HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

Transcriptie

1 I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo zl men in de studie vn de eweging vn de rde in het heell de rde voorstellen door een punt met ls mss de mss vn de rde. Een stoffelijk lichm (meestl spreekt men verkort vn een lichm) is een smenstel vn stoffelijke punten. De definitie vn krcht volgt rechtstreeks uit de eerste ewegingswet vn Newton die luidt : "Als er geen krcht op een lichm werkt, eweegt het lichm zich voort in een rechte lijn met een constnte snelheid v." (deze constnte snelheid heeft voor ouwwerken op rde de wrde v = 0). Met ndere woorden : een lichm kn uit zichzelf zijn toestnd vn rust of eweging niet vernderen. Drvoor is een uitwendige oorzk nodig. In de fysic wordt een krcht derhlve gedefinieerd ls elke uitwendige oorzk die de rust- of ewegingstoestnd vn een lichm wijzigt. Een krcht kn echter slechts wrgenomen worden door hr uitwerking. Deze uitwerking kn een ewegingstoestndsverndering zijn (dynmisch), of een vormverndering (sttisch) vn het lichm wrop de krcht werkt oorstelling vn krcht Een krcht heeft een eplde grootte en werkt op een lichm volgens een eplde richting en zin. Een krcht is dus een vectoriële grootheid, een grootheid die gekenmerkt wordt door zowel een grootte, een richting en een zin. Een krcht wordt ls vector grfisch voorgesteld door een pijl, en ngeduid door een hoofdletter met een pijltje eroven : F. Wnneer verder gesproken wordt over de krcht F edoelen dn we evengoed de krcht ls hr vectoriële voorstelling. F u l

2 I - 2 De richting vn de krcht wordt gegeven door de drger of werklijn l. De zin wordt ngegeven door de punt vn de pijl op de werklijn of door de nottie, d.w.z. vn nr. De grootte vn de krcht wordt ngegeven ofwel (grfisch) door de lengte vn de pijl, dus de lengte vn het lijnstuk, op een eplde schl getekend, ofwel (nlytisch) door de numerieke wrde vn de grootte te noteren ij een (niet op schl getekende) pijl. Om een krcht ls vector te kunnen uitzetten wordt geruik gemkt vn de éénheidsvector u. Dit is een vector die ls grootte heeft de eenheid vn krcht, en verder dezelfde kenmerken heeft ls de vector F zelf, te weten dezelfde richting, en dezelfde (of tegengestelde) zin. Druit volgt : F = F. u. F duidt dn het ntl ml n dt u op de werklijn moet uitgezet worden om de vector F te ekomen. F wordt het kengetl vn F genoemd. De krcht heeft een grootte +F wnneer F en u dezelfde zin heen; de krcht heeft een grootte -F wnneer F en u een tegengestelde zin heen. Andere vooreelden vn vectoriële grootheden zijn : verpltsing, snelheid, versnelling; deze grootheden ezitten immers een grootte, richting en zin. Tegenover vectoriële grootheden stn sclire grootheden. Een sclr wordt enkel en lleen gekenmerkt door zijn grootte, v tempertuur, volume, mss. Om prctische en didctische redenen zullen in onderhvige cursus krchten F lleen dn ls vectoren F, dus met het pijltje oven het kengetl, worden voorgesteld in zoverre dit nodig is om verwrring te voorkomen. In die gevllen wr uit de context duidelijk is dt met de krcht F wel degelijk de vector F wordt edoeld, zl het pijltje oven F kunnen weggelten worden ernd tussen krcht en versnelling Hiervoor seren we ons op de tweede ewegingswet vn Newton : "De versnelling, die een lichm ondergt, is recht evenredig met de ngrijpende krcht, en geschiedt volgens de richting en zin vn de krcht." Hieruit volgt dt, wnneer een krcht met grootte F n een lichm met mss m een versnelling geeft, volgende etrekking tussen deze grootheden estt : F = m. (1.1) De mss m vn een lichm geen vectoriële grootheid, mr een sclire grootheid. Wiskundig gezien is m in deze vergelijking een evenredigheidsfctor, een richtingscoëfficiënt. Fysisch gezien is de mss m een hoeveelheid mterie. De mss is onfhnkelijk vn de plts wr het lichm zich evindt. In vectoriële voorstelling wordt de vergelijking (1.1) : F = m. (1.2)

