H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

Transcriptie

1 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het gemkkelijkst flezen in de rehthoekige driehoek ABC (de hoek ij C is reht): B C A We definiëren: 1. De sinus vn de hoek (nottie: sin() ): sin ( ) overstnde zijde = sin ( ) =... (1) shuine zijde 2. De osinus vn de hoek (nottie: os() ): nliggende zijde os( ) = os( ) =.. (2) shuine zijde 3. De tngens vn de hoek (nottie: tn() ): tn ( ) overstnde zijde = tn ( ) =.. (3) nliggende zijde Opmerking Uit de definitie vn sin(), os() en tn() volgt: tn ( ) = sin os ( ) ( ). (4)

2 Voor elke rehthoekige driehoek geldt de stelling vn Pythgors: =. () Vooreeld 1: Bepl in onderstnde figuur de lengte vn de shuine zijde. Bepl drn voor hoek de sinus, de osinus en de tngens. Oplossing: Pythgors: = 9+ 16= 2= = 3 4 sin ( ) = 3 os( ) = 4 tn ( ) = 3 4 Vooreeld 1: Bepl in onderstnde figuur de lengte vn de rehthoekszijde. Bepl drn voor hoek β de sinus, de osinus en de tngens. β 13 Een hoek drukken we uit in grden. Zo komt een rehte hoek overeen met 90. Als de grootte vn een hoek ekend is, dn kn de sinus-wrde, de osinus-wrde en de tngens-wrde vn die hoek met de rekenmhine worden epld. Vooreeld 2: G uit vn een hoek vn 40, dus: = 40 Dn kunnen we met de rekenmhine erekenen: sin = sin 40 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) os = os 40 = tn = tn 40 = 0.834

3 Vooreeld 3: In onderstnde rehthoekige driehoek is zijde = 4 en hoek = 3 Bereken de zijden en. Bereken ook de hoek β. β =4 Oplossing: sin ( 3 ) = = = = tn ( 3 ) = = = = Voor elke driehoek geldt: de som vn de hoeken is 180 Dus: + β + 90 = β + 90 = 180 β + 12 = 180 β = Vooreeld 3: In ovenstnde rehthoekige driehoek is zijde = 8 en hoek β = 2 Bereken de zijden en. Bereken ook de hoek. Vooreeld 4: Een lk is onder een eplde hoek γ ingeklemd in de grond. An het uiteinde vn de lk hngt een gewiht, welke met een vertile krht F vn 20 newton n die lk trekt (zie onderstnde figuur). Deze krht F mkt een hoek vn 0 met de lk. De krht F kunnen we ontinden in 2 omponenten: een krht F X, welke lngs de lk vlt, en een krht F Y, welke loodreht op de lk stt. Bereken de grootte vn deze omponenten. Bereken ook de grootte vn de hoek γ. F X 0 F Y γ F

4 Oplossing: os( 0 ) = FX FX FX F F = F = = = sin ( 0 ) = FY FY FY F F = F = = = newton newton 0 + γ + 90 = 180 γ = 180 γ = 40 Vooreeld 4: Een voorwerp wordt met een snelheid v vn 12 m/s weggeshoten onder een hoek vn 6 (zie onderstnde figuur). Deze snelheid kunnen we ontinden in 2 omponenten: Een horizontle snelheid v x en een vertile snelheid v y. Bereken de grootte vn deze omponenten. v y V v 6 v x 10.2 Goniometrie en de rekenmhine We eshouwen de uitdrukking y = sin ( 20 ). We kunnen de wrde vn y erekenen met de rekenmhine m..v. de sin-knop (rekenmhine instellen op grden!): y = Bij deze vrg is de hoek ekend, en moet de onekende sinus-wrde worden erekend. Beshouw nu de uitdrukking sin ( ) = We kunnen de wrde vn de hoek erekenen met de rekenmhine m..v. de sin -1 -knop. Als we de rekenmhine instellen op grden, dn vinden we de hoek = 38.7 Bij deze vrg is de sinus-wrde ekend, en moet de onekende hoek worden erekend. Deze ltste vrg is het omgekeerde proleem (of inverse proleem) vn de eerste vrg. Het eplen vn de onekende hoek uit de vergelijking sin ( ) = geeurt dus met de sin -1 -knop vn de rekenmhine. Als je dit wilt opshrijven, dn kun je dit ls volgt noteren: sin = = sin -1 (0.6218) = 38.7 ( )

5 Vooreeld 1: Bepl de grootte vn de hoek in grden vn: sin os ( ) =. ( β ) =. ( ) d. sin ( ) = os( ) β = Merk op, dt hier nu geldt: + β = 90 tn γ = 3.18 Vooreeld 2: In onderstnde rehthoekige driehoek is zijde = 3 en zijde = 7 Bereken de hoek en de zijde. β Oplossing: 3 1 sin ( ) = sin ( ) = = = sin ( ) = os( ) = os( 2.4 ) = = = = Vooreeld 2: In ovenstnde rehthoekige driehoek is zijde = 4 en zijde = 11 Bereken de hoek β en de zijde.

