wiskunde B pilot vwo 2016-I

Transcriptie

1 Formules Goniometrie sin( t+ u) = sin( t)os( u) + os( t)sin( u) sin( t u) = sin( t)os( u) os( t)sin( u) os( t+ u) = os( t)os( u) sin( t)sin( u) os( t u) = os( t)os( u) + sin( t)sin( u) sin( t) = sin( t)os( t) os( t) = os ( t) sin ( t) = os ( t) = sin ( t)

2 Kettinglijn e funtie f is gegeven door f( ) = e + e +. In figuur is de grafiek van f, een zogenaamde kettinglijn, op het domein [0,6] getekend. unt T is het laagste punt van de grafiek en punt is het gemeenshappelijke punt van de grafiek met de -as. e -oördinaat van T is ongeveer,4. figuur T f 4p ereken eat de waarde van de -oördinaat van T. 6 In figuur zijn de grafiek van de funtie f en de parabool door met top T getekend. In deze figuur is te zien dat de parabool de kettinglijn aanvankelijk goed benadert, maar dat voor grotere waarden van de benadering minder goed wordt. Van de parabool door met top T kan een vergelijking van de vorm = a( b) + worden opgesteld. 6p ereken de waarde van waarvoor het (vertiale) hoogtevershil tussen de kettinglijn en deze parabool gelijk is aan. Rond je antwoord af op één deimaal. figuur T kettinglijn parabool 6

3 utomotor In een automotor wordt de op- en neergaande beweging van een zuiger via een drijfstang omgezet in een draaiende beweging. In figuur zijn twee standen getekend. In de eerste stand beweegt de zuiger omlaag en in de tweede stand omhoog. figuur ilinder zuiger ilinder In figuur zijn vier standen shematish getekend. is een vast punt, beweegt vertiaal over en draait over een irkel met straal en middelpunt waarbij een vaste lengte 4 heeft. e grootte van hoek (in radialen) noemen we α. unt E is de loodrehte projetie van op lijn. drijfstang figuur 4 E α E α E E α unt beweegt op en neer tussen zijn hoogste punt ( α= 0 en α= π) en zijn laagste punt (α =π). e afstand van tot noemen we s. s hangt af van α. Er geldt: s = 5 os( α) 6 sin (α), met 0 α π. 5p 3 ewijs dit voor de meest linkse van de in figuur getekende standen (dus voor 0 <α< π). 3

4 In de tehniek wordt s soms benaderd met behulp van de formule z = os( α)+ sin (α). 8 m te onderzoeken of de formule z = os( α) + sin 8 (α) een goede benadering voor s geeft, wordt het maimale vershil tussen s en z berekend. 3p 4 ereken in drie deimalen nauwkeurig dit maimale vershil. Zowel in als in is de snelheid van de zuiger gelijk aan 0. Tijdens de beweging wordt voor een waarde van α, met 0 <α<π, de maimale zuigersnelheid bereikt. 4p 5 Stel een formule voor de afgeleide van z op en bereken hiermee de maimale zuigersnelheid. Rond je antwoord af op twee deimalen. 4

5 Een driehoek draaiend over een irkel Gegeven is de irkel met vergelijking figuur ( ) + =. Voor elke waarde van a is gegeven de lijn met vergelijking = a. Elk van deze lijnen snijdt de irkel in twee punten, S namelijk in en S. e oördinaten van S zijn afhankelijk van a. e vetor S is het beeld van S bij een rotatie om S over 90. Zie figuur, waarin ook driehoek S is weergegeven. Voor de oördinaten van geldt: a + a = en = a + a + 7p 6 ewijs dat deze formules voor en orret zijn. ij elke waarde van a hoort een positie van. In figuur en figuur 3 is voor twee waarden van a deze positie getekend. ls a varieert, beweegt over een irkel door. eze irkel is gestippeld getekend. figuur figuur 3 S S 5p 7 Stel van de gestippelde irkel een vergelijking op. Er is een waarde van a waarvoor maimaal is. 5p 8 ereken eat deze waarde van a. 5

6 Snelheid op een baan Voor 0 t π is de baan van het punt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ( t) = sin( t) + sin( t) t () = os() t In de figuur is de baan van weergegeven. figuur p t = 0 bevindt zih in het hoogste punt (0,) van de baan. p t =π bevindt zih in het laagste punt (0, ) van de baan. Tussen t = 0 en t =π snijdt de baan de -as één keer in het punt. 8p 9 ereken eat de snelheid van in punt. 6

