Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Transcriptie

1 Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op zijde ST. e lengte van UV is 3,5 m. e oppervlakte van STU is 7 3,5 : 2 12,25 m 2. N Niet iedereen zal dezelfde hoogtelijn heen geruikt. Voor de erekende oppervlakte mag dat geen vershil maken. O-4a S S S rehte hoek (90 ) gestrekte hoek (180 ) volle hoek (360 ) 23

2 1 180º 124º 56º 1 180º 48º 132º 1 180º 73º 38º 69º 1 180º 90º 21º 69º O-5a e hoeken van zijn samen 180º. e hoeken van zijn samen 180º. d e hoeken van een vierhoek zijn samen 360º. O-6 K 180º 45º 80º 55º 180º 50º 90º 40º E 180º 48º 35º 97º P 180º 25º 15º 140º O-7 O-8a - vierkant rehthoek vlieger ruit parallellogram de diagonalen zijn even lang waar waar niet waar niet waar niet waar de diagonalen staan loodreht op elkaar waar niet waar waar waar niet waar de diagonalen delen elkaar middendoor waar waar niet waar waar waar overstaande rehthoekszijde 0,75; dit geldt in elk van de drie driehoeken. aanliggende rehthoekszijde e grootte van de hoek is 37º. O-9a tan hoek ,667; hoek 34º tan hoek ,333; hoek 53º tan hoek ,778; hoek 61º tan hoek ,75; hoek 37º In elke driehoek komt een hoek van 90º voor. e grootte van de derde hoek is ahtereenvolgens 56º, 37º, 29º en 53º. 2-1 Rekenen met hoeken 1a Hoek en hoek vormen samen een gestrekte hoek. Voor het maken van een volle hoek he je 18 hoeken nodig, want een volle hoek is 360º. 24

3 2a º 1 180º 65º 115º 2 180º 115º 65º 3 180º 65º 115º d a Lijn k is evenwijdig aan lijn m. Hoek 1 zit met hoek E 2 in een F-figuur. k E 4 Hoek 1 zit met hoek E 4 in een Z-figuur. k E 4 m m d 2 180º 95º 85º 3 180º 85º 95º 4 180º 95º 85º E 2 95º (F-figuur, zie opdraht 3) E 1 180º 95º 85º E 3 180º 95º 85º E 4 180º 85º 95º e Om hoek te kunnen erekenen he je de grootte van hoek in driehoek E nodig. t t º 125º 55º º (F-figuur) 2 180º 125º 55º º º E 2 180º 85º 95º 180º 55º 95º 30º (som van de hoeken in een driehoek) 1 E 2 95º (F-figuur) 25

4 < Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde 2 180º 95º 85º º (overstaande hoeken) º (overstaande hoeken) 5a In de figuur hieroven zijn van links naar rehts aangegeven: een gestrekte hoek, een F-figuur en een Z-figuur. Elke hoek in een gelijkzijdige driehoek is 180º : 3 60º. 6a 7a e lijnstukken PR en VT zijn evenwijdig. U 180º 60º 70º 50º (som van de hoeken in een driehoek) R 30º (Z-figuur) V 1 180º 60º 30º 90º (som van de hoeken in een driehoek) S 360º 90º 60º 70º 140º (som van de hoeken in een vierhoek) 2-2 Lijn- en draaisymmetrie riehoek 1 is een gelijkenige driehoek. riehoek 2 is een rehthoekige driehoek. riehoek 4 is een gelijkzijdige driehoek. * * < < d In de gelijkenige en de gelijkzijdige driehoek he je te maken met hoeken die even groot zijn. driehoek 1 driehoek 2 driehoek 3 driehoek 4 naam ijzondere driehoek gelijkenige rehthoekige gelijkzijdige driehoek driehoek driehoek aantal symmetrieassen één geen geen drie gelijke zijden? zo ja, hoeveel? twee geen geen drie gelijke hoeken? zo ja, hoeveel? twee geen geen drie draaisymmetrish? nee nee nee ja 26

