12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

Transcriptie

1 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft draaiingshoek π (1,0) heeft draaiingshoek 2π enz. enz. enz. (-1,0) heeft draaiingshoek 3π enz. enz. enz. Dus sin(a) = 0 als A = k π (k = geheel getal) 1

2 12.0 Voorkennis Voorbeeld 2: Los de vergelijking sin(a) = 1 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 1. Dit is in het punt (0,1) (0,1) heeft draaiingshoek ½π (0,1) heeft draaiingshoek 2½ π enz. enz. enz. Dus sin(a) = 1 als A = ½π + k 2π 2

3 12.0 Voorkennis Voorbeeld 3: Los de vergelijking sin(a) = -1 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat -1. Dit is in het punt (0,-1) (0,-1) heeft draaiingshoek 1½π (0,-1) heeft draaiingshoek 3½ π enz. enz. enz. Dus sin(a) = -1 als A = 1½π + k 2π 3

4 12.0 Voorkennis Voorbeeld 4: Los de vergelijking cos(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 0. Dit is in de punten (0,1) en (0,-1) (0,1) heeft draaiingshoek ½π (0,-1) heeft draaiingshoek 1½π (0,1) heeft draaiingshoek 2½π enz. enz. enz. (0,-1) heeft draaiingshoek 3½π enz. enz. enz. Dus cos(a) = 0 als A = ½π + k π 4

5 12.0 Voorkennis Voorbeeld 5: Los de vergelijking cos(a) = 1 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 1. Dit is in het punt (1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (1,0) heeft draaiingshoek 2π enz. enz. enz. Dus cos(a) = 1 als A = k 2π 5

6 12.0 Voorkennis Voorbeeld 6: Los de vergelijking cos(a) = -1 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 1. Dit is in het punt (1,0) (1,0) heeft draaiingshoek π (1,0) heeft draaiingshoek 3π enz. enz. enz. Dus cos(a) = 1 als A = π + k 2π 6

7 12.0 Voorkennis Voorbeeld 7: Bereken exact cos(3x ½π) = 1 3x ½ π = k 2π 3x = ½ π + k 2π x k Voorbeeld 8: Bereken exact cos 2 (3x ½π) = 1 cos(3x ½π) = 1 cos(3x ½π) = -1 3x ½ π = k 2π 3x ½ π = π + k 2π 3x = ½ π + k 2π 3x = 1½ π + k 2π x 1 2 k x k

8 12.0 Voorkennis cos( ) = -cos( ) = -cos(30 ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -sin(60 )= -½ 3 [sin is y-coördinaat] 8

9 12.0 Voorkennis Voorbeeld 9: 2sin(3 x) 3 sin(3 x) x k 2 of 3x k x k of x k Zorg dat links enkel sinus staat Zoek in eenheidscirkel bij welke draaiingshoek de y-coördinaat ½ 3 is Schrijf de oplossing in de vorm x = De oplossingen op het interval [0, 2π] zijn:,,1 en , 9, Algemeen geldt: sin(a) = C geeft A = B + k 2π of A = π B + k 2π 9

10 Voorbeeld 10: 2cos(2x - ) Voorkennis Zorg dat links enkel cos staat 1 1 cos(2x - ) Zoek in eenheidscirkel bij welke x - k 2 of 2x - k 2 draaiingshoek de x-coördinaat -½ 2 is De oplossingen op het interval [0, 2π] zijn: x k 2 of 2x k x k of x k ,1 en ,1 Algemeen geldt: cos(a) = C geeft A = B + k 2π of A = B + k 2π 10

11 12.0 Voorkennis Voorbeeld 11: sin( x1) sin(2x3) x 1 2x 3k 2 of x 1 (2x 3) k 2 x 4 k 2 of x 1 2x 3k 2 x 4 k 2 of 3x 2 k x 4k 2 of x k Maak gebruik van de regel: sin(a) = sin(b) geeft A = B + k 2π of A = π B + k 2π 11

12 Voorbeeld 12: 12.0 Voorkennis 1 cos(3 x) cos( x ) x x k 2 of 3 x ( x ) k x k 2 of 3x x k x k of 4x k x k of x k De oplossingen op het interval [0, 2π] zijn: 7 7,1 8 8 en ,,1, Maak gebruik van de regel: cos(a) = cos(b) geeft A = B + k 2π of A = B + k 2π 12

