CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme"

Albert van der Velde
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

2 INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK DE CIRKEL DOOR PUNTEN DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN RAAKVLAKKEN EN RAAKLIJNEN OEFENOPGAVEN... VOORKENNIS... ANTWOORDEN... 5

3 . DE VERGELIJKING VAN EEN BOL STELLING Bij een ol met middelpunt M,, c ) en strl r hoort de vergelijking r c VOORBEELD. Bereken het middelpunt en de strl vn de ol 8 6. Methode schrijf de vergelijking in de vorm r c. Oplossing Dus het middelpunt is,, en de strl is... Onderoek of de volgende vergelijkingen ollen. Bereken, ls de vergelijking een ol voorstelt, de strl en de coördinten vn het middelpunt i. 6 8 ii. 8 iii. iv. v.. Onder welke voorwrde is d c een ol?

. In R stelt de vergelijking 5 M, en r = 5.. Leg uit dt de vergelijking 5 een cirkel voor met inr een verticle cilinder voorstelt.. Geef een vectorvoorstelling vn de s vn de cilinder. c. Geef het middelpunt en de strl vn de snijcirkel vn de cilinder 5 en het vlk = 5.

4 . In R stelt de vergelijking 5 M, en r = 5.. Leg uit dt de vergelijking 5 een cirkel voor met inr een verticle cilinder voorstelt.. Geef een vectorvoorstelling vn de s vn de cilinder. c. Geef het middelpunt en de strl vn de snijcirkel vn de cilinder 5 en het vlk = 5. d. Zie de figuur hiernst. i. Snijdt de cilinder 5 de - s? Zo j, ereken de coördinten vn de snijpunten. ii. Snijdt de cilinder 5 de negtieve) -s? Zo j, ereken de coördinten vn de snijpunten. e. Bij de vergelijking hoort ook een clinder. Bereken een vectorvoorstelling vn de cilinders.. Bereken een vergelijking vn de ol. met middelpunt,, en strl. met middelpunt, 5, die door het punt,, gt c. met strl 6 die door het punt,, gt en wrvn het middelpunt op de lijn ligt.. Gegeven is de ol 9 en l. Bereken de strl vn.. Bereken de fstnd tussen de snijpunten P en S vn de ol en de lijn l. c. Bereken M, l) d B

5 5. DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK DEFINITIE De cirkels vn een cirkel C in R is de lijn door het middelpunt MC vn de cirkel die loodrecht stt op het cirkelvlk V. STELLING De cirkels vn een snijcirkel C vn een ol B en een vlk V gt door het middelpunt M B vn de ol.er geldt Pthgors) B C B ),V dm r r VOORBEELD. Gegeven is de ol 5 ) ) en het vlk V. Bereken de strl en de coördinten vn het middelpunt vn de snijcirkel. Oplossing Er geldt Mβ=,, -) en rβ = 5 en d Mβ, V ) = 9 )² )² ². Dus rc = 9 5.Cirkels l. MC is het snijpunt l en V dus +λ)--λ)---λ)=- dus 9λ = -9 dus λ = - dus MC = -,, - ). 5. Gegeven is de ol 6 en het vlk V. Bereken de strl en de coördinten vn het middelpunt vn de snijcirkel.

6 6 6. Gegeven is de ol, het vlk V en de lijn l. C is de snijcirkel vn β en V.. Bereken de coördinten vn lle snijpunten vn β en l.. Bereken de coördinten vn lle snijpunten vn C en l. 7. Gegeven ijn de cirkels 8 ) ) C 6 ) ) ) C. Bereken vn eide cirkels de strl en de coördinten vn het middelpunt.. i. Geef de coördinten vn een punt op C. ii. Geef de coördinten vn een punt op C c. Bereken het snijpunt vn de twee cirkelssen. d. Bereken een vergelijking vn de ol die C en C evt.

