Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Transcriptie

1 oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door en D. ( F -figuurd ) 3 ( Z -figuur D ) (gestrekte hoek) uitenhoek van 3 of uitenhoek van (stelling van de uitenhoek) V-a 1 F 1 F en F zijn congruent F F F is een hoogtelijn F 90 ( F F 90 ), en F F F F ( ZZR ) c De zwaartelijn vanuit zodat F F, met en F F (ZZZ). d F is het midden van en F F gaat door het midden van en staat loodrecht op, dus is de middelloodlijn van. 95

2 oderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 139 V-3 1 R (straal cirkel) dus R en R zijn gelijkenig. De ijehorende asishoeken zijn gelijk: R 1 en R De hoeken van een driehoek zijn samen 180 of R R Vervang door R 1 en door R dit geeft: R R R R R 90 dus QR is rechthoekig. 1 V-4a D en D 1 1 c lsd, dan is het midden van D en van ls D, dan is het midden van D en d D is een parallellogram D D 1 (evenwijdige zijden van een paralellogram) D 1 (ZHZ) D en is het midden van en D V-5a c De diagonalen van een rechthoek zijn evenlang en delen elkaar middendoor. Dus de afstand van het snijpunt van de diagonalen tot de hoekpunten is gelijk en gelijk aan de straal van een cirkel met als middelpunt het snijpunt van de diagonalen. Dus de hoekpunten liggen op een cirkel. Door de hoekpunten van een rechthoek kan een cirkel worden getekend. De omkering: als de hoekpunten van een vierhoek op een cirkel liggen is de vierhoek een rechthoek, is niet waar. tel twee hoekpunten, en, liggen op de middellijn van de cirkel. Neem D 30, en D liggen op de cirkel, dus D 90 D 60 en D ewering is niet waar. 96

3 oderne wiskunde 9e editie vwo deel V-6a Q c Van Q en zijn de tophoeken ( ) gelijk. De verhouding van de zijden is 1 :. Dus de driehoeken zijn gelijkvormig 1 met vergrotingsfactor Q. De ijehorende hoeken zijn dus ook gelijk. Q Q / / ( F -figuur). is het midden van (zie figuur ij a). Teken hulplijn Q. Q ~ : analoog ewijs als ij Q en. Dan geldt: Q Q en Q Q en Q Q Q Q ( HZH ) Dus Q 1. Eerste hulplijn: Q Q Q want: Q Q (overstaande hoeken) Q Q en Q Q (ZHZ) Dus, daar geldt Q Q ( Z -figuur). is dan een parallellogram:, of Q Q 1 1 Tweede hulplijn: Q 97

4 oderne wiskunde 9e editie vwo deel Q Q want: Q Q ( Z -figuur, / / ) Q Q (overstaande hoeken) en Q Q ( HZH ) is dan een parallellogram:, / / of / / Q Q 1 1 V-7a (gelijkenige driehoek), E D 90 (hoogtelijn) en E D ( ZHH ) E D ls de hoogtelijnen uit de asishoeken even lang zijn is de driehoek gelijkenig. c De omkering is waar. E D E D (ZZR) E D E D 90 is gelijkenig. 5.1 iddelloodlijnen ladzijde 140 1a rie zal vermoedelijk naar ron gaan, want die lijkt het dichtst ij., en 1 3 ijvooreeld. c Teken de lijn door het midden van het verindingslijnstuk van ron 1 en ron 3. Deze lijn moet ook loodrecht op dat verindingslijnstuk staan. (Zie de tekening hieroven.) d Teken de lijn zoals eschreven ij opdracht c. Ook deze lijn staat in de tekening hieroven. e Het snijpunt van de ij opdracht c en opdracht d getekende lijnen ligt even ver van ron 1 als van ron en ron 3. f Ja, ook die grenzen gaan door het midden van verindingslijnstukken van de ronnen. g

5 oderne wiskunde 9e editie vwo deel a c Voor moet je ewijzen dat het punt even ver van als van ligt. Je kunt de driehoeken en geruiken en daarmee een congruentiestelling, namelijk het geval ZHZ. Gegeven: ligt op de middelloodlijn van. Te ewijzen: =. ewijs: 90 (ZHZ) ' ' 3a - Q c anpak 1 Teken de loodlijn Q op, Gegeven:, Q Q 90 Te ewijzen: Q Q ewijs: ( gegeven) Q Q 90 Q Q (ZZR) Q Q Q Q Q gaat dus door het midden van en staat loodrecht op en is de middelloodlijn van. 99

