Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Transcriptie

1 Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in dit leeroek voorkomen. Wt je in de eerste grd l gezien het, is ngeduid met een kruisje in een vierkntje.

2 1 iom's Twee punten eplen juist één rehte. iom punt-rehte oor elk punt vn het vlk dt niet op een rehte ligt, kn men juist één rehte tekenen die evenwijdig is met de gegeven rehte. P iom vn Eulides oor elk punt vn het vlk kn men juist één rehte tekenen loodreht op een gegeven rehte. P iom vn de loodrehte stnd

3 1 Rehten en hoeken ls twee rehten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rehte, dn zijn die twee rehten evenwijdig. ls een rehte één vn twee evenwijdige rehten snijdt, dn snijdt ze ook de ndere. ls twee rehten loodreht stn op eenzelfde derde rehte, dn zijn die twee rehten evenwijdig. // en // // // en // // ls twee rehten loodreht op elkr stn, dn stt elke rehte die evenwijdig is met één vn deze rehten loodreht op de ndere. Overstnde hoeken zijn gelijk. en // en // 1 ls twee evenwijdige rehten gesneden worden door een derde rehte, dn zijn 1 twee overeenkomstige hoeken gelijk, twee verwisselende innenhoeken gelijk, 3 twee verwisselende uitenhoeken gelijk, 4 twee innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn elkrs supplement, 5 twee uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn elkrs supplement. ˆ = ˆ 1

4 Omgekeerde stelling ls ij twee rehten gesneden door een rehte 1 twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dn zijn de twee rehten evenwijdig, twee verwisselende innenhoeken gelijk zijn, dn zijn de twee rehten evenwijdig, 3 twee verwisselende uitenhoeken gelijk zijn, dn zijn de twee rehten evenwijdig, 4 twee innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn elkrs supplement zijn, dn zijn de twee rehten evenwijdig, 5 twee uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn elkrs supplement zijn, dn zijn de twee rehten evenwijdig. Een punt ligt op de middelloodlijn vn een lijnstuk.s.. m P het punt even ver ligt vn de grenspunten vn het lijnstuk. enmerk vn de middelloodlijn P ligt op ml Een punt ligt op een deellijn vn twee snijdende rehten.s.. P = P het punt even ver ligt vn de snijdende rehten. P enmerk vn de deellijn P ligt op een deellijn vnde snijdende rehten en P = P Een spiegeling, een vershuiving, een driing en een puntspiegeling ewren de fstnd, het midden vn een lijnstuk, de evenwijdigheid, de loodrehte stnd. Een hoek en zijn spiegeleeld zijn tegengesteld. Een hoek en zijn shuifeeld, zijn drieeld en zijn puntspiegeleeld zijn gelijk.

5 Het spiegeleeld, het shuifeeld, het drieeld en het puntspiegeleeld vn een rehte is een rehte. Het shuifeeld en het puntspiegeleeld vn een rehte is een rehte met dezelfde rihting. Het projetieeeld vn een rehte, die geen rehte is vn de projetierihting, is de projeties. Het projetieeeld vn een rehte vn de projetierihting is het snijpunt vn de rehte en de projeties. Het projetieeeld vn een lijnstuk, wrvn de drger geen rehte is vn de projetierihting, is een lijnstuk dt epld is door de projetieeelden vn de grenspunten vn het lijnstuk. Het projetieeeld vn een lijnstuk wrvn de drger een rehte is vn de projetierihting, is het snijpunt vn de drger vn het lijnstuk en de projeties. Een projetie ewrt de verhouding vn evenwijdige lijnstukken. S ( ) ( ) p = p = S S ' ' ( ) ( ) p = ' ' p = S e projetieeelden vn evenwijdige en even lnge lijnstukken zijn even lng. ' ' ' ' ' ' // = ' ' Een projetie ewrt het midden. ' ' ' ' // en = ' ' = ' ' ' ' ' is het midden vn ' is het midden vn ' '

6 rie evenwijdige rehten eplen op twee snijlijnen evenredige lijnstukken. Stelling vn Thles N P ls een rehte twee lijnstukken, wrvn de grenspunten op twee evenwijdige rehten liggen, in evenredige lijnstukken verdeelt, dn is deze rehte evenwijdig met de rehten door de grenspunten. Omgekeerde stelling vn Thles N // // = NP N P N // P en = NP N // // P Een figuur en een homothetieeeld ervn zijn gelijkvormig. In een figuur en een homothetieeeld ervn zijn de overeenkomstige zijden evenwijdig.

7 3 riehoeken e som vn de hoeken vn een driehoek is 180. Een uitenhoek vn een driehoek is gelijk n de som vn de niet-nliggende innenhoeken. ˆ + ˆ + ˆ = In een gelijkenige driehoek is de hoogtelijn op de sis ook de deellijn vn de tophoek, ˆ = ˆ + ˆ 1 de zwrtelijn nr de sis, de middelloodlijn vn de sis. Een driehoek is gelijkenig.s.. twee hoeken vn de driehoek gelijk zijn. enmerk gelijkenige driehoek Een driehoek is gelijkzijdig.s.. is gelijkenig ˆ = ˆ lle hoeken vn de driehoek gelijk zijn. enmerk gelijkzijdige driehoek is gelijkzijdig ˆ = ˆ = ˆ

