1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

Transcriptie

1 Vlmse Wiskunde Olmpide : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4 punten bij, een blnco ntwoord bezorgt hem of hr 0 punten en een foutief ntwoord wordt ls ngerekend De voorziene ntwoordduur bedrgt 3 uur De problemen Welke veelterm is geen deler vn (x ) (x 3 + x)? x 3 x + x x x + (C) x x (D) x 3 x (E) x 4 x (x ) x + Als z Z 0, dn is z z soms even, soms oneven steeds strikt positief (C) nooit een priemgetl (D) steeds even (E) steeds oneven 3 Welke uitsprk is wr? 8 8 is de tweede mcht vn is de derde mcht vn 4 4 (C) 8 8 is de vierde mcht vn 4 4 (D) 8 8 is de chtste mcht vn 4 4 (E) 8 8 is de zestiende mcht vn Hoeveel vn de volgende zes getllen (met 0 cijfers) zijn deelbr door 6? (C) 3 (D) 4 (E) 5 5 Het middelpunt vn het bovenvlk vn een kubus met ribbe, ligt op gelijke fstnd vn de vier hoekpunten vn het grondvlk vn de kubus Die fstnd is gelijk n 5 6 (C) 7 (D) (E) 3 6 Een toets, bestnde uit drie vrgen, stt op 0 punten Elke vrg is minstens punten wrd Op hoeveel mnieren kunnen dn de 0 punten verdeeld worden over de drie vrgen? (Elke vrg is een geheel ntl punten wrd) 4 3 (C) 5 (D) 0 (E) 30 c Vlmse Wiskunde Olmpide vzw, overnme enkel toegelten mits bronvermelding

2 7 In een scherphoekige driehoek bc verdeelt een hoogtelijn een binnenbissectrice (C) een zwrtelijn (D) een middelloodlijn (E) een middenprllel de driehoek in twee delen met gelijke oppervlkte 8 In de verzmeling R 0 is b c = b c enkel en lleen geldig voor = b = c = b = c = (C) c = (D) c = of c = (E) lle, b, c R 0 9 Een computer zendt een boodschp bestnde uit drie cijfers (0 of elk) nr een ndere computer Hoeveel vn de volgende uitsprken zijn juist? Als het eerste cijfer 0 is, dn is de som vn de cijfers kleiner dn of gelijk n 3 b Als de som vn de cijfers oneven is, dn is het eerste of het derde cijfer c De som vn de cijfers is oneven ls en slechts ls er minstens één is d Er is minstens één ls de som vn de cijfers oneven is 0 (C) (D) 3 (E) 4 0 Gegeven < b en c < d in R 0 Hoeveel vn de volgende 4 uitsprken zijn juist? c < b d ; d < b c ; c < bd ; b < 0 (C) (D) 3 (E) 4

3 In welke vn de onderstnde figuren stelt het gerceerde deel met rnd de verzmeling {(x, ) R (x + en x ) of ( 0)} voor? x x (C) x (D) x (E) x Op de verzmeling {x R x 7x + 0} is de kleinste wrde vn x + 7x + gelijk n 4 4 (C) 3 (D) 4 (E) Welke vn de volgende 5 betrekkingen geldt niet in elke driehoek bc? sin = sin(b + c) cos = cos (b + c) (C) tg = tg b + c (D) cos( b + c) = cos(b c) (E) cos = sin b + c 4 Hoeveel verschillende uitkomsten kunnen we verkrijgen door twee willekeurige (verschillende) getllen vn de verzmeling {4, 8, 9, 6, 7, 3, 64, 8, 43} te vermenigvuldigen? 7 36 (C) 3 (D) 0 (E) 3

4 5 Een kegel heeft hoogte 4 en een grondvlk met strl 3 De openingshoek (in rdilen) vn de ontwikkeling vn deze kegel is gelijk n 3π 4π 3 (C) 4π 5 (D) 5π 6 (E) 6π 5 6 De vergelijking 4 5x = x heeft in R (C) (D) (E) twee oplossingen, wrvn één positief is en de ndere negtief één oplossing en deze is negtief twee oplossingen en deze zijn negtief twee oplossingen en deze zijn positief geen oplossingen 7 Schrijf een getl vn zes cijfers gekozen in {0, } Bv 00, , 000, Hoe groot is de kns dt drin een opeenvolging vn minstens drie nullen voorkomt? 5 6 (C) 8 (D) 9 3 (E) 3 8 Het ntl oplossingen (x, ) met x, Z vn de vergelijking x + + x + = 3 is 0 (C) (D) 3 (E) groter dn 3 s 9 Als je uit het hoekpunt vn een kubus vier digonlen trekt zols op de figuur hiernst is ngegeven, en je berekent de hoeken pq, pr, ps, qr, qs, rs, hoeveel verschillende wrden verkrijg je dn? p q r (C) 3 (D) 4 (E) 5 0 Zij f : R R een periodieke functie met periode 3, zodnig dt f(x) = x voor < x, dn is f( 4) gelijk n 0 (C) (D) 4 (E) 6 Gegeven is een orthonorml ssenstelsel De enige toegelten bewegingen zijn verschuivingen over de vectoren (0, ) en (, 0) Op hoeveel mnieren kun je vn (0, 0) in (3, 3) gerken met vermijding vn de punten (, 0), (3, 0) en (3, )? 0 (C) (D) 3 (E) 4 4

5 De negtie (ontkenning) vn x even : x + x is even is (C) (D) (E) x even: x + x is oneven x oneven: x + x is even x oneven: x + x is oneven x even: x + x is oneven x oneven: x + x is even 3 De verhouding vn de grote bsis tot de kleine bsis vn een trpezium is p De verhouding vn de grootste opstnde zijde tot de kleinste opstnde zijde is q Als men de twee digonlen trekt, dn is de verhouding A/B vn de oppervlkte vn de twee driehoeken die de bsissen niet bevtten (zie figuur hiernst) gelijk n A x B q px p q p q (C) (D) q p (E) q p 4 Hoeveel driehoeken zijn er wrvn de lengten vn de zijden opeenvolgende oneven ntuurlijke getllen zijn en met een omtrek strikt kleiner dn 000? (C) 67 (D) 33 (E) 33 5 Gegeven een cirkel met strl en zes gelijke cirkelbogen eveneens met strl die elkr snijden op de gegeven cirkel (zie figuur hiernst) De oppervlkte vn de gerceerde figuur is π (D) π 3 (E) geen vn de vorige (C) 3 3 π 5

6 6 Als de reële getllen x en voldoen n x = x +, hoeveel wrden kn x dn nnemen? (C) 3 (D) 4 (E) oneindig veel 7 Zij x het grootste geheel getl kleiner dn of gelijk n x Bv π = 3, π = 4 Beschouw de volgende 4 uitsprken: 7x = 7 ; 7x = 7 x ; x + 7 = x + 7 ; x + 7 = x + 7 Hoeveel vn deze uitsprken zijn wr voor lle x ], 0 [? 0 (C) (D) 3 (E) 4 8 Twee cirkels met strl rken elkr in g De gemeenschppelijke middellijn snijdt de ene cirkel nog in De punten b en c liggen elk op een verschillende cirkel zodnig dt bc door g gt en een hoek vn 45 vormt met de gemeenschppelijke middellijn De oppervlkte vn de driehoek bc is gelijk n g c b,5 π (C) (D) 5 (E),5 6

7 9 Een doos bevt 900 krtjes met lle positieve gehele getllen vn 00 tot en met 999 Hilde trekt willekeurig krtjes uit de doos en berekent de som vn de cijfers voor elk krtje Hoeveel krtjes moet Hilde trekken om er zeker vn te zijn dt drie vn de getrokken krtjes dezelfde som vn de cijfers geven? (C) 55 (D) 56 (E) Zes blikjes col worden tegen elkr geschoven op de zes mnieren zols op de tekening hiernst in bovennzicht wordt getoond Vervolgens worden ze met gespnnen en onuitrekbre bnd (vette lijn) bij elkr gehouden In sommige gevllen is de lengte vn deze bnd dezelfde In hoeveel vn deze gevllen verkrijg je de kleinst mogelijke lengte? (C) 3 (D) 4 (E) 5 7