In dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a.

Transcriptie

1 Deterinnten

2 Deterinnt In dit hoofdstuk willen n elke vierknte trix een getl ssociëren dt (onder ndere) ngeeft of die trix singulier is of niet ) Deterinnt vn een x-trix Zij gegeven twee trices M c d en N d b c dn geldt voor hun product: d bd bc 0 0 M N d bc d bc I c d c 0 d bc 0 We noeen d bc de deterinnt vn de trix c d We noteren dit sybolisch ls detm d bc c d Uit het voorgnde blijkt dt (et detm 0): Stelling: R M, M :det M M det M detm d b M N d bc detm c Bewijs: Stel M b c d en M b c d, dn is M M bc b bd c dc cb dd detmm c cb dd b bd c dc cb dd bccb bcdd bc bdc bdc bddc dd bcbc dbc bcd d bc d bc det MdetM Stelling: M R : detm 0 M is regulier Bewijs: Stel M c d, dn is M d b detm c, dus M is regulier Noe M de inverse trix vn M det M detm det M M det I detm 0 Dn geldt dt Gevolg: M R : detm 0 M is singulier Cursus deterinnten - - Sven Mettepenningen

3 b) Minoren en cofctoren In de vorige prgrf voerden we het begrip deterinnt in voor een -trix Voor een - trix is dit uiterrd nog eenvoudiger: det O het begrip deterinnt uit te breiden tot hogere diensies hebben we twee ndere belngrijke begrippen nodig: De inor ij vn een eleent ij vn een vierknte trix is de deterinnt vn wt overblijft ls we de i -de rij en de j -de kolo vn dt eleent schrppen De cofctor ij ij vn een eleent ij vn een vierknte trix is het product vn de inor vn dt eleent et het getl ij Voorbeeld: Is 5 4 5, dn is c) Deterinnt vn een x-trix Stelling: De so vn de producten vn lle eleenten uit een rij of een kolo vn een trix et hun cofctor is onfhnkelijk vn de gekozen rij of kolo Een lgeeen bewijs vn deze stelling vlt buiten het bestek vn deze cursus We illustreren de stelling voor de tweede rij en de derde kolo vn een -trix Stel We ontwikkelen de trix nr zijn tweede rij en zijn derde kolo: Tweede rij: Derde kolo: Je kn eenvoudig nrekenen dt dit inderdd ook voor de ndere rijen en koloen geldt Cursus deterinnten - - Sven Mettepenningen

4 ls, dn noeen we per definitie de deterinnt vn de trix het getl det Er zijn twee geheugensteuntjes o deze forule te onthouden: De regel vn Srrus: schrijf chter de deterinnt nogls de eerste en de tweede kolo Evenwijdig n de hoofddigonl vind je dn de producten et een positief teken (+) en evenwijdig et de nevendigonl die et een negtief teken (-) De regel vn de driehoeken: Op de linkerfiguur stn de producten et een positief teken in rood ngeduid (+), op de rechterfiguur stn de producten et een negtief teken in bluw ngeduid (-) Voorbeeld: d) Deterinnten vn hogere orde Het getl dt we uitkoen door een trix te ontwikkelen nr een vn zijn rijen of koloen noeen we de deterinnt vn die trix De stelling die we boven illustreerden blijft wel degelijk gelden voor hogere ordes ook dus het kt niet uit welke rij of kolo je neet We proberen dit nu in forulevor te noteren (dit wordt ook wel eens de ethode vn Lplce genoed): Zij gegeven een trix nn R, et n dn gelden de volgende forules ( i, j,,, n : n det k k ik ik n det kj kj, dit noeen we de ontwikkeling nr de i -de rij, dit noeen we de ontwikkeling nr de j -de kolo In prktijk kies je bij het ontwikkelen voor die rij of kolo vn de trix et de eeste nullen , Voorbeeld: Cursus deterinnten Sven Mettepenningen

