Vectoranalyse voor TG

Transcriptie

1 college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA

2 Wt is een integrl? Section 5., 5.3 f A 2 n 2 n n b n A n i f ( i ) dubbel egeven is een functie f :, b]. Wt is opp(a)? Verdeel, b] in n deelintervllen met breedte b n. Kies in ieder deelintervl i, i ] een punt i. De oppevlkte vn A is bij bendering gelijk n n f (i ). i Deze som heet een iemnn som. De oppervlkte A is gelijk n b n f () d lim f (i ). n i en 2. VA dubbel en egeven is een rechthoek, b] c, d] en een continue functie f : met f (, ) voor lle (, ). Definieer S ls het gebied boven en onder de grfiek vn f : S {(,, z) 3 (, ) en z f (, )}. Probleem: bereken het volume vn S. 3.3 VA

3 Section 5. dubbel en Verdeel, b] in m deelintervllen met breedte b m. Verdeel c, d] in n deelintervllen met breedte d c n. Ieder deelrechthoekje ij i, i ] j, j ] heeft oppervlkte A. Kies in ieder deelrechthoekje ij een punt ( ij, ij). 4.4 VA dubbel en Definieer S ij ls het gebied boven ij en onder de grfiek vn f : S ij {(,, z) 3 (, ) ij en z f (, )}. Het volume vn S ij is bij bendering gelijk n f (ij, ij) A. Het volume vn S is bij bendering gelijk n vol S m n vol S ij f (ij, ij) A. ij i j 5.5 VA

4 Definitie De som m i nj f ( ij, ij) A heet een (dubbele) iemnn som. Door m en n steeds groter te mken wordt de bendering steeds nuwkeuriger: m n vol S f (ij, ij) A. lim m,n i j De dubbelintegrl vn f over rechthoek is f (, ) da lim m,n m i j n f (ij, ij) A. De functie f heet integreerbr over ls de limiet bestt. Als f continu is op dn is f integreerbr over. dubbel en 6.6 VA Herhlde Section 5. Stelling Fubini Section 5., theorem Stel f is continu op een rechthoek, b] c, d], dn f (, ) da b d c d b c f (, ) d d f (, ) d d. dubbel en De differentil da is een smbolische nottie, en kn niet worden gebruikt voor berekeningen. De stelling vn Fubini geldt ook voor sommige klssen niet-continue functies. 7.7 VA

5 Herhlde Een herhlde integrl is een integrl vn de vorm b d c f (, ) d d of d b Eigenlijk horen er hken te stn: ( b ) d f (, ) d d. c c f (, ) d d. De uitdrukking binnen de hken is een functie vn : Dus b F() d c d c f (, ) d. f (, ) d d b F() d. Een herhlde integrl bereken je vn binnen nr buiten. dubbel en 8.8 VA Herhlde Definieer, ], 3]. Bereken Volgens de stelling vn Fubini geldt 3 2 da 2 d d. 2 da. Bereken eerst de binnenintegrl : 2 d Bereken drn de buitenintegrl : 3 3 ( ) 2 d d 2 d d 3 3 d dubbel en 9.9 VA

6 (vervolg) De berekening kn ook in één keer worden opgeschreven: Er geldt ook: 2 d d 3 3 ] d 3 3 d da ] 3 3 d 4 2 d d 2 d d d dubbel en. VA Stelling vn Fubini Bereken de tweevoudige integrl, 2], 2]. 3 2 da, wrbij ebruik de stelling vn Fubini: 3 2 da 3 ] 2 d (2 8) ( ) d 7 d d d 2. dubbel en. VA

7 Integrtievolgorde De stelling vn Fubini geeft de keus tussen twee mogelijke integrtievolgorden. Beide volgorden geven hetzelfde resultt, mr de berekeningen kunnen drmtisch verschillen. Bereken sin() da, wrbij, 2], π]. sin() da π sin() d d. De binnenintegrl moet worden berekend met behulp vn prtiële integrtie: π sin() d π dcos()... dubbel en 2.2 VA (vervolg) Verwisselen vn integrtievolgorde geeft verlichting: π sin() da sin() d d. Voor de binnenintegrl is een constnte: sin() d sin() da sin() d cos() 2 cos 2 + cos. π π sin() d d cos 2 + cos d 2 sin 2 + sin π. dubbel en 3.3 VA

