Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie
|
|
- Francisca de Smedt
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden 4+7 = 11 7 eenheden ( 6) = 6 eenheden ( 11) = 11 eenheden
2 MODULE 1. REKENEN IN Ê Eigenschppen 1. De optelling is een inwendige en overl gedefinieerde smenstellingswet in Ê:,b Ê : +b Ê. De optelling is ssocitief in Ê:,b,c Ê : (+b)+c = +(b+c) 3. Er bestt een neutrl element voor de optelling in Ê: n Ê, Ê : +n = n+ = (nl. n = 0) 4. Elk getl in Ê bezit een symmetrisch element voor de optelling: Ê, Ê : + = + = n (nl. = ) 5. De optelling is commuttief in Ê:,b Ê : +b = b+ Smengevt zegt men dt Ê een commuttieve groep is t.o.v. de optelling. 1. De ftrekking Definitie,b Ê : b = +( b) Trekken we het reëel getl b f vn een reëel getl, dn bekomen we het verschil vn en b, genoteerd met b. In dit verbnd noemen we het ftrektl en b de ftrekker. Voorbeelden 7 5 = 7+( 5) = 7 ( 5) = 7+5 = = 5+( 7) = Eigenschppen 1. De ftrekking is een inwendige en overl gedefinieerde smenstellingswet in Ê:,b Ê : b Ê. De ftrekking is niet ssocitief in Ê: Bijvoorbeeld ( 3) 7 (3 7). 3. De ftrekking is niet commuttief in Ê: Bijvoorbeeld ,b Ê : b = (b )
3 1.3. DE VERMENIGVULDIGING De vermenigvuldiging Definitie Het resultt ven de vermenigvuldiging vn de reële getllen en b noemen we het product vn en b en noteren we b of b of b. In deze context worden en b de fctoren genoemd. Voorbeelden 3 ( ) = 6,4 1,3 = 3,1 ( 3) ( 4) = 1 ( 0,7) 8 = 5,6 ( 3) = = 10 3 Eigenschppen 1. De vermenigvuldiging is een inwendige en overl gedefinieerde smenstellingswet in Ê:,b Ê : b Ê. De vermenigvuldiging is ssocitief in Ê:,b,c Ê : ( b) c = (b c) 3. Er bestt een neutrl element voor de vermenigvuldiging in Ê: n Ê, Ê : n = n = (nl. n = 1) 4. De vermenigvuldiging is commuttief in Ê:,b Ê : b = b 5. Elk getl in Ê 0 bezit een symmetrisch element voor de vermenigvuldiging: Ê 0, Ê 0 : = = n (nl. = 1 = 1 ) Merk op dt (Ê, ) geen commuttieve groep kn zijn, ngezien het getl 0 geen symmetrisch element heeft voor de vermenigvuldiging in Ê. Evenwel gelden eigenschppen 1 t.e.m. 4 ook in Ê 0 zodt, in combintie met eigenschp 5, (Ê 0, ) wel een commuttieve groep is. 1.4 De deling Definitie Ê, b Ê 0 : : b = 1 b = b 1 Delen we het reëel getl door het reëel getl b verschillend vn nul, dn bekomen we het quotiënt vn en b, genoteerd : b. In dit verbnd noemen we het deeltl en b de deler.
4 4 MODULE 1. REKENEN IN Ê Voorbeelden 3 : = 3 1 = 3 3 : ( ) = 3 1 = 3 = 3 3 : 5 = = 15 5 : 3 = 5 3 = 15 ( 1,) : 3 = ( 1,) 1 3 = 0,4 3 : 1 = 3 = Verdere eigenschppen 1. De vermenigvuldiging vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen:,b,c Ê : (+b) c = c+b c. De vermenigvuldiging vn reële getllen is linksdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen:,b,c Ê : (b+c) = b+ c 3. De vermenigvuldiging vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen:,b,c Ê : ( b) c = c b c 4. De vermenigvuldiging vn reële getllen is linksdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen:,b,c Ê : (b c) = b c 5. De deling vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen:,b Ê, c Ê 0 : (+b) : c = ( : c)+(b : c) 6. De deling vn reële getllen is niet linksdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen: Bijvoorbeeld 4 : (+1) (4 : )+(4 : 1). 7. De deling vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen:,b Ê, c Ê 0 : ( b) : c = ( : c) (b : c) 8. De deling vn reële getllen is niet linksdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen: Bijvoorbeeld 4 : ( 1) (4 : ) (4 : 1).
