Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2

Transcriptie

1 Oefeningen 1 G n of de gegeven functie een oplossing is vn de gegeven differentilvergelijking. () xy = 2y ; y = 5x 2 (b) (x + y) dx + y dy = 0 ; y = 1 x2 2x (c) y + y = 0 ; y = 3 sin x 4 cos x 2 Zoek een differentilvergelijking die de gegeven fmilie ls oplossing heeft. () y = e x + C (b) y = Ce x (c) y = C 1 x + C 2 3 Los volgende differentilvergelijkingen op door scheiding vn de vernderlijken. Geef een expliciet functievoorschrift vn de oplossingen. () x 4 y = 3y 2 (b) y = x y (c) xy = 3y (d) (e x + e x )y + y 2 = 0 (e) y tn x = y (f) y xy = (1 + x 2 y ) (g) x dx + y dy = 0 4 Los volgende differentilvergelijkingen op door scheiding vn de vernderlijken. () tn x sin 2 y dx + cos 2 x cot y dy = 0 (b) xy y = y 3 (c) xyy = 1 x 2 (d) 3e x tn y dx + (1 e x ) sec 2 y dy = 0 (e) y = y 2 x 3 (f) y = 5y (g) y = y x 2 5 Los volgende differentilvergelijkingen op door scheiding vn de vernderlijken. Bepl ook de prticuliere oplossingen die voldoen n de gegeven beginvoorwrde. () (1 + e x )yy = e x met y = 1 ls x = 0 (b) e x dx y dy = 0 met y = 1 ls x = 0 (c) (xy 2 + x) dx + (x 2 y y) dy = 0 met y = 1 ls x = 0 (d) sin x dx + y dy = 0 met y = 2 ls x = 0 (e) y sin x = y ln y met y = 1 ls x = π 2 (f) (x 2 + 1) dx + 1 y dy = 0 met y = 1 ls x = 1 6 Bepl de kromme wrvn elk punt het midden is vn het lijnstuk dt door de ssen wordt fgesneden op de norml in dt punt. 7 Zoek een fmilie krommen die de gegeven fmilie loodrecht snijdt. () x 2 + y 2 = C 2 (b) y = Cx 2 (c) y = Ce x 8 Een lichm met onbekende tempertuur wordt in een kmer gepltst met constnte tempertuur 0 C. N 10 minuten

2 Oefeningen 35 is de tempertuur vn het lichm 30 C en n 20 minuten 15 C. Bepl de onbekende begintempertuur. 9 Volgens het model vn Verhulst evolueert een popultie P in functie vn de tijd t volgens dp dt = kp (M P ) wrbij k en M prmeters zijn. () Bereken P (t). (b) Bereken lim t P (t). (c) Wt is de betekenis vn de prmeter M? (d) In 1995 wren er voor het eerst 5 miljrd mensen op onze plneet. Ecologen nemen n dt voor de wereldbevolking geldt dt k = (ls t wordt uitgedrukt in jren) en M = Scht het ntl mensen op Arde in het jr 2050 en in het jr wrbij k een evenredigheidsconstnte voorstelt. Bewijs dit. (b) Stel t is de hlfwrdetijd, i.e. de tijd nodig opdt de hoeveelheid rdioctief isotoop hlveert. Bewijs dt k = ln 2 t. (c) In de jren 70 ontstond heel wt commotie over de lijkwde vn Turijn, de vermeende lijkwde vn Jezus Christus. De ouderdom werd toen geverifieerd door de hoeveelheid rdioctief koolstof C te meten: deze bedroeg 93 % vn de oorspronkelijke hoeveelheid. Hoe oud is de lijkwde? Interpreteer het resultt. De hlfwrdetijd vn 14 C is jr. 12 De snelheid vn desintegrtie vn rdioctief rdium is recht evenredig met de nwezige hoeveelheid. N jr blijft nog de helft vn de oorspronkelijke hoeveelheid over. Bereken het percentge gedesintegreerd rdium 100 jr lter. 10 De bevolking vn een std groeit evenredig met het ntl inwoners. Als n twee jr de bevolking verdubbelt en n drie jr de mensen in de std wonen, hoeveel inwoners wren er dn oorspronkelijk? 11 Een rdioctief isotoop desintegreert tegen een tempo evenredig met de nwezige hoeveelheid. () Als N 0 de strthoeveelheid rdioctief isotoop voorstelt, dn wordt de hoeveelheid op tijdstip t gegeven door N(t) = N 0 e kt 13 De snelheid (in meter per seconde) wrmee wter uit een gtje stroomt dt zich h meter onder het wteroppervlk bevindt, is v = c 2gh met c 0.6 en g Hoelng duurt het om een volledig met wter gevulde fontein in de vorm vn een hlve bol met strl 2 m te lten leeglopen door een cirkelvormig gt met strl 0.1 m ondern de fontein? 14 Lt y = f(x) de functie zijn, wrvn de grfiek overeenkomt met de ronding

