Eerste- en derdegraadsfunctie

Transcriptie

1 Eerste- en derdegraadsfunctie e functies f en g zijn gegeven door f( x) ( x )( x ) en gx ( ) x. e grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt (0, ) en de x-as in het punt (, 0). e grafiek van g raakt in punt aan de grafiek van f. 4p Toon dit aan met behulp van differentiëren. In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend. figuur y g f O x e grafiek van f verdeelt driehoek O in twee delen. 6p Toon met een exacte berekening aan dat de oppervlakte van het linkerdeel twee keer zo groot is als de oppervlakte van het rechterdeel.

2 Verzadigingsgraad van hemoglobine Zuurstof wordt in het menselijk lichaam getransporteerd door de hemoglobine in het bloed. e zuurstof wordt in de longen aan de hemoglobine gebonden en in de weefsels weer afgegeven. Het percentage van de hemoglobine dat zuurstof aan zich bindt, wordt de verzadigingsgraad van hemoglobine genoemd. eze verzadigingsgraad hangt af van de partiële zuurstofdruk; dit is het deel van de totale luchtdruk in de longen dat veroorzaakt wordt door de zuurstof. In 90 heeft de fysioloog Hill gevonden dat onder bepaalde omstandigheden het verband tussen de partiële zuurstofdruk p en de verzadigingsgraad v van hemoglobine kan worden benaderd met de formule: 00p v p 5000 Hierin is: v de verzadigingsgraad van hemoglobine in procenten en p de partiële zuurstofdruk in mmhg (millimeter kwik, de toen gebruikte eenheid voor druk). p ereken de partiële zuurstofdruk als de verzadigingsgraad van hemoglobine 75% is. Rond je antwoord af op een geheel aantal mmhg. In de figuur is de grafiek getekend van v als functie van p volgens de benaderingsformule van Hill. figuur v (%) p (mmhg) 4p 4 ereken met behulp van de afgeleide functie van v voor welke waarde van p de grafiek het steilst is. Rond je antwoord af op een gehele waarde.

3 v Hill vond zijn formule doordat hij ontdekte dat 00 v evenredig is met p. e evenredigheidsconstante is at wil zeggen: 00 v 0,00004p v 4p 5 Herleid de formule 00 v 0,00004p v tot de formule 00p v. p 5000

4 Vermenigvuldigen in horizontale en verticale richting e functie f is gegeven door Voor elke waarde van c is de functie lnx f( x). x g c gegeven door c ln x gc( x). x e grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met e, het grondtal van de natuurlijke logaritme. Vervolgens wordt de zo verkregen grafiek ten opzichte van de y-as vermenigvuldigd met e. Hierdoor ontstaat de grafiek van g c voor een waarde van c. 4p 6 ereken exact deze waarde van c. figuur In de figuur is de grafiek van g y getekend. Ook de grafiek van f is in de figuur getekend. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de lijnen met vergelijking x en x e. 4p 7 ereken exact de oppervlakte van W. g f W O e x

5 Gelijke hoeken Gegeven is een hoek en een cirkel c. Een been van hoek snijdt de cirkel c in de punten en. Het andere been van hoek raakt de cirkel c in punt. Zie figuur. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur c e driehoeken en zijn gelijkvormig. p 8 ewijs dit. In figuur is de bissectrice van hoek getekend. eze snijdt lijnstuk in punt P en lijnstuk in punt Q. Figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur c P Q 4p 9 ewijs dat de hoeken PQ en QP even groot zijn.

