Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V V d e f + g Hoofdstuk - Funties en lger ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p )( p+ ) of p of p + of p of p of of Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

2 V- Hoofdstuk - Funties en lger e ( ) of of of of of f + ( + ) of + of vervlt omdt niet estt g t + t t + t+ ( t + )( t + ) t + of t + t of t h ( ) + ( )( + ) of i + + ( )( ) of j + q q q q q q ( q )( q+ ) V- q of q p p p p d y 9 O m l + ( + ) ( ) + y + snijpunt (, ) y Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel p p p p p + + p q q q q q q p + p + + p p p p p

3 V- ( ) + + y + + V-9 y + y O A l B 9 AB 9 + BC + 9 AC + E(, ) en F(, ) Oppervlkte vn driehoek OBE. Oppervlkte vn driehoek OBF. V- HK BL + BK HL + Alle zijden zijn even lng dus vierhoek BKHL is een ruit. + +( ) KL KE EG C, In een ruit stn de digonlen loodreht op elkr en dus geldt voor de oppervlkte KL BH. BH AB + AH + ( ) dus de oppervlkte vn vierhoek BKHL 9, Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

4 d Hoofdstuk - Funties en lger. Wortels ldzijde 9 f en g heen niet dezelfde grfiek. D f [, en B f [, D g [, en B g [, f en g heen dezelfde grfiek. D D [, en B B [, f g f g f en g heen dezelfde grfiek. D D, en B B, f g f g f en g heen dezelfde grfiek. D D [, en B B [, f g f D f en D g B f [, en B g Op intervl [, zijn de grfieken vn f en g gelijk. Horizontl vermenigvuldigen met. Vertil vermenigvuldigen met. g ( ) D h y 9 O g y + en y d Op intervl [, zijn de grfieken hetzelfde. D D en D f g h [, B f en B g B h [, y O f y O Op intervl [, zijn de funtiewrden gelijk. d g ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel g y O h

5 ldzijde 9 D f [, en D D g h Op domein [, geldt g ( ) h ( ). Op domein [, geldt ( f( )) h ( ) d g ( ) op intervl, ] p O q en p p q p q q p + d q. Breuken ldzijde 9 p q 9 Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel 9

6 Hoofdstuk - Funties en lger + ( + ) 9 + ( + ) Je kunt de teller en de noemer delen door ftor +. - d D f,,, D g,, e Voor is f( ) niet gelijk n g ( ). f ( ) ( ) ( ) g ( ) + u ( ) ( ) h u u ( ) u u + u + ( u+ )( u ) + ( u+ )( u ) (u ) u ldzijde ( ) mits ( + )( ) mits mits mits of ( )( + ) d ( ) mits ( ) mits ( )( + ) of s 9 O t Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

7 s t + t + s t s t 9 O 9 s d De horizontle symptoot vn de grfiek vn s, s, is de vertile symptoot s ij de grfiek vn t geworden en de vertile symptoot vn de grfiek vn s, t, is ij de grfiek vn t de horizontle symptoot t geworden. q + q qq ( + ) q p q + ( q + ) q mits q q p geeft q p dus q p mits p p geeft p + log q geeft p + logq + logq + log q mits logq q q p p geeft + logq geeft logq p dus + log q p p p p q ( ) 9. Stelsels vergelijkingen ldzijde y + sustitueren geeft + ( + ) + y + (, ) is het snijpunt vn de lijnen l en m 9 Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

8 Hoofdstuk - Funties en lger y O 9 + ( )( ) of y y snijpunten (, ) en (, ) q q q q+ ( q )( q ) q p 9 ( q ) q q q+ q q+ ( q )( q ) q p - Door de vergelijking + y met te vermenigvuldigen ontstt de gelijkwrdige vergelijking + y. y+ + y y y + geeft D ( ) 9 9 of + 9 komt te vervllen wnt Hij is vergeten de oplossing te ontroleren. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel 9

9 ldzijde y geeft y ( + ) of y of y dus (, ) en (, ) + y geeft y dus ( + )( ) ( + )( + ) + + ( )( + ) of y of y 9 + y geeft y+ dus y+ + y y y D ( ) y + of y + + y + y 9( + ) y + 9 y 9 y ( y ) 9 y y + y( y) y of y of dus (, ) en (, ) + y geeft y+ ( y+ ) y y + y y y+ ( y )( y ) y of y + of + d y+ geeft y dus ( )( ) ( )( ) deze oplossing komt ehter te vervllen doordt de noemer dr nul wordt. Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

10 Hoofdstuk - Funties en lger k m is jr lter dus k wordt k + en m wordt m +. Als Krin dn drie ml zo oud is ls Merle geldt dus k+ ( m+ ) m+ ( m+ ) m+ m+ m m k Op pril ws Krin en Merle jr. ( + ) ( )( + ) of y y De snijpunten zijn (, ) en (, ). Inhoud Oppervlkte + geeft dus + + Plot de grfiek vn y + en epl de nulpunten. of, of 9, De fmetingen zijn ij ij of, ij, ij,9.. Prmeters ldzijde Voor krijg je f( ) +. Voor krijg je f( ) + De grfieken zijn twee evenwijdige lijnen. y + (, ) + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