5 8a E F 180º E F 180º 120º 60º E 60º : 2 30º 9a riehoek is een gelijkenige driehoek. In een gelijkenige driehoek zijn de eide asishoeken even groot. Er geldt dus º 30º 30º 120º 2 180º 90º 58º 32º 10a Je het nu een vlieger gekregen. e hoeken van de vlieger zijn 55º, 55º, 160º en 90º. d e f P 65 S 50 Je het nu een ruit gekregen. e hoeken van de ruit zijn 50º, 50º, 130º en 130º. e ruit is draaisymmetrish. 11a Ruit is spiegelsymmetrish. Er geldt 125º. 360º 125º 125º 110º (som van de hoeken in een vierhoek is 360º) 110º : 2 55º Vlieger KLMN is spiegelsymmetrish. Er geldt K M 113º. N 360º 113º 113º 44º 90º (som van de hoeken in een vierhoek is 360º) R 12a In het midden van de figuur komen aht dezelfde hoeken ij elkaar. e grootte van zo n hoek is 360º : 8 45º. Voor de grootte van de eide asishoeken geldt 180º 45º 135º. Eén asishoek is 135º : 2 67,5º. 27

6 Figuur is spiegelsymmetrish en heeft aht symmetrieassen. Figuur is draaisymmetrish en de ijehorende draaihoek is 45º. d ijvooreeld: e ijvooreeld: I-1a - I-2 - IT Lijn- en draaisymmetrie I-3 - I-4 - I-5-28

7 I-6a Ruit is spiegelsymmetrish. Er geldt 125º. 360º 125º 125º 110º (som van de hoeken in een vierhoek is 360º) 110º : 2 55º Vlieger KLMN is spiegelsymmetrish. Er geldt K M 113º. N 360º 113º 113º 44º 90º (som van de hoeken in een vierhoek is 360º) I-7 - I-8 92º; G 72º; F 108º; H 108º; M 100º; L 66º 13a 14a d 2-3 Tekenen van drie- en vierhoeken * * In de tekening hieroven zijn de hoeken met * even groot. * * In de tekening hieroven zijn de hoeken met * en even groot. Om een ruit te maken he je vier driehoeken nodig. 29

8 e E 15a N 4 m 5 m 7 m K L Vierhoek KLMN is een vlieger. d KM is de symmetrieas van de vierhoek. e L N, want KLMN is een spiegelsymmetrishe figuur met KM als symmetrieas. 16a - S In vlieger PQRS geldt P R. 3 m 3 m P R M 8 m 6 m 6 m 30 Q

9 17a e hoeken rondom het snijpunt van de diagonalen zijn 90º. G F S 18a E e getekende vierhoek is een vlieger. d e e getekende vierhoek is een ruit. 31

10 Teken de eide diagonalen zo, dat ze elkaar middendoor delen en niet loodreht op elkaar staan. 19a H G E F 180º 44º 136º d e 20a P S Q PR en QS zijn de symmetrieassen in ruit PQRS. Vierhoek PQRS is draaisymmetrish. ls de figuur om het snijpunt van de symmetrieassen over een hoek van 180º wordt gedraaid, past deze op zihzelf. F R e getekende vierhoek is een ruit. e vierhoek is spiegelsymmetrish en heeft twee symmetrieassen. Zie opdraht 20a. d lengte kwadraat halve diagonaal 4 halve diagonaal? zijde ruit

11 e lengte van de andere halve diagonaal is!9 3 m. e lengte van de andere diagonaal is 2 3 m = 6 m. 21a 1 65º want de eide asishoeken in een gelijkenige driehoek zijn even groot º 65º 115º 1 180º 65º 65º 50º 2 180º 115º 65º 2 65º : 2 32,5º lengte kwadraat de helft van = 1 hoogte? = 2, ,76 hoogte!4,76 = 2,2 m d oppervlakte (2 2,2) : 2 2,2 m 2 e 2,4 m 115 2,4 m f oppervlakte 4,4 2,2 : 2 4,8 m 2 oppervlakte 2 2,2 : 2 2,2 m 2 oppervlakte 2,6 m Rekenen met vlakke figuren 22a G 1 180º 90º 56º 34º riehoek GHS is een gelijkenige driehoek. S 2 180º 56º 124º H 1 G 2 180º 124º 56º H 1 G 2 56º : 2 28º d In EGH geldt E 1 180º 118º 28º 34º 23a lengte kwadraat HF = 10,0 100 FG =?... FH = 11,3 127,69 FG!27,69 5,3 m ereken eerst de lengte van EF in EFH. lengte kwadraat HF = 10,0 EH = 8,3 EF =? ,89 168,89 EF!168,89 13,0 m e omtrek van vierhoek EFGH is 13,0 5,3 11,3 8,3 37,9 m. 33