6 oderne wiskunde 9e editie vwo deel Of aanpak Gegeven:, Te ewijzen: 90 ewijs: (gegeven) (gegeven) (ZZZ) 90 Dus en gaat door het midden van en is de middelloodlijn van. ladzijde straal, straal en straal straal ver van als, dus liggen op de middelloodlijn van. 1 1 en liggen even 5a want dan ligt ook op de middelloodlijn van. c Gegeven: Te ewijzen: de middelloodlijnen van de driehoek gaan door 1 punt ewijs: Teken de middelloodlijnen van en. Het snijpunt is. (middelloodlijn ) en (middelloodlijn ), dus of. ligt dus evenver van als, dus ligt op de middelloodlijn van. Dus de middelloodlijnen gaan door 1 punt. 100

7 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 6a De middelloodlijnen van de zijden van een gaan door 1 punt,. Dus geldt: straal van een cirkel met middelpunt. Er is dus 1 middelpunt en ook 1 cirkel door, en. 6, cirkel (, 5), Op cirkel 1 1 ligt cirkel (, 3), Op cirkel ligt Dus is het snijpunt van de cirkels. Teken de middelloodlijnen van en. Deze snijden elkaar in het middelpunt van de cirkel door, en. 7 ewijs: Teken lijnstuk R. Er geldt: R R is gelijkenig. R R (1) Er geldt: Q R QR is gelijkenig. RQ RQ () R RQ RQ 180 R R RQ RQ 180 (1) en () : R R RQ RQ 180 R RQ 180 R RQ 90 RQ 90 driehoek RQ is rechthoekig. 5. Deellijnen ladzijde 14 8a - Rio Verde Rio lanco Rio Grande De deellijnen van de hoeken vormen de grenzen van de geieden. 9a d(, l) d(, m) T T c Te ewijzen: ls op de deellijn van ligt dan geldt: d(, l) d(, m). ewijs: Vanuit loodlijnen op de enen van tekenen. T 90,, T ( deellijn van ) T ( ZHH ) T d(, l) d(, m) 101

8 oderne wiskunde 9e editie vwo deel d Te ewijzen: ls d(, l) d(, m) dan ligt op de deellijn van. ewijs: d(, l) d(, m) dus T, T 90, T ( ZZH ): T is de deellijn van. 10a i i i 1 i 4 en ( l en l zijn deellijnen) (lijn door en, gestrekte hoek ij ) geeft: l l en ( l en l zijn deellijnen) (lijn door en, gestrekte hoek ij ) geeft: l l ij a was gevonden: 90, met 90 geeft dit: , dus l en l 4 vormen een rechte lijn. ladzijde a fstanden. Te ewijzen: De deellijnen van een driehoek gaan door 1 punt. ewijs: In snijden de deellijnen van en elkaar in. d(, ) d(, ), d(, ) d(, ), omdat op de deellijn van ligt. Omdat d(, ) in de driehoek een vaste waarde heeft, geldt: d(, ) d(, ). Dus ligt even ver van als van en ligt dus op de deellijn van. Hieruit volgt: de deellijnen van een driehoek gaan door 1 punt. 1a, Het snijpunt van de deellijnen van is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. is het snijpunt van de loodlijn, uit op, met. 10

9 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 13a E Zie tekening ij a. E ligt op en de deellijn van. E E, E E, (gelijkzijdige ) E E ( ZHZ ), E E E E, samen zijn zij 180 (gestrekte hoek), dus elk 90. E gaat door het midden van en staat loodrecht op, dus E is de middelloodlijn. 14a tralen en zijn de hulplijnen (straal cirkel) Loodlijn vanuit op snijdt in. 90,. ( ZZH ) of in het midden van. 15 Te ewijzen: De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van een cirkel ewijs: Koorde. De middelloodlijn snijdt de koorde in. Op de middelloodlijn ligt een willeurig punt. Dus en 90. ( ZHZ ):, dus elk punt op de middelloodlijn ligt even ver van als van. Dit moet ook voor het middelpunt gelden, dus het middelpunt ligt op de middelloodlijn. 103