6 10.3 Eenheden voor een hoek Een hoek kun je ngeven in grden, ijvooreeld = 3. De eenheid grden ehoort niet tot het SI-stelsel. Een ndere eenheid voor de hoek is de rdil, fgekort met rd. Bijvooreeld β = 0.48 rd. Deze eenheid ehoort wel tot het SI-stelsel. Het egrip rdil hngt smen met het egrip middelpuntshoek. Definitie: Een middelpuntshoek is een hoek wrvn het hoekpunt in het middelpunt M vn een irkel ligt. M B A In nevenstnde figuur is hoek zo n middelpuntshoek. De irkeloog AB wordt de ooglengte genoemd. Definitie rdil: Een middelpuntshoek heeft de grootte vn 1 rdil, ls de ijehorende ooglengte even lng is ls de strl R vn de irkel. In nevenstnde figuur is de ooglengte AB even lng ls de strl R vn de irkel. Dus: hoek = 1 rd M R R B A Het vernd tussen grden en rdilen: Bij een volledige rondgng lngs een irkel ehoort een driingshoek vn 360. De middelpuntshoek is dus 360. De ijehorende ooglengte komt dn overeen met de omtrek 2πR vn de irkel. De middelpuntshoek komt dus ook overeen met 2π rdilen. Zodt: rdilen π = rdil = 2π grden rdil = grden π Hieruit kunnen we erekenen, dt: 1 rdil 7.3 grden Evenzo kunnen we onluderen: 1 π grd = 180 rdilen

7 Vooreeld 1: Onderstnde hoeken zijn gegeven in grden. Zet deze hoeken om in rdilen: = 30 π π 1 = 30 = = π rd β = 90 π π 1 β = 90 = = π rd π 19π = 19 = 19 = π 78π γ = 78 γ = 78 = rd rd Vooreeld 1: Onderstnde hoeken zijn gegeven in grden. Zet deze hoeken om in rdilen: = 60 β = 4 = 23 γ = 81 Vooreeld 2: Onderstnde hoeken zijn gegeven in rdilen. Zet deze hoeken om in grden: π = π rd π 1 12 = 12 π = 12π = π β = π rd 4 4 β = π 4 π = 4π = 180 γ = 0.73 rd = 0.73 = 41.8 π Vooreeld 2: Onderstnde hoeken zijn gegeven in rdilen. Zet deze hoeken om in grden: 1 = π rd 1 β = π rd 2 γ = 1.6 rd Opmerking: Als een hoek in rdilen is gegeven, dn moet ij geruik vn de rekenmhine deze stn ingesteld op rdilen!! Vooreeld 3: 1 sin ( ) sin 1 = π rd = π = β = 0.67 rd os β = os 0.67 = ( ) ( )

8 Vooreeld 3: 1 sin ( ) sin 1 = π rd = π = β = 1.09 rd tn β = tn 1.09 = ( ) ( ) 10.4 De grfiek vn de funties sin(x) en os(x) Hiernst stt de grfiek vn de funtie f ( x) = sin ( x) Deze grfiek is getekend tussen x = 0 en x = 2 π Veel golfvershijnselen zijn te eshrijven m..v. een sinus-funtie. ( ) = sin ( ) f x x Als we de grfiek vn de funtie f ( x) sin ( x) zien we: = tekenen tussen x = - π en x = π, dn ( ) = sin ( ) f x x We zien dt de grfiek zih steeds herhlt. We spreken dn vn een periodieke funtie. De periode ervn is 2 π. De mximle uitslg ( de mplitude ) vn de golf is 1. ( ) = os( ) f x x Hiernst stt de grfiek vn de funtie f ( x) = os( x) Deze grfiek is getekend tussen x = 0 en x = 2 π. Veel golfvershijnselen zijndus ook te eshrijven m..v. een osinus-funtie.

9 Als we de grfiek vn de funtie f ( x) os( x) zien we: = tekenen tussen x = - π en x = π, dn ( ) = os ( ) f x x We zien dt de grfiek zih steeds herhlt. Ook dit is dus een periodieke funtie. De periode ervn is 2 π. De mximle uitslg ( de mplitude ) vn deze golf is ook 1.