12 oppervlakte vierhoek EFGH oppervlakte EHF oppervlakte FGH oppervlakte vierhoek EFGH 8,3 10 : 2 5,3 10 : 2 68 m 2 24a e hoogtelijn uit punt snijdt zijde in punt. lengte kwadraat = 3 9 =?... = 5 25!16 4 m lengte kwadraat ? 41!41 6,4 m oppervlakte : : 2 16 m 2 EG 1,5 5 7,5 m FG 1,5 6,4 9,6 m d oppervlakte EFG 1,5 2 oppervlakte 2, m 2 25a HI 2,3 8 18,4 m IJ 2,3 6,4 14,72 m HJ 2,3 5 11,5 m oppervlakte HIJ 2,3 2 oppervlakte 5, ,64 m 2 oppervlakte vierde driehoek 5 2 oppervlakte m 2 26a ijvooreeld: 76,7 m 16,8 m? 134,4 m e vergrotingsfator is 134,4 : 16,8 8. e hoogte van de kleinste driehoek is 76,7 : 8 9,6 m. 27a E

13 1 15 m 2 3 m E 5 m 12 m 28a e fator is 12 : 5 2,4 2,4 3 7,2 m E 15 : 2,4 6,25 m 2 1 S 3 S 1 7 m 2 S 3 10 m 21 m e fator is 21 : m 30 m d oppervlakte S 10 3,6 : 2 18 m 2 oppervlakte S m 2 29a 2-5 Hoeken en afstanden S m G E 10 m F overstaande rehthoekszijde tan E aanliggende rehthoekszijde 5 0,5, dus E 27º 10 overstaande rehthoekszijde tan G aanliggende rehthoekszijde 10 2, dus G 63º 5 35

14 lengte kwadraat EF = 10 FG = 5 EG =? EG!125 11,2 m 30a m e overstaande rehthoekszijde van de hoek van 8º is de zijde met het vraagteken. overstaande rehthoekszijde tan aanliggende rehthoekszijde, dus tan 8º? 300 e hoogte van de toren is 300 tan 8º 42 meter. 31a lengte kwadraat 32a E = 22 F = 8 EF =? EF!548 23,4 m lengte PQ = 18 PR = 6,6 QR =? kwadraat ,56 367,56 QR!367,56 19,2 m R 180º 90º 20º 70º F 180º 90º 20º 70º tan K 4 m Z overstaande rehthoekszijde aanliggende rehthoekszijde 5 0,417, dus K 23º 12? X 7 m Y overstaande rehthoekszijde tan Y aanliggende rehthoekszijde 4 0,571, dus Y 30º 7 Z 180º 90º 30º 60º 36

15 33a lengte kwadraat XY = 7 XZ = 4 YZ =? YZ!65 8,1 m overstaande rehthoekszijde In S geldt tan 1 aanliggende rehthoekszijde S 2 tan 60º 3,46 lengte kwadraat S = 2 S = 3,46 =? 4 11,97 15,97!15,97 4 m e omtrek van ruit is 4 4 m 16 m º 90º 60º 30º 34a 35a of tan 60º S 2 overstaande rehthoekszijde In QRT geldt tan Q aanliggende rehthoekszijde of tan 70º 5 QT QT 5 : tan 70º 1,82 m lengte QT = 1,82 RT = 5 QR =? kwadraat 3, ,31 QR!28,31 5,32 m e omtrek van parallellogram QRST is 2 1,82 2 5,32 14,28 m. e oppervlakte van parallellogram QRST is 2 (1,82 5 : 2) 9,1 m 2. overstaande rehthoekszijde In S geldt tan 1 aanliggende rehthoekszijde º 1 180º 90º 22º 68º º º overstaande rehthoekszijde In S geldt tan 2 aanliggende rehthoekszijde º d 1 180º 90º 58º 32º º º 36a 2835 m? m 37

