Rekenregels van machten

Transcriptie

1 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord. Controleer je ntwoord in de correctiesleutel. Achter elke vrg stt een verwijzing nr extr oefeningen in je oefenboek. A B C Verder oefenen? 1 Welke uitdrukking is gelijk n 100? ( 5 ) 5 4 oef. 67 ( 1 Welke mcht is het grootst? 5 ( 3 ) 0 ( 1 4 ) 1 oef Welk getl is het grondtl in de mcht 3? 3 oef. 63 Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr rekenmchine Inhoud G18 Mchten vermenigvuldigen en delen p. 70 G19 Een mcht tot een mcht verheffen p. 74 G0 Een product en een quotiënt tot een mcht verheffen p. 76 G1 Rekenregels vn mchten noteren in symbolen p

2 G18 Mchten vermenigvuldigen en delen Op verkenning Mchten met eenzelfde grondtl vermenigvuldigen Noteer elke mcht ls een vermenigvuldiging. Werk de hkjes weg. Welke eigenschp ps je toe? Noteer het resultt ls één mcht. ( ) ( ) ( ) ( ) Het vermenigvuldigen is Het vermenigvuldigen is ssocitief in q. ssocitief in q. 9 7 De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. 3 ( 1 ) ( ) x x 3 x 6 b noteer elke mcht ls een vermenigvuldiging ( ) ( ) ) ( 1 ) ] ( 1 ) [ ( x (x x x) 1 x x x x x x x x x x ( ) b noteer indien mogelijk het resultt ls één mcht 5 ( 1 ) x 6 b Wnneer kun je het resultt noteren ls één mcht? Als de fctoren mchten zijn met hetzelfde grondtl. Je behoudt het grondtl. Je telt de exponenten op. Wt doe je telkens met het grondtl?... Wt doe je telkens met de exponenten?... Je ontdekte hoe je mchten met eenzelfde grondtl vermenigvuldigt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. Neem k p k + p Vervng het grondtl door de letter en de exponenten 3 en 6... door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters. Door lle gehele getllen. Door welke getllen kun je k en p vervngen in deze gelijkheid?... 1 Noteer 3 met een positieve exponent.... Door welk getl kun je zeker niet vervngen?... Door welke getllen kun je wel vervngen in deze gelijkheid?... mr niet door 0. 3 Door 0; 1 is niet gedefinieerd. 0 Door lle rtionle getllen, 70 rekenregels vn mchten

3 Rekenregel mchten met eenzelfde grondtl vermenigvuldigen Mchten met eenzelfde grondtl vermenigvuldigen: Behoud het grondtl. Tel de exponenten op. is een rtionl getl verschillend vn 0 k en p zijn gehele getllen. k p k+p ( 3 ) 11 ( 1 ) b CONTROLE 11 Reken uit. Ps indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn d 6 + ( 6) d 0 1 d 6 d 6... Mchten met eenzelfde grondtl delen 9 + ( 14) Noteer elke mcht ls een vermenigvuldiging. Vereenvoudig. Noteer het resultt ls één mcht ( 0 ) : De letters stellen rtionle getllen voor ( 5 ) 3 : ( 5 ) h h : 3 z 3 : z h h h h noteer elke mcht ls een vermenigvuldiging ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) : ( ) 1 z z z : 1 z z z z z z z noteer indien mogelijk het resultt ls één mcht 4 4 ( 5) 1 5 h z : : : : Als het deeltl en de deler mchten zijn met hetzelfde grondtl. Je behoudt het grondtl. Je beplt het verschil vn de exponent vn het deeltl en de exponent vn de deler. Wnneer kun je het resultt noteren ls één mcht?... Wt doe je telkens met het grondtl?... Wt doe je telkens met de exponenten?... 71