5 1.6. MACHTEN EN WORTELS Mchten en wortels Definities We onderstellen steeds Ê en n Æ 0, tenzij nders vermeld. Mchten met gehele exponenten 0 = 1 ls 0 1 = n = }{{} n fctoren n = 1 n ls 0 Wortels 0 en n even: n = b ( b n = en b 0 ) n oneven: < 0 en n even: n = b b n = n is niet gedefinieerd in Ê Mchten met rtionle exponenten 1 n = n m n = n m ls m Eigenschppen rekenregels Op voorwrde dt beide leden gedefinieerd zijn, gelden 1. p q = p+q. p q = p q 3. ( p ) q = pq 4. ( b) p = p b p ( p 5. = b) p b p
6 6 MODULE 1. REKENEN IN Ê Opmerking Uit eigenschp 3 volgt dt n m = ( n ) m Inderdd, n m (def.) = m 1 (eig. 3) n = n m = ( ) 1 m (def.) n = ( n ) m. 1.7 Voorrngsregels Mchtsverheffing en mchtsworteltrekking hebben voorrng op de vermenigvuldiging en de deling, die op hun beurt voorrng hebben op de optelling en de ftrekking. Bij het uitwerken vn een rekenkundige uitdrukking wrin hkjes voorkomen, zl men de berekeningen tussen de binnenste hkjes eerst uitvoeren. Voorbeelden : = 5+ : 4 = 5+0,5 = 5, (6 4) = 5+ 9 = = 5+1 = 17 Opmerking In sommige gevllen volstn deze fsprken niet heleml. Bijvoorbeeld, hoeveel is 0 : 5 : 4? Enerzijds is (0 : ) : 4 =,5 en nderzijds is 0 : ( : 4) = 40. De fsprk is dn dt de bewerking vn links nr rechts worden uitgevoerd: 0 : : 4 = (0 : ) : 4 = 10 : 4 =,5 1.8 Absolute wrde Definitie Voor elke Ê geldt ls 0 = ls < 0 Eigenschppen 1. =. = b ( [ = b of = b ] en b 0 ) 3. = b ( = b of = b )
7 1.9. INTERVALLEN EN HALFRECHTEN 7 4. b = b 5. = b b 6. ±b + b 1.9 Intervllen en hlfrechten Indien we op een rechte twee punten uitkiezen en met één ervn het getl 0 en met het ndere het getl 1 ssociëren (d.w.z. we ijken deze rechte), dn zl elk punt vn die rechte met precies één reëel getl overeenkomen en omgekeerd. Op deze wijze kn Ê voorgesteld worden ls een getllens en een intervl vn reële getllen ls een lijnstuk op deze s. Definities,b Ê, < b : 1. [,b] = {x Ê x b} (gesloten intervl) Grfisch voorgesteld: b. [,b[ = {x Ê x < b} (hlfopen intervl) Grfisch voorgesteld: b 3. ],b] = {x Ê < x b} (hlfopen intervl) Grfisch voorgesteld: b 4. ],b[ = {x Ê < x < b} (open intervl) Grfisch voorgesteld: b
8 8 MODULE 1. REKENEN IN Ê Soms is men geïnteresseerd in de verzmeling vn lle getllen die groter (resp. kleiner) dn of gelijk zijn n een beplde wrde. Deze verzmeling strekt zich zonder enige beperking ( tot in het oneindige ) uit in de positieve (resp. negtieve) zin vnf. Zo n verzmeling heet dn een hlfrechte. Definities Ê : 1. [,+ [ = {x Ê x } (gesloten hlfrechte) Grfisch voorgesteld:. ],+ [ = {x Ê x > } (open hlfrechte) Grfisch voorgesteld: 3. ],] = {x Ê x } (gesloten hlfrechte) Grfisch voorgesteld: 4. ],[ = {x Ê x < } (open hlfrechte) Grfisch voorgesteld: Merk op dt + en nooit tot de gedefinieerde hlfrechten behoren, omdt het geen reële getllen zijn.