16 In de driehoek hieroven geldt tan overstaande rehthoekszijde aanliggende rehthoekszijde º e hoekmeter van het vliegtuig geeft tijdens het opstijgen een hoek van 6º aan. 37a T-1/T-9 In de rehthoekige driehoek met de sherpe hoek P geldt overstaande rehthoekszijde tan P aanliggende rehthoekszijde 5 8 P 32º Q? P 32 3 R overstaande rehthoekszijde In de driehoek hieroven geldt tan P aanliggende rehthoekszijde QR 3 of tan 32º QR 3 QR 3 tan 32º 1,9 m lengte PR = 3 QR = 1,9 PQ =? kwadraat 9 3,61 12,61 PQ!12,61 3,6 m Van P naar Q is het 36 mm. e omtrek van de vorm is 3,6 2,2 3, ,4 m. Test jezelf Zie de antwoorden in je oek. Extra oefening E-1a 2 3 F E

17 4 E 60º 2 3 F E 4 5 Hoek 3 en hoek 4 vormen een Z-figuur. d º e S 1 P 70º (F-figuur) S 2 180º 70º 110º (gestrekte hoek ij S) R 180º 70º 50º 60º (de som van de hoeken in een driehoek is 180º) T 1 Q 50º (F-figuur) T 2 180º 50º 130º (gestrekte hoek ij T) E-2a E 180º 112º 68º e grootte van de hoeken rondom punt S is 360º : 5 72º. In elk van de gelijkenige driehoeken geldt dat de eide asishoeken samen 180º 72º 108º zijn. Eén asishoek is 108º : 2 54º. e hoeken in elke gelijkenige driehoek zijn 54º, 54º en 72º. d e vijfhoek is draaisymmetrish over 72º, 144º, 216º, 288º en 360º. E-3a ijvooreeld: 2 1 e twee symmetrieassen zijn in de figuur aangegeven met 1 en 2. 39

18 E-4a E-5a 1,2 m 4,5 m 4,5 m 1,2 m Met twee van deze rehthoekige driehoeken kun je een parallellogram maken. ijvooreeld: 1,2 m 4,5 m Met twee even lange diagonalen kun je maken: een vierkant, een rehthoek, een vlieger en een trapezium. Van deze vierhoeken kun je de lengten van de zijden alleen ij een vierkant erekenen. lleen ij een vierkant delen de diagonalen elkaar loodreht middendoor en ontstaan er driehoeken waarin je de stelling van Pythagoras kunt toepassen. Elk van de vierhoeken is lijnsymmetrish. E-6a lengte kwadraat = 3 E = 5 E =? E!34 5,8 m e oppervlakte van driehoek E is 6 5 : 2 15 m 2. lengte kwadraat H = 4,5 FH = 7,5 F =? 20,25 56,25 76,5 d F!76,5 8,7 m e omtrek van G is ,7 5,8 8,7 5,8 44 m. 40

19 E-7a 11 m 4 m E-8a Je moet de zijden van de kleine driehoek met fator 4 vermenigvuldigen om de grote driehoek te krijgen. e zijden van de grote driehoek zijn 16 m en 11 m. e zijden van de kleine driehoek zijn 4 m en 11 : 4 2,75 m. d e oppervlakte van de grote driehoek is : 2 88 m 2. e oppervlakte van de kleine driehoek is 4 2,75 : 2 5,5 m 2. E-9a E E e fator is 18 : 5 3,6. 25 : 3,6 6,9 m 5 ereken van de vlieger de lengte van PS en de lengte van RS. lengte PT = 5 ST = 3 PS =? kwadraat PS!34 5,8 m lengte RT = 2 ST = 3 RS =? kwadraat RS!13 3,6 m e omtrek van vlieger PQRS is 5,8 3,6 3,6 5,8 18,8 m. ereken van de ruit de lengte van. lengte E = 1 E = 4 =? kwadraat !17 4,1 m e omtrek van ruit is 4 4,1 16,4 m. 41