8 ekenregels Stelling Stel is een rechthoek en stel f en g zijn integreerbre functies over. Dn geldt f ± g da f da ± g da. 2 3 cf da c da opp. f da voor iedere constnte c. 4 Als wordt opgedeeld in twee rechthoeken en 2 die hoogstens een lijnstuk gemeen hebben, dn f da f da + f da. 2 dubbel en 4.4 VA ekenregels Bereken da, wrbij, 2], 2] da 6 da 2 da 2 6 da 6 opp d d 2 2 da 2 d d d d d 2 d dubbel en 5.5 VA

9 Productregel Stelling productregel Stel f is integreerbr over de rechthoek, b] c, d], en stel er geldt f (, ) g() h() voor lle (, ), dn f da b g() d d c h() d. dubbel en Specil gevl: ls f (, ) g() dn b d f da g() d d (d c) b c g() d. 6.6 VA Productregel Bereken sin cos da, wrbij, π/2], π/2]. sin cos da π/2 cos sin d ] π/2 π/2 sin ( + ) ( ). cos d ] π/2 dubbel en 7.7 VA

10 Productregel Bereken da, wrbij, 2], 2] da 6 da 2 da 2 6 opp ] 2 2 d d d da ] 2 2 d dubbel en 8.8 VA Definitie Een gebied H 2 is een elementir gebied vn tpe I ls het ingesloten wordt door de grfieken vn twee continue functies, met ndere woorden H {(, ) 2 b en ϕ () ϕ 2 ()} voor zekere, b en voor zekere continue functies ϕ en ϕ 2 gedefinieerd op, b]. dubbel en ϕ 2 () ϕ 2 () H ϕ () ϕ () b VA

11 Stelling Stel f is een continue functie op een elementir gebied vn tpe I dn geldt H {(, ) 2 b en ϕ () ϕ 2 ()}, H f da b ϕ2 () ϕ () f (, ) d d. dubbel en De rechterintegrl is een herhlde integrl. Voor dit soort herhlde gelden dezelfde rekenregels ls voor herhlde over rechthoeken, behlve de productregel. De productregel geldt lleen voor rechthoekige VA Bepl D + 2 da wrbij D het gebied is omsloten door de prbolen 2 2 en + 2. Mk een schets vn het integrtiegebied: dubbel en D Het integrtiegebied is D {(, ) 2 en }. D + 2 da d d VA

12 (vervolg) d d d ( + 2 ) + ( + 2 ) 2 (2 2 ) (2 2 ) 2 d d d dubbel en VA Bepl H da wrbij H gedefinieerd is door { H (, ) 2 }, 4 2 Mk een schets vn het integrtiegebied: dubbel en H H da d d VA

13 (vervolg) 4 2 d d d 2 (4 2) 2 3 d 2 3 d ] ( ) 4 dubbel en VA vn tpe II Definitie Een gebied H 2 is een elementir gebied vn tpe II ls het ingesloten wordt door de grfieken vn twee continue krommen vn de vorm ψ(), met ndere woorden H {(, ) 2 c d en ψ () ψ 2 ()} voor zekere c, d en voor zekere continue functies ψ en ψ 2 gedefinieerd op c, d]. dubbel en d H ψ () ψ 2 () c ψ () ψ 2 () VA

14 vn tpe II Stelling Stel f is een continue functie op een elementir gebied vn tpe II dn geldt H {(, ) 2 c d en ψ () ψ 2 ()}, H f da d ψ2 () c ψ () f (, ) d d. dubbel en Net ls bij dubbel over vn tpe I gelden voor dit soort herhlde dezelfde rekenregels ls voor herhlde over rechthoeken, behlve de productregel. De productregel geldt lleen voor rechthoekige VA vn tpe I en II Bereken H 2 da wrbij H is gedefinieerd door de hlve cirkelschijf H {(, ) , }. Het gebied H is elementir vn tpe I: 2 2 dubbel en H {(, ) 2, 2 }. 2 2 da 2 d d. H VA