8 ls een pr zijden vn twee driehoeken even lng is en de twee pr nliggende hoeken gelijk, dn zijn de driehoeken ongruent. ongruentiekenmerk HZH ls twee pr zijden vn twee driehoeken even lng zijn en de ingesloten hoeken gelijk, dn zijn de driehoeken ongruent. ongruentiekenmerk ZHZ ls de drie pr zijden vn twee driehoeken even lng zijn, dn zijn de driehoeken ongruent. ongruentiekenmerk ZZZ ls de shuine zijden vn twee rehthoekige driehoeken en een pr rehthoekszijden even lng zijn, dn zijn de driehoeken ongruent. ongruentiekenmerk voor rehthoekige driehoeken. Een rehte die evenwijdig is met een zijde vn een driehoek, eplt met de ndere zijden een driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek. met //

9 ls twee pr hoeken vn twee driehoeken gelijk zijn, dn zijn de driehoeken gelijkvormig. Gelijkvormigheidskenmerk HH ls twee pr zijden vn twee driehoeken evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk, dn zijn de driehoeken gelijkvormig. ˆ = ˆ ˆ = ˆ 13 Gelijkvormigheidskenmerk ZHZ ls de drie pr zijden vn twee driehoeken evenredig zijn, dn zijn de driehoeken gelijkvormig. Gelijkvormigheidskenmerk ZZZ ˆ = ˆ = = = e verhouding vn de omtrekken vn twee gelijkvormige figuren is gelijk n een gelijkvormigheidsftor. e verhouding vn de oppervlkten vn twee gelijkvormige figuren is gelijk n het kwdrt vn een gelijkvormigheidsftor. e verhouding vn de inhouden vn twee gelijkvormige figuren is gelijk n de derdemht vn een gelijkvormigheidsftor.

10 Het lijnstuk epld door de middens vn twee zijden vn een driehoek is een middenprllel vn de driehoek. In een driehoek is een middenprllel evenwijdig met de derde zijde en hlf zo lng ls deze zijde. e rehte door het midden vn een zijde vn een driehoek, evenwijdig met een tweede zijde, gt door het midden vn de derde zijde. In een driehoek verdeelt het zwrtepunt elke zwrtelijn in twee stukken wrvn het ene tweeml zo lng is ls het ndere. is een middenprllel vn 1 // en = is het midden vn en // is het midden vn Z In een driehoek verdeelt de deellijn vn een hoek de overstnde zijde in twee lijnstukken die zih verhouden zols de nliggende zijden. Z is het zwrtepunt vn Z = Z, Z = Z, Z = Z met = dl ˆ =

11 In een rehthoekige driehoek is de zwrtelijn nr de shuine zijde hlf zo lng ls de shuine zijde. ls de zwrtelijn nr een zijde vn een driehoek hlf zolng is ls deze zijde, dn is de driehoek rehthoekig. met ˆ = 90 en zwrtelijn 1 = In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de hoogte op de shuine zijde gelijk n het produt vn de stukken wrin ze de shuine zijde verdeelt. In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn een rehthoekszijde gelijk n het produt vn de shuine zijde en de loodrehte projetie vn deze rehthoekszijde op de shuine zijde. In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden. Stelling vn Pthgors met zwrtelijn 1 en = is rehthoekig H met ˆ = 90 en hoogte H H = H H H met ˆ = 90 en hoogte H = H = H met ˆ = 90 = +

12 ls in een driehoek het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de ndere zijden, dn is de driehoek rehthoekig. In een rehthoekige driehoek is Omgekeerde stelling vn Pthgors de overstnde rehthoekszijde sinus α= shuine zijde de nliggende rehthoekszijde osinus α= shuine zijde de overstnde rehthoekszijde tngens α= de nliggende rehthoekszijde Goniometrishe getllen vn een sherpe hoek In een rehthoekige driehoek met sherpe hoek α geldt: sin α+ os α= 1 sin α tn α= os α Y X Z YZ = XY + XZ XYZ is rehthoekig α sin α= os α= tn α=

13 4 Vierhoeken e som vn de hoeken vn een vierhoek is 360. Een trpezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden. ˆ + ˆ + ˆ + ˆ = 360 Een gelijkenig trpezium is een trpezium wrvn de nliggende hoeken vn een sis gelijk zijn. Een prllellogrm is een vierhoek wrvn de overstnde zijden evenwijdig zijn. Een rehthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken. Een ruit is een vierhoek met vier even lnge zijden. Een vierknt is een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier even lnge zijden. Een vierhoek is een prllellogrm.s.. de overstnde zijden even lng zijn. Zijden-kenmerk prllellogrm is een prllellogrm = en =

14 Een vierhoek is een prllellogrm.s.. twee overstnde zijden evenwijdig zijn en even lng. Overstnde zijden-kenmerk prllellogrm Een vierhoek is een prllellogrm.s.. de overstnde hoeken gelijk zijn. Hoeken-kenmerk prllellogrm Een vierhoek is een prllellogrm.s.. de digonlen elkr middendoor snijden. igonlen-kenmerk prllellogrm Rehthoek is een prllellogrm // en = is een prllellogrm ˆ = ˆ en ˆ = ˆ is een prllellogrm = en = In een rehthoek zijn de overstnde zijden evenwijdig en even lng. In een rehthoek zijn de digonlen even lng en snijden ze elkr middendoor. Ruit In een ruit zijn de overstnde zijden evenwijdig. In een ruit zijn de overstnde hoeken gelijk. In een ruit stn de digonlen loodreht op elkr en snijden ze elkr middendoor. Vierknt Een vierknt is een prllellogrm, een rehthoek en een ruit. Een vierknt ezit dus lle eigenshppen vn deze vlkke figuren. Trpezium ls in een trpezium de nliggende hoeken vn een sis gelijk zijn, dn zijn de nliggende hoeken vn de ndere sis ook gelijk. ls in een trpezium de nliggende hoeken vn een sis gelijk zijn, dn zijn de opstnde zijden even lng. trpezium met ˆ = ˆ ˆ = ˆ en =