20 Voor de helft van hoek P geldt: overstaande rehthoekszijde tan P aanliggende rehthoekszijde 3 5 P 31º SPQ 62º Voor de helft van hoek R geldt: overstaande rehthoekszijde tan R aanliggende rehthoekszijde 3 2 R 56º SRQ 112º Verder geldt in de vlieger S Q 360º 62º 112º 186º Ook geldt S Q, zodat S Q 186º : 2 93º. Voor de helft van hoek geldt: overstaande rehthoekszijde tan aanliggende rehthoekszijde º 152º Verder geldt 180º 152º 28º Je krijgt dus: 152º en 28º Verwerken en toepassen V-1a 1 F 105º 1 360º 105º 105º 112º 38º 2 180º 105º 75º º 2 180º 75º 75º 30º d is een rehthoekige, gelijkenige driehoek. Hierin geldt: º. V-2a R P S Q Zie de driehoek hieroven. fgerond op één deimaal is de lengte van hoogtelijn RS 4,0 m. e oppervlakte van PQR is 5 4,0 : 2 10 m 2. 42

21 V-3a M K N e lengte van de hoogtelijn MN is 5,0 m. e oppervlakte van KLM is 7 5,0 : 2 17,5 m 2. V-4a ereken de grootte van R in QRT: R 180º 56º 64º 60º S 1 (180º 64º) : 2 58º S 2 180º 58º 122º U 2 180º U 1 180º 58º 122º d U 3 U 1 58º Q 1 180º 65º 58º 57º V-5a d V-6a Zes gelijke hoeken vormen ij het middelpunt van de figuur een volle hoek, per hoek is dat 60º. e andere sherpe hoek in de rehthoekige driehoek is 180º 90º 60º 30º. e hoeken van de driehoek zijn 30º, 60º en 90º. E is de deellijn in de vlieger EF. riehoek F is een gelijkzijdige driehoek. In die driehoek zie je de drie deellijnen E, en F. 15 m 30 m L In elke driehoek is elke hoek 60º. In elke driehoek hieroven geldt tan 60º 15 a 15 a tan 60º 15 a tan 60 a 8,7 Een zijde van een driehoek is 17,4 m. 43

22 e oppervlakte van een driehoek is 17,4 15 : 2 130,5 m 2. e oppervlakte van de vlieger is 6 130,5 783 m 2. e oppervlakte van de grote vlieger is m 2. V-7 e ruit estaat uit vier dezelfde rehthoekige driehoeken. Van zo n driehoek is één van de rehthoekszijden en de langste zijde ekend. ereken de andere rehthoekszijde: lengte kwadraat rhz 6,5 rhz? langste zijde 8 42,25 21,75 64 e ontrekende rehthoekszijde is!21,75 4,7 m. e oppervlakte van één rehthoekige driehoek is 6,5 4,7 : 2 15,275 m 2. e oppervlakte van de vlieger is 4 15,275 m 2 61,1 m 2. e oppervlakte van het gekleurde deel van figuur 1 is 61,1 (π 1,5 2 : 2) 57,6 m 2. Het gekleurde deel van figuur 2 is het vershil van de oppervlakten van twee irkels. e oppervlakte van de grote irkel is π ,2 m 2. e oppervlakte van de kleine irkel is π 12, ,9 m 2. e oppervlakte van het gekleurde deel van figuur 2 is 2290,2 490,9 1799,3 m 2. V-8a In het middelpunt van de irkel zie je aht even grote hoeken samen. e grootte van één hoek van een irkelsetor is 360º : 8 45º. oppervlakte irkel π 4,6 2 66,5 m 2 oppervlakte vierkant 4,6 4,6 21,2 m 2 e oppervlakte van het gele deel is 66,5 21,2 45,3 m 2. e figuur heeft aht symmetrieassen. d e figuur is draaisymmetrish over een hoek van 90º. V-9a tan 38º 6,2 a a 6,2 : tan 38º 7,9 e lengte van a is 7,9 m. tan 9º 6,2 6,2 : tan 9º 39,1 e lengte van is 39,1 m. e lengte van is 39,1 7,9 31,2 m langer. lengte kwadraat rhz = 7,9 rhz = 6,2 langste zijde =? 62,41 38, ,85 langste zijde!100,85 10,0 Rina legt 10,0 m af. 44