5 wnt en Eigenschppen vn deterinnten We bekijken nu enkele eigenschppen vn deterinnten vn vierknte trices De lgeene bewijzen vllen buiten het bewijs vn deze cursus ls oefening kunnen jullie deze eigenschppen wel illustreren voor lge ordes ( of ) ) De deterinnt vn een getrnsponeerde trix Eigenschp: De deterinnt vn een vierknte trix is gelijk n de deterinnt vn zijn getrnsponeerde trix nn T In sybolen: R : det det b) Rijen of koloen verwisselen Eigenschp: ls we twee rijen of koloen vn een vierknte trix verwisselen, dn verndert de deterinnt vn teken Gevolg: de deterinnt vn een vierknte trix et twee gelijke rijen of koloen is nul Gevolg: de so vn de producten vn lle eleenten uit een rij (of kolo) vn een trix et de cofctoren vn een ndere rij (of kolo) is nul Cobineren we dit ltste gevolg et de definitie dn krijgen we de forules vn Kronecker: Zij gegeven een trix nn R, et n dn gelden de volgende forules ( i, j,,, n : n 0 i j ik jk k det i j c) Lineire cobinties vn rijen en koloen n k ki kj 0 i j det i j Eigenschp: ls in een trix lle eleenten vn een rij of kolo verenigvuldigd worden et eenzelfde getl dn wordt ook de deterinnt et dit getl verenigvuldigd Gevolg: De deterinnt vn een trix wr twee rijen of koloen evenredig zijn is nul Eigenschp: ls we bij een rij of kolo vn een vierknte trix een veelvoud vn een ndere rij of kolo optellen, dn blijft de deterinnt onvernderd d) Optelregel ls twee vierknte trices op één rij (of kolo) n gelijk zijn dn is de so vn hun deterinnten gelijk n de deterinnt vn de trix die je bekot door de gelijke rijen (of koloen) te behouden en de verschillende rijen (of koloen) bij elkr op te tellen Cursus deterinnten Sven Mettepenningen

6 e) Product vn trices Eigenschp: de deterinnt vn het product vn twee vierknte trices is gelijk n het product vn de deterinnten vn deze trices Deze eigenschp hdden we l nodig (en hebben we bewezen) bij het invoeren vn de deterinnt vn een -trix f) Deterinnten verlgen vn orde l deze voorgnde eigenschppen kn je gebruiken o deterinnten kkelijker te berekenen door ervoor te zorgen dt je rijen of koloen krijgt et veel nullen Voorbeeld : KK 5 RR K6K Voorbeeld : 4 4 RR RR 0 RR R4 R Zeker bij dit tweede voorbeeld is duidelijk wro deze werkwijze het verlgen vn de orde heet De inverse trix herbekeken ) De djuncttrix nn De djuncttrix (of gedjugeerde trix) vn een vierknte trix R is de getrnsponeerde vn de nn-trix die je krijgt door elk eleent vn te vervngen door zijn cofctor We noteren de djuncttrix et dj Er geldt dus: dj ij ji Stelling: dj dj det I Bewijs: Dit volgt oniddellijk uit de forules vn Kronecker: det 0 0 dj 0 det 0 det I 0 0 det T nloog bewijs je ook dt dj det I Cursus deterinnten Sven Mettepenningen

7 Gevolg: is det 0, dn is regulier en geldt dj det De twee stellingen die we l bewezen hdden voor -trices gelden dus ook lgeeen: Stelling: nn M R : detm 0 M is regulier nn M R : detm 0 Stelsels vn Crer ) Definitie M is singulier Een stelsel vn Crer is een vierknt stelsel (evenveel vergelijkingen ls onbekenden) wrvn de deterinnt vn de coëfficiëntentrix niet gelijk is n 0 Met behulp vn het voorgnde kunnen we voor stelsels et een reguliere coëfficiëntentrix schrijven dt: dj X B X B X B det We bekijken dit eens specifieker voor een stelsel et R en det 0 : x b b b b dj X B y b b b b det det det det z b b b b b b b b b b b b b b b det b b b b b b b Noteren we et de trix die je bekot door de eerste kolo te vervngen door de kolo der constnte teren, de trix die je bekot door de tweede kolo te vervngen door de kolo der constnte teren en de trix die je bekot door de derde kolo te vervngen door de kolo der constnte teren, dn wordt dit korter: det det det x y z det det det,, Cursus deterinnten Sven Mettepenningen

8 Voorbeeld: Los op xy, dn is 4xy x 4 4 en y 4 4 b) Bespreken vn stelsels et de ethode vn Crer We herneen het voorbeeld uit onze eerste bespreking: xyz x y z xyz, et R Horner det Horner 4 4 det Horner det Horner det In het gevl \, x R geven de forules vn Crer ons de oplossing:, y Cursus deterinnten Sven Mettepenningen, z Dus dn is V,, De twee specile wrden vn oeten besproken worden et de spilethode: b , dus V kl, k, l k, lr 0 0 b 0, dus V