10 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 5.3 eetkundige plaatsen ladzijde a Het snijpunt van de middelloodlijnen van D en D is met D en D, dus D. ls gelijk moet zijn aan, dan moet op de middelloodlijn van liggen. Dus ligt dan even ver van, D, en. is het snijpunt van de middelloodlijnen. Q R straal van de cirkel met middelpunt. Dus de punten, Q, R en liggen op een cirkel met middelpunt. c Het middelpunt van een cirkel door vier punten is het snijpunt van middelloodlijnen van de verindingslijnen van de opeenvolgende punten. 17a T c Teken loodlijn T op en op. T ( twee gelijke hoeken en dus ook de derde, en een gemeenschappelijke zijde ): T of d(, ) d(, ) Waar. lle punten die even ver van twee snijdende lijnen liggen, liggen op de deellijn van etreffende hoek. ligt even ver van de lijnen en ligt dus op de deellijn. De ijehorende eigenschap van de meetkundige plaats is geruikt. ladzijde a,c De raaklijn in het gemeenschappelijke raakpunt staat loodrecht op de ijehorende stralen R en R, dus R en R liggen in elkaars verlengde dus, R en liggen op dezelfde lijn. R d : cirkel(, 7 ), : cirkel(, 3) 104

11 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 19a D E F Twee lijnstukken veronden door twee halve cirkels c,d l 1 m D 0a Er zijn twee cirkels die aan alledrie de lijnen raken. De cirkel raak t aan m en n dus het middelpunt ligt op de middenparallel p van m en n. De cirkel raakt aan l en m, dus het moddelpunt ligt op de deelllijnen d 1 en d van de hoeken van l en m. De lijn p en de lijnen d 1 en d snijden elkaar in 1 en. Dit zijn de gevraagde middelpunten. d 1 l d m p 1 n 1a c d middelloodlijn van verindingslijnstuk de twee deellijnen van de twee hoeken tussen de lijnen concentrische cirkel snijpunt van de deellijnen van de drie hoeken van de driehoek 5.4 onstrueren ladzijde 146 a ligt even ver van l als m ligt op een afstand van k de deellijn van de hoek tussen l en m, een lijn evenwijdig aan k op een afstand van k 105

12 oderne wiskunde 9e editie vwo deel c Het middelpunt moet zowel op een lijn liggen, welke zowel op van k ligt, als op de deellijn van de hoek tussen l en m. Dit resulteert in 4 middelpunten: 1,, 3 en 4 met ijehorende cirkels. c 4 4 m c 3 3 c 1 1 c T k l ladzijde Voorwaarde 1: d(, l) = d(, m): construeer de middenparallel van l en m. Voorwaarde : r : construeer de cirkel (, r). De middenparallel en de cirkel snijden in twee punten. Dit zijn de gevraagde punten. l R 1 r R 1 m 4 l R m onstructiestappen: 1. Loodlijn in R op l. R en verinden 3. iddelloodlijn van R tekenen 4. iddelpunt is het snijpunt van de loodlijn en middelloodlijn. 5. Teken cierkel met middelpunt en straal R 106

13 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 5a 1 Q R 1 is het snijpunt van: middelloodlijn QR en de lijn door en R, straal= R 1 Q R 1 Het middelpunt 1 van de cirkel is het snijpunt van de lijn door en R en de middelloodlijn van Q. straal = R 1 6a c cirkel c : raakt lijn l, raakt cirkel c 1 en heeft een straal - middelpunt 1 ligt op een lijn evenwijdig aan l op een afstand ; raakt l en heeft straal - middelpunt 1 ligt op een cirkel, middelpunt en een straal van r of r F D E d 1 I J G Q H lijn l is de lijn door enq. De lijnen door G en H, evenwijdig met l, liggen vast t.o.v. de lijn door en Q. irkel c en de cirkels met stralen r en r lijven op hun plaats. Door l te verschuiven verandert het aantal snijpunten van de lijnen met de cirkels. 107