3 Oefeningen 36 vn een opgehngen ketting. Veronderstel dt f voldoende differentieerbr is. In een willekeurig punt p 1 (x, y) vn de kromme, is de spnningsvector F rkend n de grfiek. Deze spnningsvector mkt een vribele hoek α met de georiënteerde x s. Stel g de grvittieconstnte, ρ de mss lengteverhouding vn de ketting en p(x) = f (x). () Motiveer wrom de horizontle component F cos α constnt is. (b) Bewijs dt de verticle component in p 1 (x, y) wordt gegeven door g ρ x (f (t)) 2 dt (c) Stel = F cos α. Mk gebruik vn g ρ de betrekking p(x) = tg α om te tonen dt x : p(x) = 1 x 1 + (p(t)) 2 dt (d) Bewijs dt x : 0 dp dx (x) = (p(x)) 2 (e) Bewijs dt x : ( x ) p(x) = sh (f) Bewijs dt x : ( x ) f(x) = ch () y = y x 1 (b) y = x + y x (c) (x y)y dx x 2 dy = 0 (d) y dx + (2 xy x) dy = 0 (e) x dy y dx = x 2 + y 2 dx (f) y = 4x2 + 3xy + y 2 4y 2 + 3xy + x 2 17 () Bepl de fmilie vn krommen die voldoen n de vergelijking (x 2 + y 2 ) dx 2xy dy = 0 (b) Welke vn deze krommen gn door de punten P (4, 0) en Q(1, 1)? 18 Zoek een fmilie krommen die de fmilie loodrecht snijdt. x 2 + y 2 = Cx 19 Vier luizen bevinden zich in de hoekpunten vn een vierknt gebied. Op een gegeven ogenblik beginnen ze smen te lopen (lleml even snel) nr de luis die zich n hun rechterknt bevindt, en ze blijven steeds in de richting vn die luis lopen. Welke kromme beschrijven ze? 15 Bepl de kromme wrvn elk punt even ver vn de oorsprong gelegen is ls vn het snijpunt vn de rklijn in dt punt met de x-s. 16 Los volgende differentilvergelijkingen met homogene coëfficiënten op. 20 Los volgende differentilvergelijkingen met lineire coëfficiënten op. () (2x y + 4) dy + (x 2y + 5) dx = 0 (b) y 1 3x 3y = 1 + x + y (c) y = x + 2y + 1 2x + 4y + 3

4 Oefeningen Bepl de kromme die door P (1, 0) gt en wrvn de rklijn in elk punt de y- s snijdt in een punt dt even ver vn de oorsprong gelegen is ls het rkpunt. () (x + y 2 ) dx 2xy dy = 0 (b) ( y x ) dx + (y3 ln x) dy = 0 (c) (x cos y y sin y)y +(x sin y+y cos y) = 0 22 Los volgende excte differentilvergelijkingen op. () (x 2 + y 2 + 2x) dx + 2xy dy = 0 (b) (x 3 3xy 2 +2) dx (3x 2 y y 2 ) dy = 0 (c) 2x y 2 dx + y2 3x 2 y 4 dy = 0 26 Los volgende lineire differentilvergelijkingen vn eerste orde op. () y y x = x (b) y + 2y x = x3 (c) y 2 dx (2xy + 3) dy = 0 23 Bepl de prticuliere oplossing vn de differentilvergelijking ( (x + e x y ) dx + e x y 1 x ) dy = 0 y die voldoet n y(0) = Ter gelegenheid vn het 100-jrig bestn vn de school, wordt een stijlvol fotoboek gedrukt. Een enquête leert dt ls het boek 20 euro zou kosten, er 30 leerlingen het boek zullen kopen. Verder blijkt ook dt de elsticiteit E = p dp vn de q dq vrg gelijk is n 1 + p 2q, wrbij p de prijs voorstelt en q het ntl verkochte boek. Omdt het boek erg duur is om te drukken, beslist de directeur om het te verkopen tegen 50 euro. Hoeveel leerlingen zullen het boek kopen? 25 Los volgende differentilvergelijkingen op door gebruik te mken vn een integrerende fctor die enkel fhngt vn x of enkel fhngt vn y. 27 Los volgende lineire differentilvergelijkingen vn eerste orde op. Bepl de prticuliere oplossingen die voldoen n de gegeven beginvoorwrde. () xy + y e x = 0 met y = b ls x = (b) y y 1 x 2 1 x = 0 met y = 0 ls x = 0 (c) y y tn x = sec x met y = 0 ls x = 0 28 Bepl de krommen wrvoor de driehoek gevormd door de x-s, een rklijn en de loodlijn uit het rkpunt op de x-s een constnte oppervlkte heeft. 29 Een tnk vn 50 liter bevt in het begin 10 liter zuiver wter. Op een zeker moment komt er vuil wter, dt 100 g znd per liter bevt, in de tnk terecht tegen 4 liter per minuut. Het mengsel wordt ononderbroken gemengd en verlt de tnk tegen 2 liter per minuut. Hoeveel znd zit er in de tnk op het ogenblik dt de tnk overloopt?