9 Een operking over de rng vn een trix In de cursus trices & stelsels zgen we de volgende definitie: de rng vn een trix is het ntl niet-nulrijen vn de rijgereduceerde echelonvor vn die trix We leerden dt een n -stelsel X B een unieke oplossing hd ls en slechts ls rg rg n De ethode vn Crer leert ons nu dt bij vierknte stelsels het volgende geldt: b Het n n stelsel X B heeft een unieke oplossing ls en slechts ls det 0 nn Cobineren we deze twee stellingen dn krijgen we: R : rgndet0 De definitie vn de rng vn een trix kunnen we nu dn ook nders foruleren ls volgt: Een n -trix heeft rng r ls en slechts ls elke vierknte deeltrix vn orde groter dn rr deterinnt nul heeft en er een vierknte deeltrix vn orde r r bestt et deterinnt verschillend vn nul c) Hoogene x stelsels In de wiskunde worden we regeltig geconfronteerd et hoogene -stelsels Dit zijn stelsels x by cz 0 vn de vor: x by cz 0 Stel dt de rng vn de coëfficiententrix is, dus dt bijvoorbeeld b 0 Schrijf dn het stelsel ls stelsel vn Crer (et onbekenden x en y): x by cz x by cz Dit oplossen geeft x cz b b c c z b b c z en y cz c c z c z Stel je hierbij dn z, dn wordt x b c b c, y c c en z De oplossingenverzeling is dus: V b c c,, b c c R Dit zl hndig zijn in onder ndere ruiteeetkunde (op deze nier bereken je een richtingsvector vn de snijlijn vn twee vlkken) Cursus deterinnten Sven Mettepenningen

10 d) Eliintie Het eliineren vn n onbekenden uit n+ eerstegrdsvergelijkingen We onderzoeken wnneer het -stelsel x by c xb y c xby c oplossingen heeft We neen hierbij n dt de rng vn de coëfficiëntentrix is, dus dt bijvoorbeeld b 0 Je kn dit interpreteren ls de vergelijking vn drie concurrente rechten (drie rechten die door één punt gn) De rng vn de coëfficiëntentrix die is houdt dn in dt de rechten niet llel evenwijdig zijn Met behulp vn Crer vinden we dt c b b 0 b c x by c c b c x y x by c Opdt dit ook n de derde vergelijking zou voldoen oet dus: c b c c b c c b c b c b c b b c b c b b c c b c 0 b c c b c b c c b c 0 c 0 b c c b b c Het gegeven stelsel zl dus een unieke oplossing hebben ls en slechts ls de deterinnt vn de uitgebreide coëfficiëntentrix 0 is We noeen dit de coëxistentievoorwrde vn dt stelsel Odt in deze voorwrde geen sprke eer is vn de onbekenden x en y zeggen we ook dt we deze onbekenden geëliineerd hebben We noeen de deterinnt c c c de eliinnt vn het gegeven stelsel Wt we hier gedn hebben voor stelsels kn eenvoudig verlgeeend worden: Cursus deterinnten Sven Mettepenningen

11 Een nn -stelsel heeft een unieke oplossing ls en slechts ls de deterinnt vn de uitgebreide coëfficiëntentrix nul is, en de rng vn de coëfficiëntentrix gelijk is n n (dn geldt inderdd zols we vroeger zgen dt rgb rg n ) Het eliineren vn n onbekenden uit n hoogene eerstegrdsvergelijkingen ls voor een hoogeen nn-stelsel vn de vor X O geldt dt det 0 dn heeft het stelsel één unieke oplossing, nelijk de nuloplossing (wegens de stelling vn Crer) Een hoogeen nn-stelsel vn de vor X O zl dus nog ndere oplossingen behlve de nuloplossing hebben ls en slechts ls det 0 (dus ls en slechts ls de deterinnt vn de coëfficiëntentrix gelijk is n nul) We zgen inderdd ook vroeger reeds dt een n -stelsel onbepld zl zijn ls en slechts ls rgrgb n Toepssing: Wnneer zijn de punten Px, y, P x, y en, P x y collineir? Dit zl het gevl zijn ls en slechts ls er een rechte r xbyc 0 (et bcr,, en niet lle gelijk n nul) bestt wr de drie punten P, P en P op liggen, dus ls en slechts ls: x by c0 x y x by c 0 heeft een oplossing verschillend vn de nuloplossing x y 0 x by c0 x y Cursus deterinnten - - Sven Mettepenningen