4 G18 Mchten vermenigvuldigen en delen (vervolg) Je ontdekt hier hoe je mchten met eenzelfde grondtl deelt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. Neem 6 : 6 4 Vervng het grondtl door de letter en de exponenten en 6... door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters. Door welke getllen kun je k en p vervngen in deze gelijkheid?... 1 Noteer 3 met een positieve exponent.... Door welk getl kun je zeker niet vervngen?... Door welke getllen kun je wel vervngen in deze gelijkheid? Door lle rtionle getllen, mr niet door 0. k : p k p Door lle gehele getllen. 3 Door 0; 1 is niet gedefinieerd. 0 Rekenregel mchten met eenzelfde grondtl delen Mchten met eenzelfde grondtl delen: Behoud het grondtl. Trek de exponenten vn elkr f (exponent vn het deeltl exponent vn de deler). is een rtionl getl verschillend vn 0. k en p zijn gehele getllen. k : p k p 98 : ( x 0 ) x x x 9 x : () ( 1 10 ) CONTROLE 1 Reken uit. Ps indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn d 7 : d5 d d : 16 8 p p 9 ()... p 9 + p : p Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. Vermijd negtieve exponenten in het eindresultt Reken uit. Ps indien mogelijk de gepste rekenregel toe b c b10 b... Reken uit. Ps indien mogelijk de gepste rekenregel toe b 10 + () b d e f d 38 : b : ,0036 e 6 : d 6 d 4 1 c d : d6... d 4 f f 19 6 f 13 f19 f rekenregels vn mchten

5 3 Reken uit. Ps indien mogelijk de gepste rekenregel toe : ( 1) b ( 133) c , ,1 3 0,001 e 0,1 0,1... f ,04 15, g : d ( 3 ) ( 3 ) ( 3) ( 1) ( 3) + 1 ( 3) d + ( 6) d 6 d 8 1 h d d 6... d 8 4 In het midden vn een vijver groeit een witte wterlelie. De lelie breidt zich zo snel uit, dt het ntl bloemen elke dg verdubbelt. Als de drijfplnt ongestoord kn groeien dn is de vijver volledig bedekt in 1 dgen. Vul in de tbel de tweede rij n die het verbnd ngeeft tussen de tijd en het ntl bloemen. b Noteer in de ltste rij het ntl bloemen ls een mcht met grondtl tijd (in dgen) ntl bloemen 1 4 ls mcht n c Zoek het ntwoord op onderstnde vrgen. Je mg hiervoor lleen een beroep doen op de mchten uit de ltste rij vn de tbel en op de gepste rekenregel. N hoeveel dgen is de vijver hlf bedekt? 1 : N 11 dgen is de vijver hlf bedekt. N vier dgen is 1 m vn de vijver gevuld met 4 bloemen. Wt is de oppervlkte vn de vijver? 1 : De oppervlkte vn de vijver is 56 m. Wt moet je kunnen? mchten met eenzelfde grondtl vermenigvuldigen mchten met eenzelfde grondtl delen de rekenregels verwoorden 73

6 G19 Een mcht tot een mcht verheffen Op verkenning Noteer de derdemcht ls een vermenigvuldiging vn kwdrten. Noteer het resultt ls één mcht ( 3 ) 3 ( 0 ) ( ) De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. noteer de mcht ls een vermenigvuldiging noteer het resultt ls één mcht ( ( 4 ) 4 ) ( 3 5 ) 3 ( b ) 6 ( ( 5 k ) ) 3 ( ) ( 0 ) 5 ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) b b b b b b b 1 ( 5 k ) 3 ( 5 k ) 3 ( 5 k ) 6 ( k 5 ) 6 4 ( 1 ) Hoe kun je een mcht tot een mcht verheffen? Wt doe je telkens met het grondtl?... Wt doe je telkens met de exponenten?... Je ontdekt hier hoe je een mcht tot een mcht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. Neem ( 4 ) Vervng het grondtl 4 door de letter en de exponenten en 3 door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.... Door welke getllen kun je k en p vervngen in deze gelijkheid? Door lle gehele getllen. Mg je door lle getllen vervngen? Verklr. Je behoudt het grondtl. Je vermenigvuldigt de exponenten. ( k ) p k p Door lle rtionle getllen, mr niet door rekenregels vn mchten