23 lengte rhz = 39,1 rhz = 6,2 langste zijde =? kwadraat 1528,81 38, ,25 langste zijde!1567,25 39,6 e fietser legt 39,6 m af. e fietser legt 39,6 10,0 29,6 m meer af. Rekenen 2 R-1a 8, f : ,25 0, g 54,2 : 10 5,42 45, h 9657 : ,657 d 9, ,85 i 623,3 : 100 6,233 e 0, ,63 j 1122,33 : , R-2a d e f R-3a 15% van 750 leerlingen is 0, leerlingen 20% van kg is 0, kg 23% van 800,- is 0, euro 6% van 12 miljoen mensen is 0, mensen 37,5% van euro is 0, euro 90% van liter is 0, liter Hoek en hoek zijn sherp. Hoek en hoek zijn stomp. d Een gestrekte hoek is 180º. e Een hoek van 90º is een rehte hoek. 45

24 R-4 a 5 d e 4 f g h i 6 2 l 5 j k R-5a 655 mg 0,655 gram g 5 dl 50 L 3,6 kg 3600 gram h 300 L 3 liter 0,02 kg mg i 0,7 liter 700 ml d mg 0,098 kg j 962 ml 96,2 L e 450 gram 0,45 kg k 62 dl 6,2 liter f 0,72 gram 720 mg l 308 liter L 2a Oefenopdrahten werkoek º 120º 60º 2 180º 60º 120º 3 180º 120º 60º 1 180º 73º 38º 69º 1 180º 85º 95º 3 180º 85º 40º 55º H F G E Vierhoek EFGH is een ruit. 46

25 3a M 74 5 m 4a L 180º 58º 74º 48º e tekening is op shaal 1 : 2 gemaakt. e oppervlakte van KLMN is 2 8 2,5 : 2 20 m 2. tan MKL 2,5 4 MKL 32º 5a K L e tekening is op shaal 1 : 2 gemaakt. Q 58 2, T S 52º K M R 180º 52º 128º T 180º 52º 128º ,5 N R S L 47

26 6a Vlieger PQRS is getekend op shaal 1 : 2. S R 4 m 4 m Q 7 m 7 m 7 m 7a P Het vierkant is getekend op shaal 1 : 2. 3,5 e oppervlakte van het vierkant is 2 7 3,5 : 2 24,5 m 2. d e eide rehthoeken zijn getekend op shaal 1 : 2. G H 3,5 3,5 F 3,5 E G H F E 48

27 8a riehoek en driehoek E zijn gelijkvormig. - e vergrotingsfator is 3 : 1,2 2,5. d E 4,4 : 2,5 1,76 m e e oppervlakte van E is 1,76 1,2 : 2 1,056 m 2. f Om de oppervlakte van te krijgen moet je de oppervlakte van E met 2,5 2 6,25 vermenigvuldigen. 9a - e vergrotingsfator is 300 : I 186 : 6 31 m e vergrotingsfator van driehoek I naar driehoek HM is 250 : HM m d aan 2 is m korter dan aan 1. e aan 3 wordt m. aan 4 wordt m. 10a 11a 5 85 m tan 5º mast 85 mast 85 tan 5º 7,4 e mast is 7,4 m lang m 80 tan 3º afstand afstand 80 : tan 3º 1526,5 Zij staat 1526,5 m van de farieksshoorsteen af. 49