9 1.10. OEFENINGEN Oefeningen Oefening 1.1. Bereken zonder rekentoestel. (1) : 3 () (8+4) (4 15 : 3) (3) (8+4) 4 15 : 3 (4) (8+4) ( (4 15) : 3 ) (5) 8+ ( 4 (4 15) ) : 3 Oefening 1.. Wrn zijn de volgende uitdrukkingen gelijk? (1) : +7 3 () ( ( 3) : 4 ) +1 (3) ( 3) : (4 )+1 (4) : (3 1) Oefening 1.3. Herschrijf de volgende uitdrukkingen zonder hkjes. (1) x(y +z) () (x+y)(z +1) (3) (b+c)(b c) (4) (b+c) ( (d+e) ) (5) ( b ( (1 c)(b+)+bc )) (7) ( (1 c)(b+) cb )( (cb+b) b(+c) ) (6) ( b(c+cc) ) : c Oefening 1.4. Bereken zonder rekentoestel en schrijf het resultt in zijn eenvoudigste vorm. ( 7 (1) ) ) ( () (3) (4) (5) 8 3 (6) (7) (9) (11) : (13) 147 : 7 (14) ( )( (15) +( ) ( ) 3 1 : ) ( ) ( 1 1 ) 3 10 (0,7 1) 0, 0, 3 (8) (10) (1) : 3 77
10 10 MODULE 1. REKENEN IN Ê (16) (17) ( (+3) +3 +( ) ) ( ) 4 : ,3 3 0,0 1+(0,3)(1,1) : 0, 4 (1 0,) (18) ( 1) ( 1) ( 4) ( 4) : (19) 0, 0,1 0,5 0,5 3 : ( ) 1 +0, (0,3 3 + (0,1 0,01) 0,3 3 (0) 0,5 8 6 (1) 0, () 0,5 4 0, (3),5 4 0, 5 ) Oefening 1.5. Schrijf ls een mcht vn. (1) 16 () 56 (3) 104 (4) 0,15 (5) 1 (6) 0,0315 Oefening 1.6. Schrijf ls een mcht vn 10. (1) () 100 (3) (4) 0,0001 (5) 0,01 Oefening 1.7. G n zonder uit te rekenen welk vn de volgende getllen het grootst is. (1) ( 6 3 ) 8 () Oefening 1.8. Bereken. 6 (38 ) (1) ( 3 3 ) : 4 3 () ( ) : 4 (3) 4 ( ) : (4) ( ) 4 3 Oefening 1.9. Herschrijf de volgende uitdrukkingen in de vorm p b q (de bewerkingen worden zinvol ondersteld). (1) (m b) n m n (3) n ( 1 ( ) m ) m (4) () n b m n b m n (b m ) n (b) n
11 1.10. OEFENINGEN 11 (5) ( (b)m ) (6) b m (7) m (b ) n (8) b m ( m b) 0 ( n 1 m m (b) n ) mn (b (9) m m b n m ) n Oefening Reken uit of herschrijf in de vorm p b q c r (,b,c Ê + 0 ). (1) ( 3 b ) 4 4 () ( b 4 c ) 1 (3) 3 b ( c) 6 (4) 6 3 b c 4 (5) ( b 7 c 5 4 ) 1 (6) (7) b 1 c 4 ( ) b 3 ( c 3 ) 1 (8) ( 3 b 3 ) b b1 3 ( ) 3 b 1 3 Oefening Bepl het zo groot mogelijk intervl of hlfrechte I in Ê die voldoet n de volgende omschrijving. (1) I : 1 (),b I : < b > b (3),b I : b < b (4),b I : b b
RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30
Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl
Nadere informatieHoofdstuk 2: Bewerkingen in R
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieRekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5
INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatieVerzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen
Verzmelingen De ntuurlijke getllen = {,1,2,3,4,... } = verzmeling vn de strikt ntuurlijke getllen De gehele getllen = {..., 3, 2, 1,,1,2,3,... } = verzmeling vn de strikt gehele getllen + = verzmeling
Nadere informatieDe optelling heeft een neutraal. De optelling is associatief,b, c. element (of de rol van... bij opt)
- 1 - Leerfiche 1 Eigenschppen vn e optelling in R De optelling is overl geefinieer, R c R + =... De optelling is ssocitief,, c R ( + ) + c =...... De optelling heeft een neutrl element (of e rol vn...