3 I - 3 De voornmste krcht wrmee we rekening dienen te houden is de zwrtekrcht. Dit is de krcht die door de rde op lle lichmen wordt uitgeoefend, dus de krcht wrmee lle lichmen door de rde worden ngetrokken. Een lichm met mss m ekomt dus een zwrtekrchtsversnelling g tengevolge vn de zwrtekrcht G, wrvn de grootte gegeven wordt door : G = m.g (1.5) G noemt men het gewicht vn dt lichm, en voor deze vectoriële krcht geldt dn ook : G = m. g (1.6) Eenheid vn krcht De eenheid vn krcht volgt uit de eenheid vn mss, de eenheid vn lengte en de eenheid vn tijd. De eenheid vn krcht geeft n een lichm met een mss vn 1 kg een versnelling vn 1 m/s². De eenheid vn krcht wordt Newton genoemd en wordt ngeduid door N. Dus : 1 N = 1 kg. 1 m 2 1 s = 1 kg m/s² (1.7) eelvouden vn N zijn : kilonewton kn = 1000 N, en megnewton MN = N. Wnneer dit wordt toegepst op het gewicht vn een lichm, moet ermee rekening gehouden worden dt de zwrtekrchtsversnelling g vrieert volgens de plts op rde. Angezien de rde n de polen lichtjes is fgeplt, is de ntrekkingskrcht die de rde op een lichm uitoefent n de polen immers iets groter dn n de evenr. Deze verschillen zijn klein; de wrde vn g edrgt : n de evenr : 9,79 m/s² n de polen : 9,83 m/s² in onze streken : 9,81 m/s² Hieruit volgt dt ij een wrde vn g = 9,81 m/s² een mss vn 1 kg door de rde wordt ngetrokken met een krcht vn 9,81 N. Immers : G = m.g = 1 kg x 9,81 m/s² = 9,81 kg m/s² = 9,81 N. (1.8) Als voldoende nuwkeurig wordt in de ouwwereld deze wrde vn 9,81 N gercht op 10 N, zodt prktisch gezien wordt ngenomen dt een mss vn 1 kg wordt ngetrokken door een krcht vn 10 N.

4 I ststellingen 1) Twee krchten met dezelfde grootte en op dezelfde werklijn, mr met tegengestelde zin, heffen, m..t. de ewegingstoestnd vn een lichm, elkrs werking op. De ewegingstoestnd vn een lichm verndert dus niet, wnneer dergelijke twee krchten worden ingevoerd. Dit volgt rechtstreeks uit de eerste ewegingswet vn Newton F F = 2) Een krcht mg volgens hr werklijn verpltst worden, zonder dt de ewegingstoestnd vn een lichm drdoor verndert. F = F 3) De ewegingstoestnd vn een lichm verndert niet wnneer twee krchten, ngrijpend in hetzelfde punt, vervngen worden door hun resultnte, zijnde de krcht geconstrueerd op de digonl vn het prllellogrm met de twee krchten ls zijden. Deze resultnte R heeft dus, m..t. de ewegingstoestnd vn een lichm, dezelfde werking ls de twee krchten smen. F 2 R F Derde wet vn Newton : ctie = rectie Indien de lichmen A en B in rust zijn, geldt dt, indien lichm A op lichm B een krcht F A uitoefent, lichm B op lichm A een even grote krcht F B zl uitoefenen, die echter tegengesteld vn zin is. Dus : FA FB en ook : F A = F B (1.9) De wet "ctie = rectie" zl zeer veel geruikt worden ij de ehndeling vn evenwichtsvrgstukken en heeft dus een groot elng.

5 I De voornmste ewerkingen met vectoren Angezien krchten vectoriële grootheden zijn, is het ngewezen, voorfgndelijk n de ewerkingen met krchten, de voornmste ewerkingen met vectoren te ehndelen. Er zijn 3 soorten vectoren : - glijdende vectoren : vectoren die vrij mogen verpltst worden lngs hun werklijn, v een krcht - vrije vectoren : vectoren met oorsprong vrij in de ruimte; deze vectoren mogen evenwijdig met zichzelf verpltst worden, v een koppels - geonden vectoren : vectoren met vste oorsprong Som vn twee vectoren Om de som te mken vn twee vectoren 1 en 2 pltst men deze twee vectoren n elkr zodnig dt het eginpunt vn de tweede vector smenvlt met het eindpunt vn de eerste. De som is dn per definitie de vector R met ls eginpunt het eginpunt vn de eerste vector en ls eindpunt het eindpunt vn de tweede vector : = R. R 2 1 Het lijkt onmiddellijk dt de volgorde wrin men de vectoren n elkr uitzet geen elng heeft. De volgende constructie geeft immers precies dezelfde som R. 1 2 R Immers, de twee driehoeken, ekomen ij eplen vn de som ij verschillende volgorde, vormen smen een prllellogrm wrvn de digonl de som voorstelt. Men kn dus de som vn twee vectoren mken met ehulp vn een driehoek of met ehulp vn een prllellogrm. Zie ook vststelling 3 in rt Angezien de volgorde wrin men de vectoren n elkr uitzet geen elng heeft is de som vn twee vectoren commuttief. Er geldt dus : = = R (1.10)

