3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

Transcriptie

1 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls je het zelf (nog) niet lgebrïsch kunt. Uitleg Meetkunde Snijpunten Uitleg Opgve Bestudeer de Uitleg, pgin. Het is nuttig om lle drie de oplossingsmethoden goed te beheersen, soms is de éne, dn weer de ndere hndiger. ) Bereken de snijpunten vn de lijnen l en m met behulp vn de eerste methode. Doe dit lgebrïsch. b) Bereken de snijpunten vn l en m ook met de tweede methode. c) En werk tenslotte de derde methode nog een keer door. Opgve Bereken het snijpunt vn l en m in de volgende gevllen: ) l: x 3y = 6 en m: x + 4y = 0 b) l: 4x + = 0 en m: 5x + y = 0 Opgve 3 Welke vn deze drie methoden werkt het beste ls je het snijpunt vn de lijnen p: 5x 3y = 5 en q: x 6y = wilt berekenen? Bereken dit snijpunt. Opgve 4 Bereken het snijpunt vn l: x + 3y = 6 en m: y = 4 3 x. Wt gt er mis en hoe kun je dit verklren? Opgve 5 Het snijpunt vn twee lijnen bereken je door het stelsel lineire vergelijkingen op te lossen. ) Hoeveel snijpunten hebben de lijnen x + y = 6 en x + 4y = 0? b) Hoeveel snijpunten hebben de lijnen x + y = 6 en x + 4y =? c) Hoeveel oplossingen kn een stelsel vn twee lineire vergelijkingen met twee onbekenden hebben? Schrijf lle mogelijke situties op. STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008

2 Opgve 6 In Uitleg, pgin zie je hoe je snijpunten vn een lijn en een cirkel berekent. Bereken op dezelfde mnier het snijpunt vn de cirkel c en de lijn m: x y = 4. Geef weer benderingen in twee decimlen nuwkeurig. Opgve 7 Hoeveel gemeenschppelijke punten kunnen een lijn en een cirkel hebben? (Experimenteer met de pplet in de Uitleg. Je kunt de strl vn de cirkel npssen.) Opgve 8 Bereken het snijpunt vn k: y = 0,75x + 6,5 en de cirkel c: x + y = 5. Theorie en Voorbeelden Meetkunde Snijpunten Theorie Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgven gn drover. Opgve 9 In Voorbeeld wordt het snijpunt vn l en m berekend door substitutie. Drbij wordt de vergelijking vn l herschreven nr y = Voer deze berekening nog eens uit, mr nu door de vergelijking vn m te herschrijven en dn in te vullen. Opgve 0 Bereken het snijpunt vn l en m ook met de blnsmethode. Opgve Bereken het snijpunt vn l en m in de volgende gevllen: ) l: x 3y = 6 en m: x + 4y = 0 b) l: 4y = en m: 5x + y = 0 c) l: x 3y = 6 en m: y = 4 3 x Opgve Kijk nog eens nr Voorbeeld. ) Door p te vriëren in de pplet kun je bekijken wnneer beide lijnen geen snijpunt meer hebben. Bekijk hoe de wrde vn p wrvoor dit het gevl is, wordt berekend. b) Gegeven zijn de lijnen l: x + 5y = en m p : px y = 4. Voor welke wrde vn p hebben deze lijnen geen snijpunt? Opgve 3 Bereken de snijpunten vn de cirkel (x 3) + (y + 5) = 5 met: ) de x-s b) de y-s c) de lijn k: x + y = STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008

3 Opgve 4 Voer de berekening vn Voorbeeld zelf heleml uit. Geef je ntwoorden in één deciml nuwkeurig. Welke betekenis heeft de vergelijking 4x + 6y = 9 in deze berekening? Opgve 5 Gegeven de cirkels c : x + (y ) = 9 en c : (x ) + y = 9. De lijn l gt door de middelpunten vn beide cirkels. ) Bereken de snijpunten vn c en c in twee decimlen nuwkeurig. b) Bereken de snijpunten vn c met de beide coördintssen. c) Bereken de snijpunten vn c en l in twee decimlen nuwkeurig. d) Lijn l heeft in totl vier snijpunten met beide cirkels. Hoeveel bedrgt de grootste fstnd tussen twee vn die snijpunten in één deciml nuwkeurig? Opgve 6 Bekijk Voorbeeld 3. Je moet hiervoor weten hoe je kwdrtische vergelijkingen oplost met de bc-formule. ) Voer nu zelf de berekening vn de excte wrden vn p wrvoor de lijn de cirkel rkt uit. b) Lijnen door (0,3) hebben ls vergelijking y = x + 3. Voor welke wrde vn rken deze lijnen de cirkel c: x + y = 4? Prcticum Meetkunde Snijpunten GeoGebr III Je ziet in dit prcticum hoe je coördinten vn snijpunten kunt lten berekenen en tonen door GeoGebr. En je kunt er ook zien hoe je rklijnen n een cirkel kunt lten tekenen door het progrmm. Bedenk wel dt je de berekeningen ook met de hnd moet kunnen uitvoeren. Verwerken Opgve 7 Bereken in twee decimlen nuwkeurig de snijpunten vn: ) lijn l: x + y = 6 en cirkel c: (x ) + (y ) = 0 b) lijn m: 5x y = 0 en lijn k: x = 3y c) lijn l: x + y = 6 en prbool y = 4x Opgve 8 Voor welke wrde vn hebben de lijnen x + 4y = 0 en x = y + 6 geen snijpunt? STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 3