7 Rekenregel een mcht tot een mcht verheffen Een mcht tot een mcht verheffen: Behoud het grondtl. Vermenigvuldig de exponenten. is een rtionl getl verschillend vn 0. k en p zijn gehele getllen. ( k ) p k p ( ) ( 5 1 ) 5 ( 1) () 5 5 ( 3 ) Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: Als een letter ls grondtl wordt gebruikt, dn stelt deze letter een wrde voor verschillend vn 0. Vermijd negtieve exponenten in het eindresultt. 5 Reken uit. Ps de gepste rekenregel toe. ( ) ( g) 6 ( 1 g ) 6 1 d ( ( g ) ) 3... g b ( 9 ) ( 1) 9 81 e ( 3 ) 3 ()... 6 ( 1 ) c ( 3 ) ( 4) 1 f ( 8 )... () 8 () Reken uit. Ps de gepste rekenregel toe. ( 10 4 ) d ( k 3 ) 3... k 3 3 k 9 p 3 + () p 3 p b5 b 5 b 3 b p3 p... ( 4) + 4 c : 4... e b... f x x 3... x + ( 3) x 5 ( 1 1 x ) 5 x Vul in. Verklr door de oplossing te berekenen met mchten vn triljrd : duizend b 1 miljrd 1 biljrd c 1 triljoen :... 1 biljoen miljoen... d 1 miljoen... 1 qudriljrd... e (1 miljrd ) f (1 qudriljoen ) Wt moet je kunnen? 1 triljoen 1 qudriljoen 1 triljrd 1 triljoen 1 een mcht tot een mcht verheffen de rekenregel verwoorden 10 1 : (10 9 ) (10 7 )

8 G0 Een product en een quotiënt tot een mcht verheffen Op verkenning Een product tot een mcht verheffen ( 4 ) 3 ( 5 ) 3 Noteer de derdemcht ls een ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) vermenigvuldiging. Plts de gelijke fctoren smen tussen ( ) ( ) ( ) ( ) hkjes. Welke eigenschppen vn bewerkingen ps je toe? Noteer ls een vermenigvuldiging vn twee mchten. Het vermenigvuldigen is commuttief en ssocitief in q De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. Het vermenigvuldigen is commuttief en ssocitief in q ( b ) 3 noteer de mcht ls een vermenigvuldiging. plts de gelijke fctoren smen tussen de hkjes ( b) ( b) ( b) ( ) (b b b) noteer het resultt ls een vermenigvuldiging vn mchten 3 b 3 ( 9 5 ) ( 9 5) ( 9 5) ( ( 9) ( 9) ) (5 5) ( 9) 5 ( xyz ) 1 1 (xyz) (xyz)(xyz) 1 1 (xx)(yy)(zz) ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x y z ( ) ( ) ( 1 ) 3 ( ) 3 ( 1 ) 3 6 Hoe kun je een product tot een mcht verheffen? Wt doe je telkens met de fctoren? Je verheft elke fctor tot die mcht. Je ontdekte hoe je een product tot een mcht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. Neem ( 4 ) Vervng de fctoren en 4 door de letters en b en de exponent 3 door de letter m. Noteer de gelijkheid met letters. ( b) m m b m Door welke getllen kun je m vervngen in deze gelijkheid?... Mg je en b door lle getllen vervngen? Verklr. Door lle rtionle getllen, mr niet door 0. Door lle gehele getllen. (b) 1 1 b, b mogen niet gelijk zijn n 0. Rekenregel een product tot een mcht verheffen Een product tot een mcht verheffen: verhef elke fctor vn het product tot die mcht. en b zijn rtionle getllen, verschillend vn 0 p is een geheel getl ( 9 t ) 9 t 81t (x 0) ( x ) 1 1 x x 1 x ( b ) p p bp ( 0,5p ) 3 ( 0,5 ) 3 p3 0,15 p 3 CONTROLE 13 Reken uit. De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. Ps de rekenregel toe indien mogelijk. ( 10p) 4... ( 10) 4 p p 4 ( 4x) 3... ( 4) 3 x 3 64x 3 (4 ) (4 x) (4 x) (4 x) (4 x) 76 rekenregels vn mchten

