2) Kegelsneden (in basisvorm)
|
|
|
- Johan Timmermans
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 ) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk is n de fstnd tot een gegeven rechted. Dt unt F wordt het rndunt of focus genoemd. De rechte d wordt de richtlijn of directrix genoemd. Crtesische vergelijking Noem de rool P. We kiezen het rndunt F,0 o de ositieve x-s (dus met 0) en d x ls richtlijn loodrecht o de x-s. Dn geldt, met Px, : P P PF d P, d x PP x x x We noemen dit de tovergelijking vn de rool. Deze rool heeft de oorsrong ls to en de x-s ls s (vn smmetrie). De -s noemen we de torklijn vn P. Besreking vn de rool ls functie De tovergelijking vn de rool vlt uiteen in twee functies x en omdt geldt: x. Omdt x, zullen de grfieken vn f en f elkrs siegeleeld zijn om de x-s. We esreken hier enkel functie f, met 0. Domein: dom f Asmtoten: geen, wnt R (de functie is ook overl in lim x en R continu) lim 0 x x. Afgeleiden: x x x x x 3 3 x 0 /// 0 + /// 0 - fx /// 0 A Cursus nltische meetkunde 4 Sven Metteenningen
2 Constructie vn de rool Methode : geruik mkend vn rndunt en richtlijn St : teken een rechte evenwijdig met de richtlijn d o een gekozen fstnd. St : teken de cirkel c met middelunt F en ls strl diezelfde gekozen fstnd. St 3: de snijunten P en P vn en c zijn unten vn de rool P met rndunt F en richtlijn d Bewijs: er constructie geldt dt FP d P, d FP d P, d. en Methode : uitgnde vn de tovergelijking St : neem o de x-s het unt A,0. St : teken door A een rechte r die de -s snijdt in unt B. St 3: teken o r de loodlijn l door B die de x-s snijdt in unt C. St 4: het unt P met dezelfde scis ls C en dezelfde ordint ls B zl dn o de rool met vergelijking P x liggen. Bewijs: Noem de rico vn rechte r door A, dn geldt r x en dus 0, Als 0 dn vllen B en C smen en he je de to vn de rool. Als 0 dn geldt BC x en dus,0 C. B. Dn is dus P,, en lt dt nu net de rmetervergelijking zijn vn P (zie onder). Een extr unt P kn dn uiterrd snel gevonden worden door P te siegelen om de x-s. Prmetervergelijking In oefeningen is het vk hndiger om met een rmetervergelijking vn een rool te werken. Je rekent eenvoudig n dt de rool uit de vorige ogve ls rmetervoorstelling heeft: x P Zo geldt voor lle wrden vn R dt P,P, ls P x. Cursus nltische meetkunde 5 Sven Metteenningen
3 Rklijnen We stellen de vergelijking o vn de rklijn t in unt P vn de rool Beschouw P weer ls de vereniging vn twee functies x en voor de fgeleiden (we stellen eerst x 0):, P x. x. Dn geldt : Als 0 : Als 0 x x x x in eide gevllen geldt mt Dus geldt: t x x x x x x x. Deze ltste vergelijking geldt overigens ook ls x 0, wnt dn is t x 0. Constructie vn de rklijn Om de rklijn n een unt P P, met, P x te construeren volstt het dt unt P te verinden met het siegelunt L vn zijn loodrechte rojectie L o de x-s. Uit de vorige rgrf volgt nmelijk dt de rklijn de x-s snijdt in het unt L x,0. De hoofdeigensch vn de rool Stelling: De rklijn t en de norml n in een unt P vn een rool P zijn de issectrices vn de rechte die P verindt met het rndunt F vn de rool en de rechte door P evenwijdig met de s vn de rool. Bewijs: Noem P de rojectie vn P o de richtlijn d vn P en L het snijunt vn t met de x-s (zie figuur). Stel nu Px, en F,0 dn geldt wegens het voorgnde dt L x,0 en P,. Per definitie geldt dt PP// FL mr het is ook duidelijk dt PP FL x. De vierhoek PP L F is dus een rllellogrm mr omdt P o P ligt geldt ook PP PF de vierhoek PP L F is een ruit, zodt t PL de issectrice is vn PP en PF. De ndere issectrice door P stt er loodrecht o en is dus er definitie de norml.. Dus Cursus nltische meetkunde 6 Sven Metteenningen