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Examencursus
Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatie5.1 Hogeremachtswortels [1]
5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij
Nadere informatieAnalyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieelement (of de rol van nul bij opt)
- 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Voor elk koppel reële getllen De optelling is overl gedefinieerd estt er een reëel getl dt hun som is., R R + De optelling is ssoitief Een som vn reële
Nadere informatieGetallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieOngelijkheden groep 2
Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatieelement (of de rol van nul bij opt)
Atheneum Wispelerg - Wispelergstrt - 9000 Gent Bijlge - Leerfihes (3 e jr 5uur wiskunde) Eigenshppen vn de ewerkingen in R Nm Kls. - 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Nm vn de eigenshp Eigenshp
Nadere informatieFormularium Wiskunde 1 ste graad
Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin
Nadere informatieStudiekeuzecheck wiskunde deeltijd Basisvaardigheden Algebra Hoofdstuk 1 t/m 4
Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 08 Bsisvrdigheden Algebr Hoofdstuk t/m Inhoudsopgve Hoofdstuk Rekenen met letters..... Formules..... Mchten.... Worteltrekken... 6. Delen door nul kn niet... 9 Hoofdstuk
Nadere informatieMerkwaardige producten en ontbinden in factoren
6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieAanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad
Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling
Nadere informatieInleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Nadere informatie4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat
Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht
Nadere informatieExact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode
Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde
Nadere informatieWiskundige Analyse 1
Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatieGehele getallen: vermenigvuldiging en deling
3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken
Nadere informatieUitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim
Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatieParate kennis wiskunde
Prte kennis wiskunde (bij nvng vn het vierde middelbr) Sven Mettepenningen Dit document is bedoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen bij nvng vn het tweede jr vn de tweede grd ASO voor
Nadere informatieInhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Nadere informatie2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.
Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24
Nadere informatieParate kennis wiskunde
Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr
Nadere informatieWISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel
Nadere informatieAanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad
Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling
Nadere informatieHOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Nadere informatieEOA. Eentermen: optellen en aftrekken van gelijksoortige! eentermen
Eenterm: getlwrde berekenen vervng de letters door hun wrde (hkjes?) ) werk uit met resecteren voorrngsregels getlwrde vn voor x en y 1 xy 1 1 Eentermen: otellen en ftrekken vn gelijksoortige! eentermen
Nadere informatieEigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I
Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatieTentamen: Kansrekening en Statistiek P0099
Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix
Nadere informatieOpbouw van het boek: overzicht
Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieWiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2013/2014 Ev Coplkov Bs Edixhoven Lenny Telmn Mrk Verr i Inhoudsopgve I Verzmelingen en fbeeldingen........................................... 2 I.1 Nottie....................................................................
Nadere informatieHoofdstuk 4 : Ongelijkheden
Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...
Nadere informatieAlgemeen geformuleerd: a a a b) wanneer we machten met hetzelfde grondtal op elkaar delen, bijv. a
Theorie mchtsverheffen, worteltreen en logritmen (gedeelte uit hoofdstu vn Ro Flohr (00). Bsiswisunde voor sttistie. Den Hg: Acdemic Service). Mchtsverheffen en worteltreen In deze rgrf esreen we de eweringen
Nadere informatieIn dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a.
Deterinnten Deterinnt In dit hoofdstuk willen n elke vierknte trix een getl ssociëren dt (onder ndere) ngeeft of die trix singulier is of niet ) Deterinnt vn een x-trix Zij gegeven twee trices M c d en
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
Nadere informatieBewerkingen met eentermen en veeltermen
5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules
Nadere informatieVAKANTIEWERK WISKUNDE
A -> Hn 0 / 06 / 06 VAKANTIEWERK WISKUNDE NEEM UW MAP WISKUNDE!! Herhalingsoefening : Optellen in Q (60 ptn) gevallen : - voor twee rationale getallen met hetzelfde teken * behoud dit teken * maak de som
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Nadere informatieLineaire formules.
www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieHoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek
Nadere informatieHenk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl
Nadere informatieDit dictaat bevat een serie uitgewerkte voorbeeldopgaven. Deze zijn naar onderwerp geordend, waarvan de volgorde overeenkomt met die van het boek.