9 b Een quotiënt tot een mcht verheffen ( 3 ) 3 (k 0) (7 : k) 3 Noteer de derdemcht ls een vermenigvuldiging. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k Noteer op één breukstreep k k k 3 Noteer ls een deling vn twee mchten De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. k 3 ( 9 7 ) 3 ( 14 : 3 ) 5 ( c d ) ( : 3 ) ( 9 7 )( 9 7 )( 9 ( 14 3 ) 5 noteer de mcht ls een vermenigvuldiging. noteer op één breukstreep 7 ) ( c d )( c d ) c ( c) d d ( ) ( 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 3 () () noteer ls een deling vn twee mchten ( c) d c 6 () () 6 Hoe kun je een quotiënt tot een mcht verheffen? Wt doe je telkens met het deeltl en de deler? Je verheft het deeltl en de deler tot die mcht.... Je ontdekt hier hoe je een quotiënt tot een mcht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. Neem ( 3 ) Vervng het deeltl door de letter, de deler 3 door de letter b en exponent 4 door de letter m. Noteer de gelijkheid met letters.... ( : b) m m : b m Door welke getllen kun je m vervngen in deze gelijkheid? ( b ) m m b m Door lle gehele getllen.... Mg je en b door lle getllen vervngen? Verklr. Door lle rtionle getllen, mr niet door 0. De noemer mg niet gelijk zijn n Rekenregel een quotiënt tot een mcht verheffen Een quotiënt tot een mcht verheffen: verhef het deeltl en de deler tot die mcht. en b zijn rtionle getllen, verschillend vn 0 p is een geheel getl (p 0) (4 : p) 4 : p 16 : p ( 10 7 ) 4 ( 10) ( : b) p p : bp CONTROLE 14 Reken uit. Ps indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rtionle getllen voor verschillend vn 0. (1 : 4) 3... ( 3 5 )... ( 1 4 ) ( 3 ) 4... ( 0,5 p )... ( 3 ) ( 0,5) 4 4 p 0,5 p 77

10 G0 Een product en een quotiënt tot een mcht verheffen (vervolg) Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: Als een letter ls grondtl wordt gebruikt, dn stelt deze letter een wrde voor verschillend vn 0. Vermijd negtieve exponenten in het eindresultt Reken uit. Ps de gepste rekenregel toe. ( 5) 3 x 3 15x 3 ( 5 x) 3... b ( 10) 4... () x 4 c ( x) d 100 ( ) Reken uit. Ps de gepste rekenregel toe. ( 5 ) c ( m m k ) k 8 b ( p 3 ) p 7 3 p ( 3 3 d ( 3 : 11) ) ( 3) Reken uit. Ps de gepste rekenregel toe ( 5 10 ) ( 5)... (10 ) ( ) 4 b c ( 10 ( 3 10 )... 3 ) (10) 9 (3) 100 ( 3) 1 ( 3) 1 3 ( 3) ( 3) 1... ( ) ( ) ( ) d + ( 6) d 8 1 d d d 6... d () e (10 4 )... b ) b b 5 1 g (b) 5... f ( f 1 9 f 10 1 f 10 f 1 f 9... h ( 3 )... 3 () 3 4 ( 1 3 ) rekenregels vn mchten

11 11 Reken uit. Let op de volgorde vn de bewerkingen (5 + ) b Kun je hier één vn de rekenregels toepssen? Verklr. Neen, de mcht vn een som is niet gelijk n de som vn de mchten.... c Vul in met of. Verklr. (1 + 5) ( 10) ( b)... b ( b)... b ( + 3) De mcht vn een som is niet gelijk n de som vn de mchten. De rekenregel voor de mcht vn een product. De rekenregel voor de mcht vn een product. De mcht vn een som is niet gelijk n de som vn de mchten. De mcht vn een som is niet gelijk n de som vn de mchten. De rekenregel voor de mcht vn ( b)... b een product. Wt moet je kunnen? een product tot een mcht verheffen een quotiënt tot een mcht verheffen de rekenregels verwoorden 79

12 G1 Rekenregels vn mchten noteren in symbolen Op verkenning Vul n: Om mchten met eenzelfde grondtl te vermenigvuldigen, behoud je het grondtl en tel je de exponenten op.... k Vul n: p... p + k Door welke getllen kun je in deze gelijkheid de letter vervngen? Je onderzocht dit in de op verkenning vn les G18. Noteer je ntwoord volledig in symbolen. q 0... Door welke getllen kun je in deze gelijkheid p en k vervngen? Je onderzocht dit in de op verkenning vn les G18. Noteer je ntwoord volledig in symbolen. p, k z... Noteer de volledige rekenregel in symbolen. q 0, p, k z: p k p+k... Rekenregels vn mchten Mchten met eenzelfde grondtl vermenigvuldigen. Mchten met eenzelfde grondtl delen. Een mcht tot een mcht verheffen. Een product tot een mcht verheffen. Een quotiënt tot een mcht verheffen., b q 0, p, k z: p k p + k p : k p k ( p ) k p k ( b) p p bp ( : b) p p : bp : ( 5 ) 5 4 (6de) 3 63d 3 e 3 16 d 3 e 3 (4 : c) 4 : c 16 : c (c 0) Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: Als een letter ls grondtl wordt gebruikt, dn stelt deze letter een wrde voor verschillend vn 0. Vermijd negtieve exponenten in het eindresultt. 1 Juist of fout? Verklr. Juist de rekenregel geldt ook voor m z, dus ook voor m N Fout, het moet zijn:, b q 0, b q 0, m n: ( b) m m bm... b, b q, m n: ( : b) m m : bm... c, b q, m n: ( + b) m m + Fout, bm... de mcht vn een som is niet gelijk n de som vn de mchten. 13 Reken uit. () ( 3 ) 4 6 ( 3 )... p 1 b (p )... p c ( s r ) t 8... ( s r ) (t+8) ( s r ) (t+8) st + 8 r t rekenregels vn mchten