11 d y + (, ) + De grfieken vn f en g gn lleml door (, ). y (, ) Voor krijg je een grfiek uit opdrht. De grfieken vn f gn lleml door (, ), de grfieken vn g heen geen gemeenshppelijk punt. De helling ij is in de grfieken vn g steeds gelijk terwijl de helling in de grfieken vn f steeds verndert. f () 9 dus 9 g () + 9 dus d f ( ) ( ) dus g ( ) ( ) + + dus e Als en geldt f ( ) g ( ). ldzijde f ( ) dus de grfiek gt voor elke door (, ). De grfiek vn f ( ) heeft ls nulpunten, en dus grfiek. Grfiek gt door (, ) dus f ( ) dus. d f ( ) dus f '( ) f '( ). De helling in punt P is. Als je niet meer weet hoe je moet differentiëren, zoek dt dn op in hoofdstuk. e geeft 9 dus of f ( ) ( ) ( ) + In punt (, ) is de helling ook. f f '( ) f '( ) is positief ls negtief is Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

12 9 Hoofdstuk - Funties en lger De grfiek voor p estt uit de tkken met een top. De grfiek voor p estt uit de tkken die de -s snijden. y O p p f ( ) + p p p p + + d Als + p snijdt de grfiek de -s. p heeft lleen oplossingen ls p negtief is. e f ( ) + p dus f '( ) p p p p p ls p dus p of p f ( p p ) p + p p p p p + f ( p p ) p + p p p p p y p O p p p 9 D f [, ]; D f [, ] ; D f [, ] ; D f9 [, ] De strlen zijn htereenvolgens,, en. d D [ p, p] f p e De strl is p. log( + ) + Er is een symptoot ls + dus voor. f ( ) log dus lle grfieken vn f gn door (, ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

13 . Gelijkwrdige formules ldzijde Jesse edoelt dt de formules gelijkwrdig zijn. Dit is het gevl mits R. R U mits I I y, y + y y R P I I P I P ( P komt te vervllen omdt de stroom I positief is). R R R R U I I U U dus I U I R R dus I,, I U R R U U geeft dus R R U R R R I 9 9 U I R I U dus I en I R R R I U U R Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

14 Hoofdstuk - Funties en lger ldzijde E mv E mv m E E v v E mv E mv v E v E m m v E of v m m m m m of v E m d De negtieve oplossing E kun je uiten eshouwing lten omdt lleen de m grootte vn de snelheid vn elng is. P R R P P I I P I P of I P. Deze negtieve oplossing kun je uiten eshouwing lten. I P I P R R 9 + v, m v v Dit is niet mogelijk wnt de eeldfstnd ndert nr de rndpuntsfstnd ls de fstnd v vn het voorwerp heel groot is. f f f + v f v v f f f f f d + v v v v v v v dus v v e Als v heel groot wordt ndert v nr. v f Uit N, volgt v, dus, v Uit f volgt + v. Door sustitutie vn, v volgt hieruit dt, + +, v v, v, v dus,, v v wruit volgt dt,., v, T l l T l T l g T g g g π π π π l 9, ( ), m dus de lengte vn de slinger is ongeveer, m π Om de slingertijd te verduelen moet je de lengte verviervoudigen wnt l l g g l g. Meetkundige toepssingen ldzijde Het hellingsgetl is en het strtgetl is dus y +. y + dus OQ en QP dus de oppervlkte vn OQPR is Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

15 y + dus OQ en QP + dus de oppervlkte vn OQPR ( + ) + d + + ( )( ) of Als of is de oppervlkte vn OQPR gelijk n. De vergelijking + mg ook met de grfishe rekenmhine opgelost worden. e Plot de grfiek vn y + en ereken met de grfishe rekenmhine het mimum. Dit geeft. De oördinten vn P zijn dn (, ). ldzijde Punt C is (, ) + Punt B is (, ) + + C(, ) + d d B(, ) + Het vershil in y-wrden is + ( + ). Voer deze formule in in de grfishe rekenmhine en ereken het mimum. Voor, is dit vershil het grootst, nmelijk,. De omtrek vn de hlve irkel is π π. De omtrek vn het hele rm is + + π, dit geeft, π, π dus. De oppervlkte vn het rm is dn, π ( 9 )+ π, π+ π, π, m Omtrek P l+ + πr l+ + π r,., πr l, π r r dus, πr r Oppervlkte A oppervlkte rehthoek + oppervlkte hlve irkel l + πr r(,, πr r) + πr, r πr r + πr, r πr r, r ( π+ ) r da d, ( π + ) r dr, ( π+ ) r, r π + e De mimle oppervlkte is A, 9, π+ m. l AP+ PG +, l AP + PG ( ) l is miniml, voor 9 Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel 9

16 9 Hoofdstuk - Funties en lger. Gemengde opdrhten ldzijde ( ) of of ( ) of of Domein [, ] ls d ( ) of of e (mits ) ( ) ( + ) Alle hkjes wegwerken geeft D + of Je kunt ook de vorm A B herkennen wruit volgt A B of A B dus + of of of De vorm is A C wruit volgt AD BC dus B D + + ( + )( + ) + + ( )( + ) of Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