15 (vervolg) d d d 2 2 ( 2) d 2 4 d ] (( 3 5) ( )) 3 5 dubbel en VA (vervolg) Het gebied H is elementir vn tpe II: H {(, ), 2 H 2 da d d ] d Deze integrl kun je oplossen met de substitutie u 2. 2 }. ( 2 ) 3 2 d. dubbel en VA

16 vn tpe I en II Bereken H e2 da wrbij H is gedefinieerd ls de driehoek met hoekpunten (, ), (, ) en (, ). Het gebied H is elementir vn tpe I: H {(, ), }. dubbel en H e 2 da e 2 d d. De functie e 2 is niet primitiveerbr met stndrdfuncties VA (vervolg) emedie: verwissel de integrtievolgorde. Simpelweg verwisselen vn integrlsmbolen is fout! e 2? d d e 2 e 2 ] e 2 d. d d d Het resultt is geen getl, mr een functie vn! Oplossing: beschrijf H ls elementir gebied vn tpe II. dubbel en VA

17 (vervolg) Beschrijf H ls elementir gebied vn tpe II: H {(, ), }. e 2 d d e 2 d. Subsitueer 2 u, dn d 2 e 2 d u 2 eu du e 2 ] du en d ] 2 eu u 2 e 2 e 2 e 2. dubbel en VA vn tpe I en II Zelfstudie Bereken da wrbij er ls volgt uitziet: 5 2 H dubbel 3 H 2 5 en Splits in twee elementire : H H 2 met en H {(, ) 2 3, 25 2 } H 2 {(, ) 2 3 5, 5 }. Omdt H en H 2 slechts een lijnstuk gemeen hebben geldt: da H da + H 2 da VA

18 (vervolg) da da + H da H ] 25 2 d d + d d d d ] 5 d (5 ) d 3 (25 2 ) ] 25 3 ] (25 32 ) (25 2 ) Zelfstudie 3 dubbel en VA Oppervlkte Section 5.3 Definitie Blz. 868 Stel is een gebied in 2. De oppervlkte vn is gelijk n da. Men schrijft ook wel slordig: da. Emple Bereken de oppervlkte vn het gebied begrensd door en 2. opp() 2 d d d dubbel en VA

19 emiddelde wrd vn een functie Definitie Blz. 869 Stel f is een functie vn twee vribelen op een gebied 2. De gemiddelde wrde vn f over is f da. opp Emple 3 Bereken de gemiddelde wrde f (, ) cos( ) over de rechthoek π,. dubbel en De gemiddelde wrde is π cos( ) d d π π π sin d cos π 2. π sin( ) ] d VA Poolcoördinten Definitie Een gebied 2 heet polir ls het vn de volgende vorm is: {(, ) r b en α θ β}, wrbij, b, α en β constnten zijn. Punt (, ) wordt uitgedrukt in (r, θ). dubbel en {(, ) r en θ 2π} 2 {(, ) r 2 en θ π} VA

20 De tweevoudige integrl in polire vorm Stelling Stel f is een continue functie gedefinieerd op een polir gebied {(, ) r b en α θ β} met b en β α 2π, dn β b f (, ) da f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ. α dubbel en Deze stelling beschrijft de rekenwijze bij overgng op. De etr fctor r wordt de Jcobin genoemd. De integrtievolgorde mg worden verwisseld: b β f (, ) da f (r cos θ, r sin θ) r dθ dr. α VA De tweevoudige integrl in polire vorm Bereken de oppervlkte vn de cirkelschijf met middelpunt (, ) en strl. De cirkel is te schrijven ls polir gebied: {(, ) θ 2π, r }. De oppervlkte vn een gebied D is gelijk n D da, dus π opp() da r dr dθ π θ ] 2π dθ r dr 2 r 2 ] 2π 2 2 π 2. dubbel en VA