14 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 1. l en lijng : onder cirkels geen snijpunten;. lijn G raakt uitenste cirkel: 1 snijpunt of middelpunt 3. lijn G snijdt uitenste cirkel: snijpunten of middelpunten 4. lijn G raakt innencirkel en lijn H raakt uitencirkel: er komen snijpunten ij dus 4 snijpunten of middelpunten 5. lijn G snijdt innencirkel en lijn H snijdt uitencirkel: 6 snijpunten of middelpunten 7 1 is raakpunt, middelpunt op de lijn door en en zijn raaklijnen; middelpunt ligt evenver van de raakpunten en dus raaklijnen, ligt op deellijnen van de hoek tussen lijnen en. nijpunten: 1 en ; straal 1 of 5.5 Gemengde opdrachten ladzijde Teken. D D, D is gelijkenig, dus de asishoeken zijn gelijk of D D. et D ( Z -figuur) geeft dit D, dus is de issectrice van. 9 R R (straal cirkel) R is gelijkenig asishoeken gelijk R R R, R raaklijn R R R R ( Z -figuur) R R en R R R R 108

15 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 30a D l E c N F c 1 is een gemeenschappelijk raakpunt, raaklijn staat dan loodrecht op N en dus N en liggen in elkaars verlengde of, N en liggen op een lijn. c, is gelijkenig, asishoeken gelijk of N NF, NF is gelijkenig, asishoeken gelijk of NF NF uitenhoek van uitenhoek van EN ( NE, F -figuur)= uitenhoek van NF uitenhoek van NF NF NF NF =uitenhoek van, dus: NF, dan is F een rechte lijn die gesneden wordt door de lijn N, waarij de overstaande hoeken NF en gelijk zijn. d D l E N c 1 c F Dit geldt ook als de cirkels elkaar inwendig raken. eschouw nu enne. EN dus van eide gelijkenige driehoeken zijn de asishoeken gelijk dus NE. / / EN dus E en E heen dezelfde richting en lopen vanuit punt E in dezelfde richting of ligt E op de lijn. 31a D en E zijn parallellogrammen (overstaande zijden lopen evenwijdig) ij een parallellogram zijn de overstaande zijden gelijk: D E is het midden van DE ( D E ). De hoogtelijn staat loodrecht op en dus op DE omdat DE / /. Dus de hoogtelijn is de middelloodlijn van DE. 109

16 oderne wiskunde 9e editie vwo deel c D d De drie hoogtelijnen van zijn de middelloodlijnen van DEF. Er is ewezen dat de middelloodlijnen door 1 punt gaan, dit is tevens het snijpunt van de hoogtelijnen, dus de hoogtelijnen gaan ook door 1 punt. D E F In de tekening met een stompe snijden de hoogtelijnen van elkaar in het snijpunt van de middelloodlijnen van DEF. ladzijde 149 3a Het middelpunt van de aangeschreven cirkel ligt even ver van E als D dus op de issectrice van. Het middelpunt van de ingeschreven cirkel ligt even ver van en dus op de issectrice van. eide middelpunten liggen op de issectrice van, die door gaat. en de middelpunten liggen op 1 lijn. Verleng zijde en kies hierop een punt F. onstrueer de deellijnen van en F, deze snijden elkaar in N. De cirkel (N, d(n, )) is een aangeschreven cirkel van driehoek. Verleng zijde en kies daarop een punt G. onstrueer de deellijnen van en G, deze snijden elkaar in. De cirkel (, d(, )) is een aangeschreven cirkel van driehoek. G N F 110

17 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 33a De stralen 1 en staan in het raakpunt loodrecht op de raaklijn T en liggen dus in elkaars verlengde. 1, en liggen op dezelfde lijn. T Q 1, T T, T T 90, T T( ZZH ), dus T = T Q, T T, T QT 90, QT T ( ZZH ), dus TQ = T Dus T T TQ of, en Q liggen op een cirkel met middelpuntt. 34a c in D 111

18 oderne wiskunde 9e editie vwo deel,,, ( ZHZ ), dus: D omdat D geldt: D, dus D D. In D zijn dan twee asishoeken gelijk, dus D D. ls verandert zal veranderen, maar de afstand van tot D lijft gelijk aan D. eweegt op een cirkel met middelpunt D en straal D. Test jezelf ladzijde 15 T-1 Q dus ligt evenver van als Q en ligt dus op de middelloodlijn van Q. Q dus ligt evenver van als Q en ligt dus op de middelloodlijn van Q. 1 en zijn twee punten van de middelloodlijn, dus de lijn door 1 en is de middelloodlijn van koorde Q. T-a D Deellijn D van geeft d( D, ) d( D, ). Deellijn D van uitenhoek geeft d( D, ) d( D, ) Dus d( D, ) d( D, ) d( D, ) en dit etekent dat D evenver van als ligt en op de deellijn van uitenhoek van moet liggen: de deellijnen gaan door hetzelfde punt. E is het snijpunt van de deellijnen van de uitenhoeken van en. Loodlijn vanuit op : snijpunt E. irkel met middelpunt en straal E is de gevraagde cirkel. 11