17 ( ) ( ) + + ( )( ) of N ontroleren lijkt niet te voldoen wnt dus lleen is oplossing. d De vorm is A C wruit volgt dt BC A. B of estt niet dus TG, ( )(, ) komt te vervllen ls oplossing.,, C Als T geldt TG, (, U) + (, U), U. Voor T geldt TG +, U. Voor T geldt TG 9 +, U. Voor T geldt TG +, U. TG O T T T T U T Voor T geldt TG +, U dus de lgste wrde voor TG en de hoogste wrde is TG +, C. d Voor T geldt TG, (, U). Bij C geldt dus TG T. e - f, ( T ) > voor T < dus wordt de gevoelstempertuur hoger dn de werkelijke tempertuur. g, U ls U Dn geldt TG T, ( T ) T. Dit etekent dt ij een luhtvohtigheid vn de gevoelstempertuur ltijd gelijk is n de werkelijke tempertuur. Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel 9

18 9 Hoofdstuk - Funties en lger y sustitueren geeft + dus 9 ( )( + ) of y of y. De oplossingen zijn dus en y of en y y + sustitueren geeft ( + ) + + ( + 9)( ) 9 of y of y De oplossingen zijn dus 9 en y of en y y sustitueren ( )( ) + + ( )( 9) of 9 y of y De oplossingen zijn dus en y of 9 en y. d y + sustitueren ( + ) ( + ) ( )( + ) of y of y De tweede oplossing voldoet niet omdt y + dus y. De oplossing is dus en y 9 ldzijde 9 h h l h h l ( h) h l l, h Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

19 h h h h h Inhoud l h h(, h)( h) de Plot y (, )( ) en ereken het mimum. De mimle inhoud is m voor h m. f Voor h of h is de inhoud ntuurlijk. De tijd die nodig is voor BC is + uur. Stel de fstnd AB gelijk n dn is de totle fstnd wnt de driehoek is gelijkzijdig. Driekwrt vn is dus AB + BC + CA. + ( + ) + y dus + y d y+ ( + ) + dus y+ e y sustitueren geeft + ( ) + y De totle tijd voor de zeilre is uur. Test jezelf ldzijde T- D f, ]; D g ; D h Op intervl [, geldt g ( ) h ( ). ( f( )) is lleen gelijk n h ( ) ls d g ( ) + voor, ] T ( + )( ) + of Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel Hoofdstuk - Funties en lger + ( + ) ( + ) of vervlt wnt delen door kn niet. Dus oplossing is. d + + ( ) 9( + ) 9+ 9 deze oplossing vervlt, er is dus geen oplossing. 9

20 9 Hoofdstuk - Funties en lger T- + y sustitueren geeft ( + y)( y ) + y + y ( y+ )( y ) y of y y sustitueren geeft ( y ) + y y y+ ( y )( y ) y of y y sustitueren geeft ( ) en y d y sustitueren geeft ( y )( y ) y + y y+ y + y y y y D ( ) y + + of y ( + ) + of ( ) p T- f ( ) + p geeft + p + p ls p f ( ) p ls + p Als p heeft deze vergelijking preies één oplossing. Mr ook ls p 9 heeft de grfiek één snijpunt wnt f 9 ( )( + ) ( ) + (voor ) 9 y O p p p 9 + p heeft geen oplossingen ls p > 9 9 d f () 9 dus in estt er geen funtiewrde. Dt etekent voor de grfiek dt er in een perfortie (een gt ) zit. e f ( ) 9 9 ( + )( ) + mits Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel

21 ldzijde T- K, K, K 9, Er is dus een kpitl nodig vn ongeveer e.,-., Je kunt ntuurlijk ook de grfiek vn y plotten en ngn wnneer de y-wrde is., Het kpitl wordt dn e..,- dus K en Q., dus een proentuele toenme vn,%. K wordt twee keer zo groot dus neemt de produtie met ftor toe omdt ( K),, K,.,, dus een proentuele toenme vn %, dus geen verdueling. d, K A A,, K K A, K e A in werknemers A ( K ) K in duizenden euro s K,,,, K K,,, Het ntl werknemers dlt dus met, 9, %. T- Oppervlkte voorvlk + htervlk h h Oppervlkte linkerzijvlk + rehterzijvlk h h Oppervlkte grondvlk Totle oppervlkte h + h + h+ dus h h I h I', dm Je kunt met de grfishe rekenmhine ook het mimum vn y erekenen. Hoofdstuk - Funties en lger Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel 9

22 9 Hoofdstuk - Funties en lger T- P(, ) en Q(, ) Het hellingsgetl vn PQ is ( + )( ) +. Om vn P in S te komen moet je twee nr eneden dus g je nr links wnt + het hellingsgetl is +. De -oördint vn P is dus wordt de -oördint vn S. + ST Plot y + en ereken wnneer y,. Dit is voor ( + ),. ( )( + ) T- f( ) + Als geldt f( ) (mits ). Als geldt f( ) + (mits ). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen hvo B deel