is het van de schijf met straal 5, van de schijf met straal 6 en van de boog. 0 Dan M =, 4 π M =. Noem M = z, dan: π π = z π + π, dus z = π π π. M 4 De massa's in en samennemen in M. Het is het midden van M en dat is het aangegeven punt. De massa's in en samennemen in N. Het ligt dan op lijnstuk N zó, dat dit punt het N lijnstuk verdeelt in de verhouding :. (De derde manier moet je zelf doen.) M 4 a. z = a + ( b a) = a + b b b b a b b. z = a + ( b a) = ( ) a + b = a + b a+ b a+ b a+ b a+ b a+ b 44 Noem de afstand (in km) van het tot de aarde z, ,4 0 dan: z = , ,975 0 Dit is kleiner dan de straal van de aarde (6400 km). Dus ligt het onder het aardoppervlak. 45 a. De massa's in P en zijn beide, dus is het midden van P en. z = p + c = a + b + c 6 b. Het van de massa's in en noemen we Q. Dan q = b + c z = a + q = a + ( b + c) = a + b + c, hetzelfde

14 46 a. z c c a b p c c a b ( a a b b = + + = ), dus a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a+ b a+ b a b c z = a + b + c. a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c b. De uitdrukking is symmetrisch in a, b en c. 47 Plaats in, en massa's van grootte, 4 en. Dan is Q het van de massa's in en en P het van de massa's in en. Dus de lijnen Q en P zijn en van het massasysteem in, en en is het van dat systeem. Dus het snijpunt S van lijn met lijn is het van de massa's in en. Dus S : S = 4 :. 48 Denk je massa's a, b en c in de hoekpunten linksonder, rechtsonder en boven. Dan: c b a c b a c b a b c a =, = en =, dus = =, c a a b b c c b a a b c a b c = a b c. dus 49 Het massasysteem heeft als het meetkundig van driehoek. Verdeel de massa's in, en p q in twee delen, één met massa en één met massa. De p+ q p+ q q p massa in kun je samennemen met de massa in tot p+ q p+ q een massa in het van die twee, dat is het punt D. o ga je door. o zie je dat het van de massa's in, en samenvalt met de massa's in D, E en F. 50 a. 6 (de diagonaalvlakken van de kubus) b. De grijze rechthoek hiernaast is een diagonaalvlak van bij. D is een lichaamsdiagonaal van de kubus. Die staat loodrecht op een grensvlak van het viervlak. De hoogte van het viervlak is N. Het van het viervlak is (op hoogte in de rechthoek). De driehoeken ND en N zijn gelijkvormig, dus M N D 4

15 N = =, dus N = D en DN D N = ( ) D = D. 6 Dus N = N. Dus het ligt 4 op van de hoogte van het viervlak. 5 Noem de top T en de andere hoekpunten, en. Neem gelijke massa's in deze vier punten. Dan geldt voor het : z = a + b + c + t. Hieraan zie je dat je om in het 5 a. b. c te komen deel van de hoogte moet nemen. z = a + b + c + d + e = a + b + c + ( a + c) + ( b + c) = a + b + c z = a + b + ( a + b) + c + ( a + c) + ( b + c) ( a + c) + ( b + c) + ( a + b + c) = a + b + c 7 7 z = a + b + c 5 a. Noem de top T en de andere hoekpunten,, en D. z = a + b + c + d + t, dus op 4 van de hoogte Het kan ook zonder vectoren. De vier massa's in het grondvlak kunnen samengenomen worden tot een massa die vier keer zo groot is in het middelpunt van het grondvlak. ls je deze samenneemt met de massa in de top, krijg je het op 4 van de hoogte. b. Het van de vier opstaande ribben samen ligt op halve hoogte. Het van de vier ribben in het grondvlak samen, ligt in het middelpunt van het grondvlak en heeft dezelfde massa. Het van het totaal ligt dus op van de hoogte. c. Neem aan dat het grondvlak massa heeft. De massa van een opstaand grensvlak is dan 4. De vier opstaande grensvlakken kun je samennemen tot massa op hoogte. Het van de piramide ligt dus op hoogte 0 + =

16 54 a. 8 b. c. De vier piramides op de hoeken samen,: die zijn samen even groot als de oorspronkelijk piramide; dus massa. Voor de balk en de vier driezijdige prisma s blijft dus massa 8 = 6 over. De vier prisma s zijn samen evn groot als de balk, dus elk heeft massa. d. Het van de uitgebreide piramide ligt x van de top, het van de vier kleine piramides op de hoeken ligt + x onder de top, het van de balk ligt + onder de top, het van de vier prisma s ligt + onder de top. e. Vermenigvuldig massa en afstand onder de top van de uitgebreide piramide en van de delen afzonderlijk: 8 x = ( + x) x f. 6x = x + 0, dus x = H a. Van beide ( 0) = 9, want je krijgt de doorsnede op hoogte 7 door het grondvlak vanuit de top met te vermenigvuldigen. 0 b. Verdeel de piramide in plakjes evenwijdig met het grondvlak, heel dun. Deze plakjes zijn gelijkvormig met het grondvlak. Je krijgt ze door het grondvlak vanuit T te vermenigvuldigen. De en van deze plakjes liggen dus op lijn T, dus ook het van al deze plakjes samen. 56 et het topje weer op de afgeknotte kegel. Hiernaast zie je een doorsnede door de as. X is het van het topje, Y van de hele kegel en van de afgeknotte kegel. De hoogte van de hele kegel is h. T X Y h h x h 6

17 Verder zie plaatje. De massa van het topje nemen we. Dan is de massa van de hele kegel 8 en van de afgeknotte kegel h = h + 7 x, dus x = h, dus het van de 7 4 afgeknotte kegel ligt op 7 van de hoogte. 57 De massa van het afgezaagde stuk nemen we, dan is de massa van de rest 5, want het afgezaagde stuk is éénzesde deel van de hele kubus (het afgezaagde stuk is een piramide met een half zo groot grondvlak als de kubus). Hiernaast is de situatie in het verticale diagonaalvlak van de kubus door OT getekend. N is het midden van het bovenvlak van de kubus, M het midden (dus het ) van de kubus, X het van het afgezaagde stuk. O Het van de rest ligt op OT, zeg op afstand z van O. N maakt deel uit van het zaagvlak en is de loodrechte projectie van T op het zaagvlak. De lengte van de lichaamsdiagonaal noemen we a, dan T = a (de driehoeken NT en O zijn gelijkvormig). Volgens de stelling is dan X = a = 0a en OX = ( + 0)a = Ha. 9 6 a = 5z + a, dus z = a. 4 De gevraagde verhouding is dus 9 :. 0 N M X T 7