5 Oefeningen De stroom I in een circuit met weerstnd R en zelfinductie L ngedreven door een emk U voldoet n di dt + R L I = U L. Bepl de stroom I(t) op een willekeurig tijdstip t bij een wisselspnning U(t) = 3 sin 2t, een weerstnd vn 10Ω (ohm), een zelfinductie vn 0, 5 H (henry) en een beginstroom vn 6 A (mpère). 31 Los volgende differentilvergelijkingen vn Bernoulli op. () y + y x = xy2 (b) 2xyy y 2 + x = 0 ( (c) y dx + x 1 ) 2 x3 y dy = 0 32 Bepl de krommen wrvoor de rklijn in elk punt de x-s snijdt in een punt dt even ver ligt vn het rkpunt ls vn het punt P (0, 1). 33 Bepl een fmilie oplossingen vn volgende differentilvergelijkingen vn Riccti, door gebruik te mken vn een gegeven oplossing y 1. Bepl een oplossing die voldoet n de gegeven beginvoorwrde. () y 2y + y 2 = 1 met y 1 (x) = 1 ; y(1) = 3 constnte coëfficiënten. Bepl indien gevrgd ook de oplossing die voldoet n de gegeven beginvoorwrde. () y + 2y + y = 0 met y(0) = 1, y (0) = 2 (b) y + y + y = 0 met y(0) = 0, y (0) = 3 (c) y (4) = 0 met y(1) = 4, y (1) = 5, y (1) = 7, y (1) = 3 (d) y 3y = 0 met y(2) = 3, y (2) = 1 (e) y (4) + 8y + 16y = 0 (f) y y + y y = 0 35 Bepl lle oplossingen vn volgende differentilvergelijkingen vn Euler. () x 2 y 5xy + y = 0 (b) 2x 2 y + 3xy + y = 0 (c) x 3 y 2x 2 y + 3xy = 0 36 Bepl de volledige oplossing vn volgende lineire differentilvergelijkingen vn orde twee, door gebruik te mken vn een gegeven oplossing y 1 vn de gereduceerde vergelijking. () xy (2x + 1)y + (x + 1)y = 0 met y 1 (x) = e x (b) x 2 y xy + y = x met y 1 (x) = x (b) y + y x + y2 = 1 x 2 met y 1 (x) = 1 x ; y(1) = 2 34 Bepl lle oplossingen vn volgende homogene lineire differentilvergelijkingen met 37 Bepl voor volgende differentilvergelijkingen de volledige oplossing vn de gereduceerde vergelijking en bepl een prticuliere oplossing met behulp vn de methode vn de vritie vn de prmeters.

6 Oefeningen 39 Bepl indien gevrgd ook een oplossing die voldoet n de gegeven beginvoorwrden. () y y = e 2x met y(0) = 1 3, y (0) = 4 3 (b) y + 4y = cos 2x sin 2x met y(π) = 2, y (π) = 1 6 (c) y 4y + 4y = e2x x (d) y + y = sec x (e) x 2 y 3xy + 4y = x 2 (f) x 2 y + 5xy + 4y = ln x (g) y y = e 2x + cos x (h) y 9y = xe 3x 38 Bepl een prticuliere oplossing vn de differentilvergelijkingen uit oefening 37 met behulp vn de methode vn de onbeplde coëfficiënten, voor zover deze vn toepssing is. (l) y = ( 1 + y 1 ) 2 2x (m) xy 3 dx = (x 2 y + 2) dy (n) y = 3x 2 x 3 + y + 1 (o) y = y x + tn y x (p) yy + y 2 = cos x (q) x dy + y dx = y 2 dx (r) y = 1 x + sin y (s) e y dx + (xe y 2y) dy = 0 (t) y = y (1 + ln y ln x) x (u) (2e x + y 4 ) dy ye x dx = 0 (v) xy(xy 2 + 1)y = 1 (w) (xy + 2y) = xyy (x) x dy y dx = y 2 dx (y) y tn x y = 39 Los volgende differentilvergelijkingen op. ( ) x 2 () x dx = y y3 dy (b) (2xy 2 y) dx + x dy = 0 (c) xy + y = xy 2 ln x (d) y = xy + y ln(y ) (e) x 2 (y + 1) dx + (x 3 1)(y 1) dy = 0 (f) y y 2x 1 x 2 = 1 (g) ye y = (y 3 + 2xe y )y (h) y + y cos x = sin x cos x (i) (1 x 2 )y + xy = (j) xy y x + 1 x = 0 (k) y (x cos y + sin 2y) = 1