7 . DE CIRKEL DOOR PUNTEN STELLING Zie de figuur hiernst. Er geldt De cirkels vn de omgeschreven cirkel vn een driehoek ABC is de snijlijn vn de middelloodvlkken vn AB, AC en BC. De richtingsvector vn de cirkels is een normlvector vn het vlk V door A, B en C. Het middelpunt vn de omgeschreven cirkel is het snijpunt vn de cirkels en V. VOORBEELD. Gegeven ijn de punten A,, ), B,, ) en C7,, ). Bereken het middelpunt en de strl vn de omgeschreven cirkel vn ABC. Methode Bereken eerst de snijlijn vn twee vn de middelloodvlkken. Dit is de cirkels. Het middelpunt M is het snijpunt vn de cirkels en het vlk door A, B en C. Verder geldt r = MA. Oplossing Er geldt MLVA,B) en MLVB,C) De snijlijn vn dee vlkken is k 6. Verder heeft het vlk V door A, B en C de vergelijking K en V snijden elkr ij 7 7 dus,, M en dus r= 8. Gegeven ijn de punten A,, ), B,, -) en C-,, ).. Bereken een vergelijking vn het middelloodvlk vn het lijnstuk AB.. Bereken een vectorvoorstelling vn de cirkels vn de omgeschreven cirkel vn ABC. c. Bereken het middelpunt en de strl vn de omgeschreven cirkel vn ABC. 99 7

8 . DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN STELLING Door punten die niet in één vlk liggen gt precies één ol. VOORBEELD. Bereken het middelpunt en de strl vn de ol door A,, ), B,, ) en C7,, ) en D5, 5, ). Methode Bereken eerst de cirkels k vn de cirkel door A, B en C. Het snijpunt vn MLVA, D) en k is het middelpunt M ol vn de ol. Verder geldt r = M ol A Oplossing Voor de cirkels k vn de cirkel door A, B en C geldt ie vooreeld ) k 6. Verder is MLVA, D) 7. k en MLVA,D) snijden ij, dus Mol=,, en r = A M ol = 9. Gegeven ijn de punten A,, ), B,, ) en C, 8, ).. Bereken de vergelijking vn de vermeling punten die gelijke fstnden heen tot A en B.. Bereken een vectorvoorstelling vn de vermeling punten die gelijke fstnden heen tot A, B en C. c. Hoeveel ollen ijn er mogelijk die door A, B en C gn? d. We geven nu nog een vierde punt D -,, ). Bereken een vergelijking vn de ol door A, B, C en D.. Gegeven ijn de punten K,, ), L, -, ) en M,, ) en P,, ).. Bereken een vectorvoorstelling vn de cirkels vn de cirkel door de punten K, L en M.. Voor welke estt er geen ol door K, L, M en P... Welke figuur hoort er in R ij de vergelijking 8?. Bereken een vectorvoorstelling vn de cirkels vn de snijcirkel C vn σ en het vlk =. c. Bereken een vergelijking vn de ol die de snijcirkel C en het punt P,, ) evt. 8

9 5. RAAKVLAKKEN EN RAAKLIJNEN STELLING Voor het rkvlk V vn een punt P op een ol B geldt d M r B,V). B. n P V M B Er ijn oneindig veel rklijnen door P. Al dee lijnen stn loodrecht op P M B 9

10 VOORBEELD 5. Bereken de vergelijking vn het rkvlk V vn de ol ) ) ² 5 door P, -, - ). Methode MP is de normlvector vn V. Oplossing V d M =,, ) dus MP dus d 9 door P,-,-) en dus V = 9. Gegeven is de ol 5) ) ) 8 en het punt P,, ).. Toon n dt P op β ligt.. Stel een vergelijking op vn het rkvlk in P. c. Stel een vectorvoorstelling op vn de rklijn in P die de -s snijdt. d. Geef de fstnd vn het middelpunt vn β tot het rkvlk.. Het vlk V ) 7 8 rkt de ol. Bereken.. Stel de vergelijkingen op vn de ollen met strl die het vlk V rken en wrvn het middelpunt op de lijn l ligt. 5. De punten A,,) en B,, ) liggen op de ol.. Bereken de hoek vn de rkvlkken vn A en B.. Bereken een vectorvoorstelling vn de snijlijn vn de rkvlkken. 6. De lijn k rkt de ol 6 in de oorsprong en snijdt de lijn l.bereken een vectorvoorstelling vn k. 7. Bereken een vectorvoorstelling vn de lijn die de ollen 8 en in de oorsprong rkt.