13 Gegeven is de functie 12.0 Voorkennis f ( x) 1 1 sin(2 x ) Deze functie valt te schrijven als: f ( x) 1 1 sin(2( x )) De vier kenmerken van de functie zijn: a = evenwichtsstand [= -1] b = amplitude [= 1½ ] periode = 2π/c [= 2π/2 = π] d = x-coördinaat beginpunt 1 [= ] 3 Let op: b > 0 dus de grafiek gaat stijgend door het beginpunt; Bij b < 0 gaat de grafiek dalend door het beginpunt; De y-coördinaat van het beginpunt is de evenwichtsstand [-1]. 13

14 12.0 Voorkennis Voor het differentiëren van sinus- en cosinusfuncties gelden de volgende regels: f(x) = sin(x) => f (x) = cos(x) g(x) = cos(x) => g (x) = -sin(x) h(x) = tan(x) => h (x) = 1 + tan 2 (x) f(x) = sin(x) => F(x) = -cos(x) + c g(x) = cos(x) => G(x) = sin(x) + c De primitieven van f(ax + b) zijn 1 F( ax b) c a 14

15 12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [1] De volgende goniometrische functies worden vanaf nu bekend verondersteld: sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) -sin(a) = sin(a + π) -cos(a) = cos(a + π) sin(a) = cos(a ½π) cos(a) = sin(a + ½π) tan(a) = sin(a)/cos(a) EN sin 2 (A) + cos 2 (A) = 1 Let op: Al deze goniometrische functies zijn te herleiden met behulp van de eenheidscirkel. 15

16 12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [1] Voorbeeld: Bereken exact de oplossingen op [0, 2π] van 1 1 sin(2 x ) cos( x ) sin(2 x ) cos( x ) sin(2 x ) cos( x 1 ) sin(2 x ) sin( x 1 ) x x 1 k 2 2 x ( x 1 ) k x 2 k 2 2x x 1 k x 2 k 2 3x k x 2 k 2 x k x op[0,2 ] geeft x x x 1 x cos(a) = cos(a + π) cos(a) = sin(a + ½ π) 16

17 12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [2] De volgende goniometrische functies worden vanaf nu bekend verondersteld: Vier verdubbelingsfuncties: sin(2 A) 2sin( A)cos( A) 2 2 cos(2 A) cos ( A) sin ( A) 2 cos(2 A) 2cos ( A) 1 2 cos(2 A) 1 2sin ( A) Twee somformules: cos( t u) cos( t) cos( u) sin( t) sin( u) sin( t u) sin( t) cos( u) cos( t) sin( u) Twee verschilformules: cos( t u) cos( t) cos( u) sin( t) sin( u) sin( t u) sin( t) cos( u) cos( t) sin( u) Let op: 1) Deze formules worden Afgeleid in de opgaven 8, 9 en 10. 2) Deze formules worden Gegeven bij het CE. 17

18 12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [2] Voorbeeld: Bewijs de verschilformule cos( t u) cos( t) cos( u) sin( t) sin( u) (In dit bewijs heb je de cosinusregel en De stelling van Pythagoras nodig) AB OA OB OA OB 2 cos( ) 2 2 ( xb x A ) ( ya yb ) cos( ) x 2x x x y 2 y y y 2 2cos( ) B A B A A A B B x y x y 2x x 2 y y 2 2cos( ) A A B B A B A B x y cos ( A) sin ( A) A A 1 1 2x x 2 y y 2 2cos( ) A B A B 2cos( ) 2x x 2 y y A B A B cos( ) x x y y A B A B cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) 18

19 12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1] De grafiek van de functie f(x) = sin(x) is lijnsymmetrisch in de lijn x = 1,5π. Er geldt nu: f(π) = f(2π) EN f(1,25π) = f(1,75π) EN f(1,1π) = f(1,9π) In zijn algemeenheid geldt nu: f(1,5π - p) = f(1,5π + p): Definitie: De grafiek van de functie f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a als voor elke p geldt: f(a p) = f(a + p) 19

20 12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1] De grafiek van de bovenstaande sinusfunctie is puntsymmetrisch in het punt (a, b). Voor elke p geldt nu: f(a p) b = b f(a + p) f(a p) + f(a + p) = 2b Definitie: De grafiek van de functie f is puntsymmetrisch in het punt(a, b) als voor elke p geldt: f(a p) + f(a + p) = 2b 20

21 12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1] Voorbeeld 1: Toon aan dat de grafiek van f(x) = sin 2 (x) + cos(x) symmetrisch is in de y-as. (De lijn x = 0) f(-p) = sin 2 (-p) + cos(-p) = (sin(-p)) 2 + cos(p) [cos(-p) = cos(p)] =(-sin(p)) 2 + cos(p) [sin(-p) = -sin(p)] = sin 2 (p) + cos(p) = f(p) 21