4 Andere vormen vn de sisvergelijking Hdden we het ssenstelsel nders gekozen dn verkregen we uiterrd ook ndere vergelijkingen. We ekijken hier enkele ndere voor de hnd liggende keuzes (met telkens R 0): Mogelijkheid Kies ls rndunt F, 0 en ls richtlijn d x. Dn wordt de vergelijking x P. De x-s is de smmetries en de torklijn is de -s. Mogelijkheid 3 Kies ls rndunt F 0, en ls richtlijn d. Dn wordt de vergelijking P. De -s is de smmetries en de torklijn is de x-s. (Het is deze vorm die we herkennen uit de vierdes) Mogelijkheid 4 Kies ls rndunt F 0, en ls richtlijn d. Dn wordt de vergelijking x P. De s is 0 en de torklijn is de x -s. Cursus nltische meetkunde 7 Sven Metteenningen
5 ) De ellis Definitie De ellis is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de som vn de fstnden tot twee vste unten F en F gelijk is n een strikt ositief getl. Deze unten F en F worden de rndunten vn de ellis genoemd. Crtesische vergelijking We nemen het ssenstelsel zo dt de rndunten o de x-s liggen en dt de -s de middelloodlijn is vn het lijnstuk dt de rndunten verindt. Stel F c,0 en F c.,0 Voor lle unten Px, vn de ellis E moet dus gelden dt PF PF. Uit de driehoeksongelijkheid volgt direct dt c FF PF PF, dus dt c. Mocht c dn is FF E dus vnf hier eisen we dt c. E, E x c x c, E c c cx c c, E x c 4c x x c x, E c 4 4 4, E c x c P x, PF PF x c x c P P P P P x Stellen we hierin dn P x c x c 4 x 4 c x c c 4 c (dit kn omdt c), dn wordt dit:, E x We noemen dit de crtesische vergelijking vn de ellis E. Om ook de omgekeerde ijl f te leiden moeten we nog ntonen dt x c Uit x volgt dt x x en dt c c 0.. Lid n lid otellen geeft:, zodt inderdd x c 0. Cursus nltische meetkunde 8 Sven Metteenningen
6 Besreking vn de ellis ls functie De crtesische vergelijking vn de ellis vlt uiteen in twee functies x en x x. x, omdt geldt: x Omdt zullen de grfieken vn f en f elkrs siegeleeld zijn om de x-s. We esreken hier enkel functie f. Domein: dom f Asmtoten: geen (de functie is ook overl in hr domein continu), Afgeleiden: f x x x x x x x x x x x x x x x x 3 x 0 /// /// /// /// f x /// 0 A mx () B 0 /// Om.: De grfiek heeft verticle rklijnen in x en x. Verdere fsrken en definities Stel E, met 0. De unten A,0, A,0, 0, B 0, noemen we de toen vn E. B en De rechten AA en BB noemen we in die volgorde de grote en de kleine s vn E. De unten F c,0 en F c,0 noemen we de rndunten vn E, met c. De rklijnen in de toen (de torklijnen) vormen smen een rechthoek, die we de ssenrechthoek vn E noemen. Het unt O is een smmetriemiddelunt vn de ellis E. We zullen dit kortweg het middelunt noemen. Cursus nltische meetkunde 9 Sven Metteenningen
7 De cirkel Stellen we in de vergelijking vn de ellis r dn vinden we de vergelijking vn een cirkel met middelunt de oorsrong en strl r. We kunnen een cirkel dus eschouwen ls secil gevl vn een ellis wrij de twee rndunten smenvllen in het middelunt. Contructie vn de ellis Uitgnde vn de rndunten en de constnte St : construeer een lijnstuk KL met KL. St : Kies een unt N KL. St 3: Teken de cirkels C F NL en, C F, KN St 4: De snijunten P en P vn C en C zijn unten vn E omdt er constructie geldt : PF PF NL KN KL (idem voor P ). Uitgnde vn de grote en kleine cirkel St : Teken de grote cirkel C met middelunt O en strl en de kleine cirkel C met middelunt O en strl. St : Teken een willekeurige hlfrechte door O die de cirkels C en C snijdt in resectievelijk P en P. St 3: Het unt P met dezelfde scis ls P en dezelfde ordint ls P zl o de ellis E liggen. Bewijs: Noem de hoek gevormd door de ositieve x-s en de gekozen hlfrechte. Dn vinden we ls coördinten P cos, sin en P cos, sin. Dus geldt Pcos, sin. Het is eenvoudig om n te rekenen dt P E. (Je vindt eenvoudig drie extr unten door P te siegelen om de x-s,-s en oorsrong.) De rmetervergelijking vn een ellis x cos Uit de tweede constructie volgt onmiddellijk dt E een rmetervergelijking is vn sin excentrische nomlie genoemd. E. We stellen 0,. Voor een unt Pcos, sin E wordt de Cursus nltische meetkunde 0 Sven Metteenningen