11 8..Gegeven is de ol en het vlk V.. Toon n dt het punt P,, ) op de snijcirkel ligt vn en V.. Bereken een vectorvoorstelling vn de rklijn vn in P die in V ligt. 9. Gegeven is de ol en de lijn l.. Toon n dt l en β geen snijpunten heen.. Beredeneer met een schets dt er twee rkvlkken vn β ijn die l evtten. c. Bereken de vergelijking vn de rkvlkken die l evtten.. Gegeven ijn de de vlkken V en W en de lijn l. Stel een vergelijking op vn elke ol wrvn het middelpunt in V ligt, die het vlk W rkt en de lijn l in het punt,, ) rkt.. Stel vergelijkingen op vn ollen met strl die vn de -s een lijnstuk met lengte fsnijden en die de lijn l in het punt,, ) rken.

12 6. OEFENOPGAVEN. Gegeven is de ol ² ² ².. Toon n dt A,, ) een punt vn is en stel de vergelijking op vn het rkvlk in A.. Bereken de strl en de coördinten vn het middelpunt vn de snijcirkel vn en V. c. Bereken een vectorvoorstelling vn de rklijn vn in A die evenwijdig is met W. Op de ol 9 ) ) ) liggen de punten P,, ), Q,, ) en R,, ).. Bereken de strl en de coördinten vn het middelpunt vn de cirkel door P, Q en R.. De vlkken U, V en W rken opeenvolgend in P, Q, en R. De snijlijn vn U en V is l. Bereken de hoek vn l en W in grden nuwkeurig.. Stel de vergelijkingen op vn de rkvlkken vn ² +² +² = 6 die de lijn 6 l evtten. 5. Stel de vergelijking op vn de ol die het vlk V + + = in de oorsprong rkt en die door A, -, ) gt. 6. Stel de vergelijking op vn de ol die door A 6, -, ) en B 9, 5, ) gt en die l in C, -, ) rkt. 7. Gegeven ijn P, 5, ), Q,, ), R, 5, ) en l.. Stel een vergelijking op vn de kleinste ol die P, Q en R evt.. Een ol β gt door P, Q en R en snijdt vn l een koorde f met lengte. Stel een vergelijking op vn β.

13 8. Gegeven ijn 8 V, W en l. Bereken een vergelijking vn de twee ollen die vlk V rken met vlk W een snijcirkel heen met strl het middelpunt op lijn l heen liggen.

14 VOORKENNIS DE HOEKFORMULE Voor de hoek tussen twee lijnen met richtingsvectoren en geldt, cos. LOODRECHTE VECTOREN, NORMAALVECTOR c is een normlvector vn het vlk V + + c = d. AFSTANDSFORMULE Voor de fstnd d vn een punt P en een vlk V + + c = e geldt V P P P e c V) P, n d

15 ANTWOORDEN..i. M=,, ) en r =.ii. M=,, ) en r =.iii. M= ½, ½, ½ ) en r = ½.iv. is geen ol.v. M= ½, ½, ½ ) en r = een puntol ). c d.. c. M=,, 5 en r= 5 di nee dii j,, en,, e.... ) ).. ) 5) ) 6.c. ) ) 6 of ) ) c. 5. M=,, ) en r = 6...,, )..,, ) 7... C M=,, ) en r = ; C M=,, ) en r =. 8...i. ijvooreeld,, ).ii. ijvooreeld 5,, ).c.,, ).d. ) ) ) c. M=,, ) en r =......c..d. ) ) )..... =... cilinder...c. ) ) ) 9....c..d.. = 5. ) ) ) en ) 5) ) 5

16 c. en. 8 ) ) ) en ) ) ). 9 5) ) ) en 9 ) ) ) M=,, ) en r =.c.... M=,, ) en r = en 6 6. ) ) ) 7. 8 ) 6) ) ) ).. ) 6) ) 9. ) ) ) en ) ) 5)

Vergelijkbare documenten

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.