4 Opgve 9 Als je in een cirkel twee lijnen trekt die llebei door het middelpunt M gn, dn vormen de vier snijpunten vn die lijnen met de cirkel een rechthoek. Deze stelling kun je met nlytische meetkunde bewijzen. ) Kies een ssenstelsel wrvn O(0,0) het middelpunt vn de cirkel is en het punt (,0) een punt op de cirkel is. Welke vergelijking heeft de cirkel dn? b) De éne lijn door het middelpunt vn de cirkel is bijvoorbeeld de x-s, de ndere is dn y = x. Welke vier snijpunten met de cirkel vind je? c) Wrom vormen deze vier punten een rechthoek? d) Kun je ook een bewijs geven zonder nlytische meetkunde? Opgve 0 Mobiele telefonie Mobiele telefoons hebben soms geen bereik. Dt betekent dt er geen mst met ntenne dicht genoeg in de buurt is om mee in verbinding te kunnen stn. Stel je voor dt zo n ntenne een bereik heeft vn 30 km. Op 5 km vn de snelweg A stt een mst met zo n ntenne. Gedurende hoeveel km op de A kun je vi die ntenne met je mobiele telefoon verbinding mken? Probeer dit met nlytische meetkunde op te lossen. Opgve Gelijkzijdige driehoek Met een psser kun je gemkkelijk een gelijkzijdige driehoek construeren. Cirkel AB om vnuit punt A en drn vnuit punt B en mrkeer één vn de twee snijpunten vn die cirkels ls punt C. ABC is dn de gewenste gelijkzijdige driehoek. Dit kun je ook met nlytische meetkunde doen (en met GeoGebr). Neem een crtesisch Oxy-ssenstelsel en A(, 0) en B(, 0) met > 0. ) Cirkel c heeft middelpunt A en strl AB. Stel een vergelijking voor c op. b) Cirkel c heeft middelpunt B en strl AB. Stel een vergelijking voor c op. c) Bereken de snijpunten vn c en c. d) Noem één vn beide snijpunten C en lt zien dt de fstnden tussen A, B en C even lng zijn. Testen Opgve Bereken lgebrïsch de snijpunten vn: ) lijn l: x + 4y = en lijn m: x 3y = 0 b) lijn l: x + 4y = en cirkel c: (x 7) + (y + 3) = 34 c) de cirkel c: (x 7) + (y + 3) = 34 en de cirkel k: x + (y 3) = 3 Opgve 3 Gegeven cirkel c met middelpunt M(,) en strl 4 en lijn l door de punten (0,3) en (5,0). Bereken de fstnd tussen de snijpunten vn l en c in één deciml nuwkeurig. Opgve 4 Voor welke wrde vn p hebben de lijnen x + 7y = 8 en px y = 5 geen snijpunt? STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 4

5 Antwoorden ) l: y = + en m: y = x 4 b) - c) - snijpunt (5,6 ;,) ) b) (4, ) 0 3 ( 3,7 ) 3. Methode III, (, ) x lijnen l en m lopen evenwijdig Er is geen snijpunt 5) 0, lijnen lopen prllel b) oneindig veel gemeenschppelijke punten, lijnen vllen smen c) Lijnen niet evenwijdig: oplossing Lijnen vllen smen: oneindig veel Lijnen evenwijdig: geen oplossing 6. ( 0,49 ; 4,98) en (3,69 ; 3,38) 7. 0, of 8. (3,4) 9. m: y = x ) (4, ) b) c). 0 3 (5, 3) 5 (4,) p = ) (3,0) b) (0, ), (0, 9) c) (,30 ; 0,30), (7,70 ; 6,70) 4. (4,7 ;,7), ( 0, ; 5,0) 5) ( 0,87 ; 0,87), (,87 ;,87) b) (0,5), (0,-) en ( 5,0), ( 5,0) c) (, ; 0,), (, ; 4,) d) 6 + 8, 8 6) - b) = ±, 5 7) (4,) en (,4) b) (,84 ;,) c) (3,9 ; 7,9), (,7 ; 3,9) 8. = 8 9) x + y = b) x-s: A(,0), C(-,0) y-s: B(, ) + + (, ) D + + c) in ABC geldt: AB BC = ( ) + ( ), + + = + + en AC = Er geldt ( ) ( ) + + AB + BC = 4 = AC Pythgors klopt, zodt ABC rechthoekig wrdoor AB BC Net zo bij ndere zijden, dus rechthoek. d) AC middellijn, dus ABC = CDA = 90 o (Thles) Net zo: BCD = DAB = 90 o wnt BD is middellijn 0. Mst(0,5) Cirkel : x + ( y 5) = 900 Cirkel snijden met x-s : 5,0 km ) c : ( x + ) + y = 4 b) c : ( x ) + y = 4 c) (0, 3) en (0, 3) d) AC = BC = ) ( 4,4) b) (4,) en (,0) c) (4,) en (,0) 3. (,03 ; 3,6), (5,73 ; 0,44) fstnd = 7,9 4. p = 7 STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 5