6 I - 6 Opgemerkt dient te worden dt de numerieke wrde vn de som vn twee vectoren meestl niet gelijk is n de som vn de numerieke wrden vn de twee vectoren. oor twee vectoren op dezelfde werklijn is dit wel het gevl Som vn meerdere vectoren Om de som te mken vn de vectoren 1, 2, 3 en 4 pltst men deze vectoren n elkr zodnig dt het eginpunt vn een vector smenvlt met het eindpunt vn de vorige vector. De som is dn de vector R met ls eginpunt het eginpunt vn de eerste vector en ls eindpunt het eindpunt vn de ltste vector. Immers, op deze wijze eplt men opeenvolgend de resultnte vn twee vectoren (zie rt ) : = R 1 R = R 2 = ( ) + 3 = R = R = ( ) + 4 = (1.11) R 1 P R R 2 4 Angezien voor de som vn twee vectoren geldt dt de volgorde wrin men de vectoren n elkr uitzet geen elng heeft, is dit ook voor de som vn meerdere vectoren het gevl. De volgende constructie, met volgorde vn ijvooreeld 2 (met eginpunt Q), 4, 3 en 1, geeft immers precies dezelfde som R. De som vn meerdere vectoren is dus, zols de som vn twee vectoren, commuttief.

7 I - 7 Q R De som vn meerdere vectoren is ook ssocitief. 2 1 ( ) ( + ) ( ) ( ) + 3 = 1 + ( ) = (1.12) De hkjes mogen dus weggelten worden in ovenstnde vergelijking Product vn een vector met een reëel getl Het product vn een vector 1 met een reëel getl n is een vector 2 met volgende kenmerken : - de grootte (het kengetl) vn 2 is n ml de grootte vn 1, dus : 2 = n 1. - de richting vn 2 is dezelfde ls de richting vn 1 - de zin vn 2 hngt f vn het teken vn n : - ls n positief is, is de zin vn 2 dezelfde ls de zin vn 1 - ls n negtief is, is de zin vn 2 tegengesteld n de zin vn 1

8 I - 8 oor het overige geldt : - voor een willekeurige vector : n (m ) = (n m) = n m (n + m) = n + m - voor 2 willekeurige vectoren 1 en 2 : n ( ) = n 1 + n ectorieel product Het vectorieel product vn 2 vectoren 1 en 2 is een vector = 1 kenmerken : 2 met volgende - de grootte vn : = 1 2 sin, met de hoek tussen de vectoren 1 en 2. = ( 1 sin ) 2 = CE. 2 = oppervlkte vn prllellogrm ABCD. - de richting vn : de vector stt loodrecht op het vlk vn 1 en 2. - de zin vn : ls de hoek positief georiënteerd is vn 1 nr 2 toe, is de vector positief. C 2 D 1 90 E A B oor het overige geldt, voor willekeurige vectoren 1, 2 en 3 : 1) 1 2 = - 2 1, omdt voor 1 2 de hoek positief is (georiënteerd vn 1 nr 2 toe), en voor 2 1 de hoek negtief is (georiënteerd vn 2 nr 1 toe), en sin(- = - sin 2) (n 1 ) 2 = 1 (n 2 ) = n( 1 2 ) 3) 1 ( ) = ) 1 1 = 0 ; immers 1 1 sin0 = 0.

9 I De projectiemethode vn vectoren De projectie vn vector is een vector, wrvn het eginpunt de projectie vn het eginpunt vn vector is, en het eindpunt de projectie vn het eindpunt vn vector. Men projecteert een vector op een s of op een vlk. De projectie vn een vector ligt in hetzelfde vlk ls vector. - Projectie volgens richting y op een s x : p Y X( ) ' y ' ' ' - Projectie volgens richting y op een vlk v : p Y v ( ) ' x y ' ' ' v Bij de projectie vn een vector loodrecht op een s of op een vlk, spreekt vn een orthogonle projectie.

10 I Eigenschppen vn projecties vn vectoren 1) De projectie vn een vector volgens zijn werklijn, op een s of een vlk, is gelijk n nul. y ' = ' p Y ( ) 0, immers '' ' ' 0 X x 2) Een vector heeft op evenwijdige projectie-ssen, of evenwijdige projectievlkken, dezelfde projectie. y ' x 1 ' '' Y Als x 1 // x 2, is p ( ) Y p ( ) X1 X2 ' = '' ' '' x 2 '' 3) Gelijke vectoren heen gelijke projecties. Als, is p( ) p( )

11 I ) De projectie vn het product vn een vector met een reëel getl is gelijk n het product vn dt getl met de projectie vn die vector. y ' ' ' ' ' x = n '' = p(n) = n p( ) = n ' 5) De projectie vn de som vn vectoren is gelijk n de som vn de projecties vn die vectoren ; ook het omgekeerde is het gevl. y ' 1 ' 2 ' ' = n 3 ' ' x p( ) = p( 1 ) + p( 2 ) + p( 3 ) p( n ) ' = 1 ' + 2 ' + 3 ' n '