22 12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1] Voorbeeld 2: Toon aan dat de grafiek van f(x) = sin 2 (x) + cos(x) symmetrisch is in de lijn x = π f(π p) = sin 2 (π p) + cos(π p) = (sin(π - p)) 2 - cos(-p) [cos(a + π) = -cos(a)] = (-sin(-p)) 2 cos(p) [sin(a + π) = -sin(a)] [cos(-a) = cos(a)] = sin 2 (p) cos(p) f(π + p) = sin 2 (π + p) + cos(π + p) = (sin(π + p)) 2 cos(p) [cos(a + π) = -cos(a)] = (-sin(p)) 2 cos(p) [sin(a + π) = -sin(a)] = sin 2 (p) cos(p) 22

23 12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [2] Voorbeeld: Bereken de afgeleide van de functie: f x ( ) cos 2(4 x) cos(2 A) 2cos 2( A) 1 2cos 2( A) 1cos(2 A) 2 cos ( A) cos(2 A) met A 4x f x x x 2 2 F( x) x sin(8 x) c ( ) cos 2(4 ) cos(8 ) Let op: Je kunt de gegeven functie zo niet primitiveren. Met behulp van een verdubbelingsformule is de functie te herleiden tot een vorm, die je wel kunt primitiveren. 23

24 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 3. Dit is een eenparige cirkelbeweging; x A = 3 cos(t) en y A = 3 sin(t); Op t = 0 is A in het punt (3, 0); De omlooptijd T van A is 2π seconden, omdat A na 2π seconden weer terug is in het punt (3,0); Een cirkel is 360 en dus 2π radialen; Het lijnstuk OA draait over een hoek van 2π radialen; 24

25 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] In 2π seconden draait OA over een hoek van 2π radialen; De hoeksnelheid ω is de hoek waarover OA gedurende 1 seconde draait; Hoeksnelheid = omlooptijd T 2 Als de hoeksnelheid positief is, draait het punt tegen de wijzers van de klok in; Als de hoeksnelheid negatief is, draait het punt met de wijzers van de klok mee. 25

26 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] Voorbeeld 1: Het punt R doorloopt met een hoeksnelheid van 6 rad/s de cirkel met middelpunt (3,5) en straal 2 en is op t = 0 in het punt (5,5). De bewegingsvergelijkingen van R zijn: x R (t) = 3 + 2cos(6t) y R (t) = 5 + 2sin(6t) Deze formules samen beschrijven de baan van R en noemen we de parametervoorstelling (pv) van de baan van R. Algemeen: x R (t) = a + rcos(ωt) y R (t) = b + rsin(ωt) (a,b) is het middelpunt van de cirkel; r = straal van de cirkel; ω = hoeksnelheid in rad/s; op t = 0 is R in het punt (a + r, b) 26

27 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] Voorbeeld 2: De baan van het punt R is gegeven door: x R (t) = 3 + 2cos(2t) en y R (t) = 5 + 2sin(2t) met t op [0, ½π] Teken de baan van R. Stap 1: R beweegt over een cirkel met middelpunt (3,5) en straal 2; Op t = 0 is R in het punt (3 + 2, 5) = (5,5); ω = 2 [positief], dus P draait tegen de wijzers van de klok in. Stap 2: De hoek waarover R draait op [0, ½π] loopt van 2 0 tot 2 ½π = π; De baan is dus een halve cirkel met middelpunt (3,5) en straal 2. Stap 3: Op t = ½π geldt: x P = 3 + 2cos(2 ½π) = 3 + 2cos(π) = = 1 y P = 5 + 2sin(2 ½π) = 5 + 2sin(π) = = 5 27

28 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] Voorbeeld 2: De baan van het punt R is gegeven door: x R (t) = 3 + 2cos(2t) en y R (t) = 5 + 2sin(2t) met t op [0, ½π] Teken de baan van R Stap 4: Teken de baan van punt R: 28

29 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] Voorbeeld 3: De baan van het punt R is gegeven door: x R (t) = 3 + 2cos(2t) en y R (t) = 5 + 2sin(2t) met t op [0, ½π] De baan van P snijdt de lijn y = x + 2 in punt A. Bereken exact de coördinaten van dit punt. Stap 1: Vul de parametervergelijking in, in y = x + 2 y = x sin(2t) = 3 + 2cos(2t) + 2 Stap 2: Los de vergelijking die je nu krijgt op: 5 + 2sin(2t) = 3 + 2cos(2t) + 2 2sin(2t) = 2cos(2t) sin(2t) = cos(2t) 29