13 d 10 p (p 6) 10 p p p 10 p 6... e ( ) 3... Je kunt geen rekenregel toepssen omdt je geen regel kent om een som tot een mcht te verheffen. f (x) 3 + (x 6) 1... x 6 + x 6 x 6 14 Reken uit. Ps indien mogelijk de gepste rekenregel toe ( 1 ) b c ( 0 ) 4 + ( 4 ) d x x 5 + x 6 x... x x 6 x 4 + x 4 x 4 ( 1 x ) 4 x Reken uit en geef het ntwoord in de wetenschppelijke schrijfwijze. ( ) ( 10 7 ) (5 )( ) b ( 3, ) ( ) 3, , , c ( ) ( ) , , d ( 0,1 10 ) 110 ( ) 110 (10 3 ) b Een lichtjr is de fstnd die een lichtstrl met een snelheid vn km per seconde flegt in één jr. Een lichtjr is 9, km. De Andromednevel ligt op een fstnd vn ongeveer, miljoen lichtjr. Bereken de fstnd rde-andromed in km. Geef je ntwoord in de wetenschppelijke schrijfwijze., miljoen 9, km, , km, 9, km 0, km, km De fstnd vn de Andromednevel tot de rde is, km.. Wt moet je kunnen? de rekenregels vn mchten in symbolen weergeven 81

14 Problemsolving 16 Bereken de som vn de eerste 100 oneven getllen De toren vn Hnoi De legende vertelt dt in de std Benres onder keizer Fo Hi een boeddhistische tempel stond. De grote middenkoepel mrkeerde het midden vn de wereld. In deze koepels wren priesters continu bezig met het verpltsen vn gouden schijven die op dimnten punten stonden. God pltste 64 schijven vn groot nr klein op één pin. Zodr de hele stpel nr een ndere pin verpltst is, zl dt het einde vn de wereld betekenen. Reken uit hoe lng dit duurt ls je elke seconde één schijf verpltst. Verplts de toren door lle schijven te verpltsen nr een nder stokje. Er mg slechts 1 schijf tegelijk worden verpltst. b Een grotere schijf mg nooit op een kleinere rusten. 18 De drie hoeken vn een driehoek zijn smen 180. Vn een driehoek ABC is hoek A drie keer zo groot ls hoek B en hlf zo groot ls hoek C. Hoe groot is hoek A? 19 Het product vn twee gehele getllen is gelijk n 5 3² 5 7³. De som vn deze getllen kn dn deelbr zijn door: A 3 B 5 C 8 D 10 E n n termen Is er een oneven ntl schijven, leg dn de eerste schijf op de stok wrop je uiteindelijk wilt eindigen. Is er een even ntl schijven, leg dn de eerste schijf op een ndere stok. Het ntl zetten is steeds het dubbele vn de vorige stpel +1. ntl schijven ntl zetten n n 1 Voor 64 schijven heb je ongeveer 5, jr nodig. A 3 B B 1 3 A en A 1 C C A A + B + C 180 A A + A ( A A + A ) A + A + 6 A A 540 A 540 : 10 A 54 1, De som kn niet deelbr zijn door 5 wnt slechts één vn de twee getllen is deelbr door 5. De som kn dn zeker niet deelbr zijn door 10. De som kn niet deelbr zijn door 8 wnt 8 3 en 5 3. Slechts één vn de termen is deelbr door 8. 8 rekenregels vn mchten