21 De tweevoudige integrl in polire vorm Sec. 5.3, emple 3 Bereken e2 + 2 da, wrbij is gegeven door de hlve cirkelschijf en. Schrijf ls polir gebied: {(, ) θ π, r }. ebruik r 2 : e da π dθ π r e r2 e r2 r dr dθ dr π r e r2 Substitiueer r 2 u, dn du 2r dr, dus π r e r2 dr π 2 dr. e u du π (e ). 2 dubbel en VA De tweevoudige integrl in polire vorm Bereken da wrbij {(, ) r 2 en θ π}. zelfstudie dubbel Beschrijf gebied polir: en ebruik r 2 : da π 4 r 4 ] 2 π dθ π 5 4 r 2 r dr dθ dθ 5 4 π VA

22 polir Definitie Een polir gebied H 2 heet elementir ls het vn de volgende vorm is: {(, ) θ θ θ 2 en (θ) r 2 (θ)}, wrbij θ en θ 2 constnten zijn, en wrbij en 2 functies vn θ zijn. dubbel en VA polire herhling Beschrijf de cirkel {(, ) ( ) } ls elementir polir gebied. Mk eerst een schets vn : θ 2 dubbel en Bij vste wrde vn θ vrieert r tussen en (θ), wrbij (θ) de lengte vn het bluwe lijnstuk is. De kleinste wrde vn θ is π/2, de grootste wrde vn θ is π/ VA

23 (vervolg) { (, )) Nu nog (θ) beplen: π 2 θ π }. 2 en r (θ) (θ) herhling dubbel θ 2 en Uit de figuur volgt cos θ 2(θ)/. dus (θ) 2 cos θ. ls polir elementir gebied: { (, ) π 2 θ π } 2, r 2 cos θ VA Dubbel over elementire polire Stelling Stel f is een continue functie gedefinieerd op een elementir polir gebied wrbij {(, ) θ θ θ 2, (θ) r 2 (θ)}, θ 2 θ 2π en (θ) en 2 (θ) continue functies zijn op θ, θ 2 ] wrvoor geldt dubbel en (θ) 2 (θ), dn geldt f (, ) da θ2 θ (θ) (θ) f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ VA

24 Dubbel over elementire polire Bereken de inhoud vn het gebied dt ligt onder de prboloïde z 2 + 2, boven het -vlk en binnen de cilinder De vergelijking vn de cilinder is te herleiden tot ( ) De gevrgde inhoud is gelijk n de inhoud vn het gebied onder de grfiek vn de functie f (, ) boven het gebied {(, ) ( ) }. f (, ) z dubbel en VA (vervolg) De gevrgde inhoud is gelijk n da. Het gebied{ is elementir: (, ) π 2 θ π } 2 en r 2 cos θ. Voor geldt r 2. De gevrgde inhoud is gelijk n π/2 cos θ π/2 π/2 4 π/2 π/2 π/2 π/2 π/2 r 4 r 2 r dr dθ ] 2 cos θ π/2 dθ 4 4 ( ) + cos 2θ 2 dθ 2 π/2 cos 4 θ dθ + 2 cos 2θ + 2 ( + cos 4θ) dθ 3 2 θ + sin 2θ + 8 sin 4θ π/2 π/2 3 2 π. dubbel en VA

25 Oppervlkten vn elementire polire Bereken de oppervlkte vn het gebied dt wordt omsloten door één lus vn de kromme r cos 2θ. Mk een schets vn : θ π 4 θ π 4 {(, ) π/4 θ π/4 en r cos 2θ}. π/4 cos 2θ opp da r dr dθ π/4 π/4 4 2 r 2 ] cos 2θ π/4 dθ 2 π/4 π/4 cos2 2θ dθ zelfstudie π/4 π/4 + cos 4θ dθ 4 (θ + 4 sin 4θ) π/4 π/4 π 8. dubbel en VA