30 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1] Stap 2: Los de vergelijking die je nu krijgt op: 5 + 2sin(2t) = 3 + 2cos(2t) + 2 2sin(2t) = 2cos(2t) sin(2t) = cos(2t) Gebruik: sin(a) = cos(a = ½π) cos(2t ½π) = cos(2t) 2t ½π = 2t + k 2π 2t ½π = -2t + k 2π Geen oplossing 4t = ½π + k 2π t = + k ½π In het interval [0, ½π] is er nu één oplossing bij: x = Stap 3: Geef de coördinaten van het snijpunt A: x A 3 2cos(2 ) 3 2cos( ) ya 5 2sin(2 ) 5 2sin( )

31 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[2] Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; P doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt P voert een harmonische trilling (of harmonische beweging) uit; Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P van P op de y-as; Een trilling heeft een trillingstijd; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 31

32 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[2] u 3sin 2 5 t is een harmonische trilling. De trillingstijd is 5 seconden. De frequentie in hertz (Hz) is het aantal trillingen per seconde. Dit is 1/5 Hz. De amplitude (maximale uitwijking) is 3. Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f hoort een formule van de vorm: u = b sin(c(t t 0 )) met c = 2πf en t de tijd in seconden. Op t = t 0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. De trillingstijd is 1 2 T seconden. f c 32

33 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[2] Voorbeeld: Gegeven is het harmonisch trillende punt P dat beschreven wordt door en u P = 8 sin (50πt 1/10π) Bereken de frequentie en de afgelegde afstand van P in één minuut. De frequentie is gelijk aan De afgelegde afstand per trilling is 4 8 = 32 cm Er zijn 25 trillingen per seconde, dus per minuut zijn er = 1500 trillingen. De afgelegde afstand in één minuut is = cm = 360 m Hz 33

34 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[3] Voorbeeld: Gegeven zijn de harmonische trillingen u 1 = 5sin(30πt) en u 2 = 6sin(30πt 0,3π). De samengestelde trilling (de som van twee of meer trillingen) wordt weergegeven door u = u 1 + u 2. Als de opgetelde trillingen gelijke frequenties hebben, krijg je weer een harmonische trilling. Stel de formule op van u in de vorm u = b sin(c(t d)) Rond b af op twee decimalen en d op vier decimalen. Stap 1: u 1 en u 2 hebben dezelfde frequentie, dus c = 30πt. Stap 2: Voer in de GR in: Y1 = 5sin(30πX) + 6sin(30πX 0,3π) De optie maximum geeft X 0,02 en Y 9,81. De amplitude (b) is dus gelijk aan 9,81 Stap 3: De optie zero geeft X 0,0055. Op het tijdstip 0,0055 passeert de grafiek de evenwichtsstand omhoog. (d = 0,0055) De formule van u wordt nu: u = 9,81 sin(30π(t 0,0055)) 34

35 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[4] Voorbeeld 1: Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(7x) De periode van y = sin(6x) is 2 6 De periode van y = sin(7x) is In [0, 2π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, 2π] passen precies 7 periodes van y = sin(7x). De getallen 6 en 7 hebben geen gemeenschappelijke deler. 2 7 De periode van y = sin(6x) + sin(7x) is gelijk aan 2π. 35

36 12.3 Eenparige cirkelbewegingen[4] Voorbeeld 2: Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(9x) De periode van y = sin(6x) is 2 6 De periode van y = sin(9x) is In [0, 2π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, 2π] passen precies 9 periodes van y = sin(9x). De getallen 6 en 9 hebben als gemeenschappelijke deler In [0, 2/3π] passen precies 2 periodes van y = sin(6x). In [0, 2/3π] passen precies 3 periodes van y = sin(9x). De periode van y = sin(6x) + sin(9x) is gelijk aan 2/3π. 36

37 12.4 Bewegingsvergelijkingen [1] Voorbeeld 1: De baan van een punt P is gegeven door: x( t) sin(2 t) met t op [0, 2π] y( t) sin( t) De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x. Bereken exact de lengte van lijnstuk AB. Invullen van de uitdrukkingen voor x en y in de vergelijking van de lijn geeft: sin(t) = sin(2t) t = 2t + k 2π t = π 2t + k 2π -t = k 2π 3t = k 2π t = k 2π t = ⅓π + k ⅔π Op t = [0, 2π] geeft dit de oplossingen: t = 0 t = ⅓π t = π t = 1⅔π t = 2π 37