6 wiskunde VWO 0- uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer 8 c 9 c P Q

7 Een hartvormige kromme Voor 0 t wordt de beweging figuur van een punt P beschreven door de bewegingsvergelijkingen x() t cost cos() t yt () sint sin() t y In figuur is de baan van P getekend. Voor t 0 en t bevindt P zich in (, 0). 8p 0 ereken exact de maximale waarde van de y-coördinaat van P. - - O - - x e lijn met vergelijking x snijdt de figuur baan van P behalve in het punt (, 0) ook in de punten (, a ) en (, a ), met a 0. Zie figuur. 6p ereken exact de waarde van a. y - - O x - -

8 e leeftijd van ons zonnestelsel Volgens sterrenkundigen zijn de meteorieten die op aarde terechtkomen tegelijk met ons zonnestelsel ontstaan. Meteorieten bestaan onder andere uit de stoffen rubidium-87 (Rb-87), strontium-87 (Sr-87) en strontium-86 (Sr-86). Het radioactieve Rb-87 vervalt tot Sr-87. e hoeveelheid Sr-86 verandert niet. Om de leeftijd t (in jaren) van een meteoriet te bepalen gebruikt men onder andere de verhouding: hoeveelheid Rb-87 at ( ) op tijdstip t hoeveelheid Sr-86 eze verhouding verandert voortdurend vanaf het ontstaan van een meteoriet. Er geldt: at () a (0) e t Hierin is λ de vervalconstante van Rb-87. ie is,4 0 per jaar. e constante a (0) is de verhouding tussen de hoeveelheden Rb-87 en Sr-86 op t 0. p ereken op algebraïsche wijze in hoeveel tijd de waarde van a gehalveerd wordt. Geef je antwoord in miljarden jaren nauwkeurig.

9 e waarde a (0) is onbekend en verschilt per meteoriet. aarom kunnen we de leeftijd van een meteoriet niet bepalen op grond van de gemeten waarde at () alleen. Leeftijdsbepaling is wel mogelijk door naast at () ook gebruik te maken van een tweede verhouding: hoeveelheid Sr-87 bt ( ) op tijdstip t hoeveelheid Sr-86 Omdat Rb-87 vervalt tot Sr-87 en Sr-87 zelf niet vervalt, verandert de waarde van de som van at () en bt () voor een bepaalde meteoriet niet in de loop der tijd. it betekent dat at () bt () a(0) b (0) voor elke t 0. Uit at () bt () a(0) b (0) en at () a (0) e volgt: t bt () e at () b (0) p Toon dit aan. Van twee even oude meteorieten, M en M, zijn de waarden at () en bt () bepaald, waarbij t de leeftijd van deze meteorieten is. Zie de tabel. tabel meteoriet at () bt () M 0,60 0,79 M 0,0 0,7 oor gebruik te maken van: t bt () e at () b (0), met t,4 0 per jaar, de aanname dat b (0) voor elke meteoriet hetzelfde is en de gegevens uit de tabel kan de leeftijd van de meteorieten (en volgens sterrenkundigen dus ook die van ons zonnestelsel) worden berekend. 4p 4 ereken deze leeftijd. Rond je antwoord af op miljarden jaren.

10 Koordenvierhoek Gegeven is een koordenvierhoek met diagonalen en. Op diagonaal ligt het punt E zo dat E E. Op diagonaal ligt het punt F zo dat F F. Zie figuur. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur E F e punten,, F en E liggen op een cirkel. 5p 5 ewijs dit.

11 In figuur zijn ook het lijnstuk EF en de cirkel door,, F en E getekend. Figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur E F 4p 6 ewijs dat EF evenwijdig is aan. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

12 wiskunde VWO 0- uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer 5 E F 6 E F

13 Lijnstuk en parabool Op het domein [0, 4] is de functie f gegeven door f ( x) 8 x. e randpunten van de grafiek van f zijn P (0, 8) en Q (4, 0). Zie de figuur. Verder is gegeven een lijnstuk PR met eindpunten P (0, 8) en Ra (,0), waarbij a 4. In de figuur is voor een waarde van a ook het lijnstuk PR getekend. figuur y 8 7 P 6 f 5 4 O Q R 4 5 x Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f en het lijnstuk PR elkaar snijden in het midden van PR. 4p 7 ereken exact deze waarde van a. e lengte van boog PQ van de grafiek van f is gelijk aan 4 f 'x ( ) dx. 0 5p 8 ereken in twee decimalen nauwkeurig voor welke waarde van a de lengte van boog PQ van de grafiek van f gelijk is aan de lengte van lijnstuk PR. lees verder