8 Rklijnen n een ellis We stellen de vergelijking o vn de rklijn t in unt Px, vn de ellis E. Beschouw E weer ls de unie vn twee functies x en Als 0, dn geldt dus dt ls 0, dn geldt dus dt x x, en x x. Dn geldt voor de fgeleiden (we stellen eerst 0): x. : Als 0 : Als 0 x x x x x x in eide gevllen geldt m t x Dus geldt voor de rklijn t: x x x xx x xx x t t x x x xx xx Deze ltste vergelijking geldt overigens ook ls 0 (en dus x ), wnt dn is t x. De hoofdeigensch vn de ellis (tevens een constructie voor rklijnen) Stelling: De rklijn t en de norml n in een unt P vn een ellis E zijn de issectrices vn de rechten die P verinden met de rndunten F en F vn de ellis. Bewijs: Teken de issectrices t en n vn de rechten FP en FP (noem t de uitenissectrice vn P in PFF ). We ewijzen nu dt t de rklijn is n E in P. Neem een willekeurig nder unt Q t (met dus Q P), en noem F het siegeleeld vn F om t (zie figuur). We weten dus dt PF PF en dt QF QF. Het is duidelijk dt F FP omdt je eenvoudig nrekent dt FPF 80. Dn geldt er dt : QF QF QF QF FF FP PF FP PF QE. Cursus nltische meetkunde Sven Metteenningen
9 Andere vorm vn de sisvergelijking Hdden we het ssenstelsel nders gekozen dn verkregen we uiterrd ook een ndere vergelijking. We ekijken hier een ndere voor de hnd liggende keuze: Kies het ssenstelsel zo dt de rndunten o de - s liggen en dt de x-s de middelloodlijn is vn het lijnstuk dt de rndunten verindt. Stel F 0, c en F 0, c. Dn wordt de vergelijking E, met c. Cursus nltische meetkunde Sven Metteenningen
10 c) De herool Definitie De herool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor het verschil vn de fstnden tot twee vste unten F en F gelijk is n een strikt ositief getl. Deze unten F en F worden de rndunten vn de herool genoemd. Crtesische vergelijking We nemen het ssenstelsel zo dt de rndunten o de x- s liggen en dt de -s de middelloodlijn is vn het lijnstuk dt de rndunten verindt. Stel F c,0 en F c,0. Voor lle unten Px, vn de ellis H moet dus gelden dt PF PF. Uit de driehoeksongelijkheid volgt direct dt c FF PF PF, dus dt c. Mocht c dn is H de verzmeling vn lle unten vn de x-s ehlve FF dus vnf hier eisen we dt c. H, H x c x c, H c c cx c c H c x c P x, PF PF x c x c P P 4 x, H c 4 c 4 c, H c x c x c x c 4 x 4 P x, 4c x P P x Stellen we hierin dn P c (dit kn omdt c), dn wordt dit :, H x We noemen dit de crtesische vergelijking vn de herool H. 4c x Om ook de omgekeerde ijl f te leiden moeten we nog ntonen dt c 0. Uit x volgt dt x c c x x en er fsrk ws c. Lid n lid otellen geeft:, zodt inderdd x c 0. Cursus nltische meetkunde 3 Sven Metteenningen
11 Besreking vn de herool ls functie De crtesische vergelijking vn de herool vlt uiteen in twee functies x en x x. x, omdt geldt: x Omdt zullen de grfieken vn f en f elkrs siegeleeld zijn om de x-s. We esreken hier enkel functie f.,, (de functie is ook overl in hr domein continu) Domein: dom f Asmtoten: De functie heeft geen verticle smtoten, mr wel twee schuine smtoten: m lim x lim x x x x x x x x x x q lim x x lim x x lim x x x x x x x 0 Als x is de S.A. dus s x. Anloog vind je voor x de S.A. s x. Afgeleiden: f x x x x x x x x x x x x x x x x 3 x - /// + - /// - f x B 0 /// 0 A Om.: De grfiek heeft verticle rklijnen in x en x. Verdere fsrken en definities Stel H. De unten A,0 en A,0 noemen we de toen vn H. De rechte AA noemen we de hoofds vn H. De rechte BB, met B0, en B 0,, noemen we de nevens vn H. Cursus nltische meetkunde 4 Sven Metteenningen
12 De unten F c,0 en F c,0 noemen we de rndunten vn H, met c. De rklijnen in de toen (de torklijnen) vormen smen met de rechten door B en B, evenwijdig n de hoofds, een rechthoek, die we de ssenrechthoek vn H noemen. De smtoten s en s gn door de hoekunten vn de ssenrechthoek. Het unt O is een smmetriemiddelunt vn H. We zullen dit kortweg het middelunt noemen. De gelijkzijdige herool Stellen we in de vergelijking vn de herool dn sreken we vn een gelijkzijdige of orthogonle herool. In dt gevl is de ssenrechthoek een vierknt en stn de smtoten loodrecht o elkr. Constructie vn de herool Uitgnde vn de rndunten en de