38 12.4 Bewegingsvergelijkingen [1] Voorbeeld 1: De baan van een punt P is gegeven door: x( t) sin(2 t) met t op [0, 2π] y( t) sin( t) De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x. Bereken exact de lengte van lijnstuk AB. Op t = 0, t = π en t = 2π krijg je de oorsprong. x(⅓π) = sin(⅔π) = ½ 3 x(1⅔π) = sin(3⅓π) = -½ 3 B(½ 3, ½ 3) A(-½ 3, -½ 3) De lengte van het lijnstuk AB is gelijk aan: AB

39 12.4 Bewegingsvergelijkingen [1] Voorbeeld 2: De baan van een punt P is gegeven door: x( t) sin(2 t) met t op [0, 2π] y( t) sin( t) De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x. Bereken exact de baansnelheid van P in het punt B. De baansnelheid is te berekenen met: v( t) ( x'( t)) ( y'( t)) 2 2 x (t) = 2cos(2t) en y (t) = cos(t) cos cos v

40 12.4 Bewegingsvergelijkingen [1] Voorbeeld 3: De baan van een punt P is gegeven door: x( t) sin(2 t) met t op [0, 2π] y( t) sin( t) De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x. Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek die de baan in B maakt met de lijn y = x. Stap 1: Bereken de snelheidsvector van de baan in B. v x '( ) 2cos( ) y'( ) cos( )

41 12.4 Bewegingsvergelijkingen [1] Voorbeeld 3: De baan van een punt P is gegeven door: x( t) sin(2 t) met t op [0, 2π] y( t) sin( t) De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x. Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek die de baan in B maakt met de lijn y = x. Stap 2: Bereken de richtingsvector van de lijn y = x. r yx

42 12.4 Bewegingsvergelijkingen [1] Voorbeeld 3: De baan van een punt P is gegeven door: x( t) sin(2 t) met t op [0, 2π] y( t) sin( t) De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x. Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek die de baan in B maakt met de lijn y = x. Stap 3: Bereken de gevraagde hoek cos( ) cos( ( v 3, r y x )) ( 1) Dit uitrekenen geeft als hoek 71,

43 12.4 Bewegingsvergelijkingen [2] Voorbeeld: 1 x( t ) sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = 2x 2 1 y( t ) sin(2 t) met -1 x 1. Toon dit aan. y 2 2x sin(2 t) cos(2( t )) 4 1 sin(2 t) cos(2 t ) 2 1 sin(2 t) cos(2t1 ) 2 sin(2 t) sin(2t 2 ) 2 sin(2 t) 2(sin( t )) 1 sin(2 t) sin(2 t) cos(2a) = 1-2 sin 2 (A) 2 sin 2 (A) -1 = - cos(2a) -cos(a) = cos(a + π) cos(a) = sin(a + ½π) sin(a + 2π) = sin(a) 43

44 12.4 Bewegingsvergelijkingen [2] Voorbeeld: 1 x( t ) sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = 2x 2 1 y( t ) sin(2 t) met -1 x 1. Toon dit aan. Een bewegend punt P waarvan de baan beschreven wordt door de bovenstaande parametervoorstelling doorloopt voortdurend de hiernaast getekende parabool tussen (-1, 1) en (1, 1). In de punten (-1, 1) en (1, 1) keert het punt P om. Dit zijn de keerpunten. In deze keerpunten hebben de formules voor x en y uit de parametervoorstelling beide een extreme waarde. 44

45 12.4 Bewegingsvergelijkingen [3] Voorbeeld 1: De baan van het punt P wordt gegeven door: x( t) 2sin( t) met t op [0, π] y( t) 2sin(2 t) Het lijnstuk OP is de zijde van een vierkant. Het punt S is het middelpunt van dit vierkant. Stel de bewegingsvergelijkingen van S op. 2sin( t) 2sin(2 t) sin( t) sin(2 t) s p p 2 2 L 2 2 2sin(2 t) 2sin( t) sin(2 t) sin( t) 45

46 12.4 Bewegingsvergelijkingen [3] Voorbeeld 2: De baan van het punt P wordt gegeven door: x( t) 2sin( t) met t op [0, π] y( t) 2sin(2 t) Het lijnstuk OP is de zijde van een vierkant. Het punt S is het middelpunt van dit vierkant. Bereken exact de coördinaten van de baan van S met de y-as. sin(t) sin(2t) = 0 sin(t) = sin(2t) t = 2t + k 2π t = π 2t + k 2π -t = k 2π 3t = k 2π t = k 2π t = ⅓π + k ⅔π met t op [0, π] geeft dit als oplossing t = ⅓π Dit invullen in y(t) geeft als snijpunt S(0, 3) 46