7 Metselboog In sommige gebouwen zijn boven een raam of een deur bakstenen gemetseld in de vorm van een irkelboog. Zie figuur. m deze bakstenen tijdens de bouw op de juiste wijze te kunnen plaatsen, wordt gebruikgemaakt van een houten mal, een zogenoemde metselboog. Zie figuur. figuur figuur e metselaar vraagt aan de timmerman om een metselboog te maken. e breedte moet 90 m worden en de hoogte 8 m. In figuur 3 is het vooraanziht van de metselboog met de genoemde maten weergegeven. figuur 3 8 m 90 m e bovenrand van de metselboog is een deel van een irkel. m de metselboog te kunnen maken, moet de timmerman de straal van deze irkel berekenen. 5p 0 ereken algebraïsh deze straal. Rond je antwoord af op een geheel aantal m. 7

8 Vierkant bij een grafiek e funtie f is gegeven door f( ) 6 =. figuur Van vierkant liggen de hoekpunten en op de -as en het hoekpunt op de grafiek van f. Zie figuur. e -oördinaten van en noemen we respetievelijk a en b, met 0 < a< b. e 6 oördinaten van zijn dan ( a, ) a. f Voor a = ontstaat het vierkant met zijde 6. V is het deel van dit vierkant dat zih boven de grafiek bevindt. Vlakdeel V wordt gewenteld om de -as. 5p ereken eat de inhoud van het bijbehorende omwentelingslihaam. In figuur zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant getekend. figuur f f f b = 3,3 b =,53 b = 5,06 ij de getekende situaties is de afstand van punt tot de oorsprong aangegeven. eze afstand b hangt af van a, de -oördinaat van. ls a vanaf 0 toeneemt, neemt b eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van a waarvoor b minimaal is. 5p ereken eat de minimale waarde van b. 8

9 Limietpunt Voor > 0 is de funtie f gegeven door: f ( ) = + ( ) 3p 3 ewijs dat voor elke waarde van de funtie f de inverse is van zihzelf. unt S is het punt met oördinaten (, ). In figuur is voor een waarde van de grafiek van f weergegeven. figuur S (, ) f e grafiek van f is puntsmmetrish ten opzihte van S als voor elke waarde van p geldt: f( + p) + f( p) = 3p 4 ewijs met behulp van deze formule dat voor elke waarde van de grafiek van f puntsmmetrish is ten opzihte van S. 9

10 Lijn k is de lijn met vergelijking =. Lijn k snijdt de grafiek van f in twee punten. unt is het linker snijpunt. In figuur is de situatie van figuur uitgebreid met en k. figuur k S (, ) f ls groter wordt, vershuift over lijn k, waarbij zowel de -oördinaat als de -oördinaat van toenemen. ls onbegrensd toeneemt, naderen zowel de -oördinaat als de -oördinaat van tot een limietwaarde. Het punt nadert daarom tot een vast punt: het limietpunt van. 5p 5 ruk de oördinaten van uit in en bewijs met behulp van deze oördinaten dat S het limietpunt is van. 0

11 Vier vierkanten Gegeven zijn twee vierkanten, één met zijde p en één met zijde q. e vierkanten hebben één hoekpunt gemeenshappelijk. e hoeken die de zijden van de vierkanten met elkaar maken in het gemeenshappelijke hoekpunt noemen we α en β. Zie figuur. figuur p α β p q q Figuur is een uitbreiding van figuur. Er zijn twee vierkanten toegevoegd: een vierkant met zijde r dat met elk van de vierkanten uit figuur één hoekpunt gemeenshappelijk heeft; een vierkant met zijde s dat met elk van de vierkanten uit figuur één hoekpunt gemeenshappelijk heeft. figuur r p α β p q s q In figuur zijn de vierkanten met zijden p en q lihtgrijs gekleurd; van elk van de vierkanten met zijden r en s is de helft donkergrijs gekleurd. 6p 6 ewijs dat de totale oppervlakte van de lihtgrijze delen gelijk is aan de totale oppervlakte van de donkergrijze delen.