Beste studenten Dit dictt bevt een serie uitgewerkte voorbeeldopgven Deze zijn nr onderwerp geordend, wrvn de volgorde overeenkomt met die vn het boek De keuze vn de onderwerpen is tot stnd gekomen n studenten
Nadere informatieUNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN. OPLEIDING baccalarius=batselier=bachelor WISKUNDE ANALYSE I
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN OPLEIDING bcclrius=btselier=bchelor WISKUNDE ANALYSE I Prof. J. Vinds Editie 2015-2016 Anlyse I behndelt Functies vn één reële vernderlijke. Met dnk n Prof. C.
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieInhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150
Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen
Nadere informatiereëelwaardige functies
Primitieven en Riemnn- integrlen vn reëelwrdige functies Het begrip primitieve vn een R R functie Stel : f( ) reëelwrdige functie, met definitie gebied = intervl I Def : F( ) is primitieve functie vn f(
Nadere informatieI Vectoren in R. I.0 Inleiding
I Vectoren in R I Inleiding Een vector is een wiskundig begrip dt centrl stt in de wiskunde zelf, mr dt ook een grote rol speelt in nder vkken, in het bijzonder de ntuurkunde en de econometrie In dit hoofdstuk
Nadere informatie3 Exponentiële functies en logaritmische functies
Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot I
Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)
Nadere informatieWerkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed
Nadere informatieVraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Zij gegeven de volgende declaratie in Eiffel. Guido : STUDENT
Vrg 1 Zij gegeven de volgende declrtie in Eiffel Gui : STUDENT in de veronderstelling dt er een klssentekst bestt voor de klsse STUDENT. Welke vn de volgende uitsprken is wr: A. N uitvoering vn de instructie
Nadere informatieBasiswiskunde Een Samenvatting
Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e
Nadere informatie1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.
1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b
Nadere informatieProeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen
Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2012
Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2012
Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling
Nadere informatieInhoud Basiswiskunde Week 5_2
Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen
Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje
Nadere informatieKwadratische reciprociteit
Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete
Nadere informatieModule algebraïsche vaardigheden voor havo leerlingen
Module lgebrïsche vrdigheden voor hvo leerlingen We doen dt in interctie met vele uiteenlopende prtners uit kringen vn beleid, schoolbesturen en -leiders, lerren, onderzoekers en vertegenwoordigers vn
Nadere informatieReguliere Expressies en Automaten: Overzicht
Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieAnalyse I. S. Caenepeel
Anlyse I S. Cenepeel Syllbus 132 bij IR-WISK 10333 en 10333 Anlyse: fleiden, integreren en wiskundige softwre, Eerste Bchelor Ingenieurswetenschppen en Fysic (SD-ID 003073), Eerste Bchelor Wiskunde (SD-ID
Nadere informatiePrimitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieComputers & programmeren
Computers & progrmmeren { de progrmmeertl Python Theorie : werking vn een computer Exmen : schriftelijk (gesloten oek) Prcticum : de progrmmeertl Python Permnente evlutie Studieegeleiding: docent ssistenten
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieMOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN
III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende
Nadere informatieWiskunde voor de eerste klas van het gymnasium
Wiskunde voor de eerste kls vn het gymnsium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM AMSTERDAM, 200 Hoofdstuk Alger 98 Alger. Inleiding.2 Bsiskennis.2. De getllenlijn.2.2 Symolen,
Nadere informatieFractionele calculus
Universiteit Utrecht Deprtement Wiskunde Bchelorscriptie Wiskunde TWIN Wiskunde en Ntuurkunde Frctionele clculus Een studie vn fgeleiden en integrlen vn niet-gehele orde Auteur: M.A. Lip Studentnummer
Nadere informatieHoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de
Nadere informatie