19 oderne wiskunde 9e editie vwo deel T-3a l D E,c Door en dus de lijn door te veranderen is het spoor van de eeldpunten van zichtaar: ij een cirkel met middelpunt en straal. d 1 is het spiegeleeld van ij spiegelen in., en 1 1 ( ZHZ ) 1 Dus het eeld van ligt op een cirkel met middelpunt en straal. T-4 I p H 1 D E q J F 3 4 G q : lijn door en ; p : lijn door en. Deellijnen van tekenen. Op een afstand van van twee lijnen tekenen. Deze snijden de deellijnen in de middelpunten: 1,, 3 en 4. irkels met straal vanuit de middelpunten tekenen. T-5a Het middelpunt van de cirkel ligt even ver van elk punt op de cirkelomtrek. 113

20 oderne wiskunde 9e editie vwo deel Neen drie punten, en op de cirkel. Het snijpunt van de middelloodlijnen van en is het middelpunt van de cirkel. ladzijde 153 T-6a uitenhoek van is gelijk aan de som van de asishoeken ij en. De driehoek is gelijkenig dus de asishoeken zijn gelijk. Dus de uitenhoek is keer de asishoek. De deellijn van de uitenhoek verdeelt deze hoek in twee gelijke hoek, die weer gelijk zijn aan de asishoek. maakt dan dezelfde hoek met als de deellijn door, zodat ( Z -figuur) de deellijn en evenwijdig zijn. ls de issectrice van de uitenhoek van de tophoek van een driehoek evenwijdig loop met de asis is de driehoek gelijkenig. c uitenhoek ; helft van uitenhoek omdat de issectrice evenwijdig loopt met ( Z -figuur). aar dan is de andere helft en dus gelijk aan. is gelijkenig (gelijke asishoeken). T-7a D D en D D D en D zijn gelijkenig D D en D D D is een deellijn D D 114

21 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 0, 5, 180 1, 5, 180 c uitenhoek D som van de innenhoeken: D D D uitenhoek D, 180, , 7 en 36 T-8a onstrueer de deellijnen d 1 en d van de hoeken van l en m. Kies op d 1 een punt 1 en teken de cirkel met middelpunt 1 en straal d( 1, l). Teken de lijnen p en q evenwijdig aan l zodat d(l, p) = d(l, q) = p en q snijden d 1 en d naast 1 ook in, 3 en 4. Teken de andere drie cirkels met middelpunt, 3 en 4 en met straal d( 1, l). p l q 3 1 d 1 4 m d l d 1 1 m 3 4 d Indien 1,, 3 en 4 op één cirkel liggen met middelpunt dan geldt:,, en vormen een vierhoek waarvan de diagonalen ( de deellijnen van de hoeken van l en m) elkaar loodrecht middendoor delen en evenlang zijn 1,, 3 en 4 vormen een vierkant (, ) / / m ( l, m) 90 1 / / l

22 oderne wiskunde 9e editie vwo deel T-9a R n l D m Q T R QT. De scherpe hoek tussen Q en R of QT is dus hetzelfde. In de tekening heen deze hoeken dezelfde stand, dus de issectrices heen dit ook. er hoek staan de issectrices (innen- en uitenhoek) loodrecht op elkaar. Dit geldt dan ook voor T en QR met snijpunt. Q QT (deellijn), Q = Q, QT 90 Q QT(HZH ) is het midden van T Lijn D is de middenparallel en gaat dan door het midden van T en dus door. ligt dus op de middenparallel. T-10a De hoekpunten moeten dan even ver van het snijpunt van de diagonalen, het middelpunt, liggen. ij een rechthoek zijn de diagonalen even lang en delen elkaar midden door. Het parallellogram is een rechthoek. Twee lijnstukken evenwijdig aan en evenlang als, veronden door twee halve cirkels. ligt in het centrum van de verzameling. 116