constnte St : construeer een lijnstuk KL met KL.. St : Kies een unt N KL\ KL St 3: Teken de cirkels C F KN en, C F, NL St 4: De snijunten P en P vn C en C zijn unten vn H omdt er constructie geldt: PF PF KN NL KL (idem voor P ). Uitgnde vn de grote en kleine cirkel St : Teken de cirkel C met middelunt O en strl en de cirkel C met middelunt O en strl. St : Teken een willekeurige hlfrechte door O die de cirkels C snijdt in P. St 3: Trek in B,0 de rklijn n C en noem het snijunt met de gekozen hlfrechte T. Trek in P de rklijn n C en noem het snijunt met de x-s S. St 4: Het unt P met de scis vn S en de ordint vn T zl o H liggen. Cursus nltische meetkunde 5 Sven Metteenningen
13 Bewijs: Noem de hoek gevormd door de ositieve x-s en de gekozen hlfrechte. Dn vinden we ls coördinten P cos, sin en T, tn. Voor de rklijn t n C in P geldt: 0) in het unt cos x sin t S sec,0. Dus geldt Psec, tn. Deze rechte snijdt de x-s (. Je rekent n dt PH. (Je vindt eenvoudig drie extr unten door P te siegelen om de x-s,-s en oorsrong.) De rmetervergelijking vn een herool x sec Uit de tweede constructie volgt onmiddellijk dt H een rmetervergelijking is vn tn 3 H. We nemen,,. Het eerste intervl geeft de rechtertk vn de herool, het tweede intervl geeft de rechtertk. Rklijnen n een herool We stellen de vergelijking o vn de rklijn t in unt Px, vn de ellis H. Beschouw H weer ls de unie vn twee functies x en Als 0, dn geldt dus dt ls 0, dn geldt dus dt x x, en x x. Dn geldt voor de fgeleiden (we stellen eerst 0): x. : Als 0 : Als 0 x x x x x x x in eide gevllen geldt mt Dus geldt voor de rklijn t: x x x xx x xx x t x x x x x t Deze ltste vergelijking geldt overigens ook ls 0 (en dus x ), wnt dn is t x. Cursus nltische meetkunde 6 Sven Metteenningen
14 De hoofdeigensch vn de herool (tevens een constructie voor rklijnen) Stelling: De rklijn t en de norml n in een unt P vn een herool H zijn de issectrices vn de rechten die P verindt met de rndunten F en F vn de herool. Bewijs: Teken de issectrices t en n vn de rechten FP en FP (noem t de innenissectrice vn P in PFF ). We ewijzen nu dt t de rklijn is n H in P. Neem een willekeurig nder unt Q t (met dus Q P), en noem F het siegeleeld vn F om t (zie figuur). We weten dus dt PF PF en dt QF QF. Het is duidelijk dt F FP omdt ( FPF FPF ). Dn geldt er dt : QF QF QF QF FF PF PF PF PF QH. Andere vorm vn de sisvergelijking Hdden we het ssenstelsel nders gekozen dn verkregen we uiterrd ook een ndere vergelijking. We ekijken hier een ndere voor de hnd liggende keuze: Kies het ssenstelsel zo dt de rndunten o de -s liggen en dt de x -s de middelloodlijn is vn het lijnstuk dt de rndunten verindt. Stel F 0, c en F 0, c. Dn wordt de vergelijking H, met c. Toegevoegde herolen De herolen H en H x noemen we toegevoegde herolen. Ze heen dezelfde smtoten. Cursus nltische meetkunde 7 Sven Metteenningen
PR en QR snijden de grote as van E in respectievelijk U en V. Bewijs dat de vector UV. x 2y. a 4b. sin sin cos cos. a b 2 2. cos cos, sin sin.
Oplossing Op e ellips E neem je twee vste punt P Q e vernderlijk punt R De middelloodlijn vn e constnte PR QR snijd de grote s vn E in respectievelijk U V Bewijs dt de vector UV vector is (dus onfhnkelijk
3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Eindexamen vwo wiskunde B II
Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,
Eindexamen vwo wiskunde B pilot I
Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml
de Wageningse Methode Antwoorden H29 PARABOLEN&HYPERBOLEN 1
Hodstuk PARABOLEN & HYPERBOLEN. INTRO. CONFLICTLIJN ; ; d,, Q: Afstnd tot E is 7 Afstnd tot k is R: Afstnd tot E is 7 Afstnd tot k is us Q en R liggen even ver vn E ls vn k. e fstnd tot k is e fstnd tot
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Eindexamen vwo wiskunde B I
Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,
Eindexamen vwo wiskunde B pilot I
Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)
Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer
Toepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Toepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur
Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld
Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2
Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel
Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h
Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur
Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim
Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad
Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling
35 7 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO
Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6 d 6.0 INTRO km kost,0: =,0 drnkje kost : =,0, dus de entrée is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog
Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I
Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =
Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.
Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De
ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI , 13:30-16:30
Docent: J. vn de Leur Assistent: J.L. vn der Leer Durn ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI 6 03, 3:30-6:30 Exercise (5 pt) Lt T de torus in R 3 prmetristie zijn die gegeven wordt door de Φ(α, θ) = (( + cos
Noordhoff Uitgevers bv
I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:
Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.
Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos
Formularium goniometrie
Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Formulrium goniometrie sin α cos α Definities : tn α cot α secα cscα cos α sin α cos α sin α Gevolg : tn α cot α cot α tn α Hoofdformule : cos sin Gevolg : tn sec cot csc α α
Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde
Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop
Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur
Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Hoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I
Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Ongelijkheden groep 2
Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid
In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde
1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem
F G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :
1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur
H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO
H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls
15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO
Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog
Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2
Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.
Parels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I
Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed
Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl
HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek
Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,
a a a en b b ac ax bx c 0 x a a ab pq en a a x x x e q px lnq x VWO-6 Wiskunde-B Tob-100 Algebra en xy xz x z maar Voorbeeld:
VWO-6 Wiskunde-B To-00 Aler ( ) en ( ) ( )( ) 3 4 5 6 4 c 0 q en q c q q en y z z mr q q q q q q en Vooreeld: q q en ( ) q q 0, 0,4 0 4 5 0,6 en y z yz 4 3 4 7 Wortels vereenvoudien Bijv 8 9 3 en 8 Wortels
Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen
1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende
15 4 11 dus punt B ligt niet op lijn k
Hoofdstu 9: Lijnen en iels. 9. Vegelijingen vn lijnen. Ogve :... 6 6 Ogve :.. dus unt ligt o lijn dus unt B ligt niet o lijn 6 7 dus unt C ligt o lijn 6 6 dus unt D ligt o lijn. q q q q 7q q 7 d. doo 6
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme
CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...
Continuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
wiskunde B pilot vwo 2015-I
wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t
a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +
Over de tritangent stralen van een driehoek
Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven
Vectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden
HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...
Primitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
In dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a.
Deterinnten Deterinnt In dit hoofdstuk willen n elke vierknte trix een getl ssociëren dt (onder ndere) ngeeft of die trix singulier is of niet ) Deterinnt vn een x-trix Zij gegeven twee trices M c d en
Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexmen vwo wiskunde B 04-I Bl in de sloot mximumscore 4 De gevrgde inhoud I is ( ) h ( ) π f( x) dx= π ( x x )dx h 0 0 h π f( x) dx 0 Een rimitieve vn x x is x x I = π( h h ) = π h ( h) mximumscore
Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Klas: Project: ENENN. Ontwerp
Voornm & nm: Kls: 3 BSIS LSSEN Project: MEETKUNDIG TEKE ENENN Ontwerp 2010 : w. vermelen Strtdtum P L N N I N G T V e n T T Geplnde einddtum Werkelijke einddtum Strtdtum P L N N I N G P R K T I J K Geplnde
5.1 Rekenen met differentialen
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Parate kennis wiskunde
Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr
Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:
Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige
Formulekaart VWO 1. a k b n k. k=0
Formulekrt VWO 1 Formulekrt VWO Knsrekening Tellen n! = n (n 1)... 1 0! = 1 ( ) n n! = k k!(n k)! Binomium vn Newton: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k Knsrekening Voor toevlsvribelen X en Y geldt E(X +
De stelling van Rolle. De middelwaardestelling
De stelling vn Rolle Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) en f() = f(b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = 0. De middelwrdestelling Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel
2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle
3. BEPAALDE INTEGRAAL
3. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te eplen. We ouwen onze redenering op vi ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen om
Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode
Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde
de Wageningse Methode Antwoorden H29 PARABOLEN&HYPERBOLEN VWO 1
H9 PARABOLEN & HYPERBOLEN VWO 9. INTRO 9. CONFLICTLIJN ; y ; d y y y y ( y ( y y y y, of, Q: Afstnd tot E is 69 6 7 ( ( 9. Afstnd tot k is 9. R: Afstnd tot E is 66.9 7 6 (6 6. Afstnd tot k is 6. us Q en
MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken
MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul
MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN
III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende
Zwaartepunt en traagheid
Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve 2016-1 uteur HC hugocleys@icloud.com Inhoudsopgve 1 wrtepunt 4 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm....................... 4 1.2 Momentenstelling..................................
Inhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Q: Afstand tot E is. R: Afstand tot E is
H9 PARABOLEN & HYPERBOLEN VWO 9. INTRO Q: Afstnd tot E is 69 6 7 () ( ) 9. Afstnd tot k is 9. R: Afstnd tot E is (6 ) 6. 669 6 7 Afstnd tot k is 6. us Q en R liggen even ver vn E ls vn k. e fstnd tot k
Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2
Oefeningen 1 G n of de gegeven functie een oplossing is vn de gegeven differentilvergelijking. () xy = 2y ; y = 5x 2 (b) (x + y) dx + y dy = 0 ; y = 1 x2 2x (c) y + y = 0 ; y = 3 sin x 4 cos x 2 Zoek een
Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p
Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad
Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling
Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de
== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u
== Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking
Cursusnota s Wiskunde MEETKUNDE
ogeschool Sint-Luks russel Pleizenstrt 70 fdeling ouw 0 RUSSL ursusnot s Wiskunde MTKUN Septemer 003 Wlter Mommerts oofdstuk Vlkke Meetkunde...4. oördinten...4. Vectoren...4 3. Rechten...5 4. fstnd tussen
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij
Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR
Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken
Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie
Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden
Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli 2012 09:00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel.
Tentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 11 juli 1 9:-1: Leg uw collegekrt n de rechterknt vn de tfel. Schrijf o elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke ogve o een rt vel. Dit tentmen
6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...
113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de
Routeplanning middels stochastische koeling
Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.
Platte en bolle meetkunde
Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor