3. BEPAALDE INTEGRAAL

Transcriptie

1 3. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te eplen. We ouwen onze redenering op vi ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen om uiteindelijk tot het egrip eplde integrl te komen. 3.. Begrensde deelverzmelingen in IR Om tot het egrip eplde integrl te komen, is het nodig dt we enkele egrippen omtrent egrensde deelverzmelingen vn IR introduceren. Wegens de totle orde in IR (gedefinieerd voor in het 5 de jr), heeft een verzmeling hoogstens één kleinste respectievelijk grootste element: x,y IR : x y of y x 3... Vooreelden. D,,,,,...,, n We noemen deze deelverzmeling vn IR egrensd omdt er getllen estn die kleiner, respectievelijk groter zijn dn lle elementen vn D. Zo is - een ondergrens vn D, wnt x D: x. Het getl 3 is een ovengrens vn D, wnt x D : x 3. Er estt een essentieel verschil tussen een egrensde en een eindige verzmeling. Zo is D een egrensde deelverzmeling vn IR, mr geen eindige verzmeling. D ezit een kleinste ovengrens, nl. het getl. We noemen deze kleinste ovengrens het supremum vn D, nottie: sup D =. D ezit eveneens een grootste ondergrens nl. het getl. We noemen deze grootste ondergrens het infimum vn D, nottie inf D =. In dit vooreeld is het supremum ook het grootste element of het mximum vn D, nottie mx D. Dit etekent dt in dit vooreeld geldt dt: sup D = mx D =. Merk op dt indien een verzmeling een mximum ezit, dit mximum ook steeds het supremum is.. IN,,,3,...,n,... is eveneens een deelverzmeling vn IR, mr is niet egrensd, wnt er zijn geen ovengrenzen. IN is echter wel nr onder egrensd. Alle negtieve

2 reële getllen zijn ondergrenzen vn IN. De grootste ondergrens is en ehoort tot IN, vndr: inf IN = min IN = 3. De verzmeling vn de gehele getllen is een onegrensde deelverzmeling vn IR, wnt ze evt geen ondergrenzen, noch ovengrenzen in IR. 4. Het intervl [,3[ is een egrensde deelverzmeling vn IR, wnt het ezit zowel ovenls ondergrenzen. De kleinste wrde vn dit intervl is hier eveneens de grootste ondergrens of het infimum. Dit intervl ezit geen grootste wrde, mr wel een kleinste ovengrens, nl. 3 is het supremum vn deze deelverzmeling vn IR Definities D IR en,,m,m IR m is het minimum vn D m is het kleinste element vn D Nottie : m = min D M is het mximum vn D M is het grootste element vn D Nottie : M = mx D is een ondergrens vn D is een ovengrens vn D elk element vn D is groter dn of gelijk n elk element vn D is kleiner dn of gelijk n is het infimum vn D is de grootste ondergrens vn D Nottie : = inf D is het supremum vn D is de kleinste ovengrens vn D Nottie : = sup D Opmerkingen. Niet elke deelverzmeling vn IR heeft een minimum, mximum, infimum of supremum (zie ovenstnde vooreelden).

3 . Synoniemen voor ondergrens en ovengrens zijn respectievelijk minornt en mjornt. 3. De verzmeling vn de ondergrenzen vn D noemen we de minorntie vn D, nottie: mnt D. De verzmeling vn de ovengrenzen vn D noemen we de mjorntie vn D, nottie: mjt D. 4. Elk getl kleiner dn een ondergrens is ook een ondergrens en elk getl groter dn een ovengrens is ook een ovengrens. 5. Als een ondergrens (ovengrens) vn D tot D ehoort is het noodzkelijk ook het infimum (supremum) en het minimum (mximum) vn D. 6. Een verzmeling die ovengrenzen evt noemen we nr oven egrensd. Een verzmeling die ondergrenzen ezit noemen we nr onder egrensd. Een egrensde verzmeling is zowel nr onder ls nr oven egrensd Eigenschppen Eigenschp : Een niet-lege nr oven egrensde deelverzmeling vn IR ezit een supremum. Een nietlege nr onder egrensde deelverzmeling vn IR ezit een infimum. Bewijs: niet kennen! Deze eigenschp lijkt misschien wel vnzelfsprekend, mr voor de verzmeling vn de rtionle getllen geldt dit niet. Neem ijvooreeld: D x x Criterium voor supremum: D is een niet-lege deelverzmeling vn IR en s = sup D IR. x D : x s. IR, x D : s x s

4 In woorden: Als een verzmeling D een supremum s ezit, ligt in elke linkeromgeving vn s minstens element vn die verzmeling en omgekeerd ls elke omgeving vn een ovengrens s minstens element vn D evt, dn is s = sup D. Bewijs: zie schrift Criterium voor infimum: D is een niet-lege deelverzmeling vn IR en i = inf D IR. x D : i x. IR, x D : i x i Bewijs: UOVT! Gevolg criterium voor supremum: Een stijgende, nr oven egrensde rij supremum vn de verzmeling t,t,t,...,t,... 3 n t t,t,t,...,t,... 3 n, heeft ls limiet het Bewijs: Eerst enkele egrippen: Een rij is een functie t : IN IR : n t. Er zijn dus oneindig veel eelden en die heen n een volgnummer,, 3,, n, Die eelden vormen een verzmeling Een rij t is stijgend ls geldt : n p t t, d.w.z. een eeld dt verder komt in de rij is groter dn of gelijk een eeld dt eerder komt in de rij De limiet vn een rij : s is de limiet vn een rij t ls geldt : IR, p IN : n p t s, n n p t,t,t,...,t,... 3 n

5 d.w.z. vnf een epld volgnummer p, is het verschil tussen het eeld en de vooropgestelde limiet zeer klein. Stel nu dt s het supremum is vn de verzmeling t,t,t,...,t,... 3 n, dn volgt uit het criterium voor supremum: IR, p IN : s t s. p De rij is stijgend dus geldt : n p t t. n p Gecomineerd wordt dit : IR, p IN : n p s t t s. p n Deze ltste ongelijkheid is logisch wnt s is supremum vn t en dus groter dn of gelijk n elk element vn de rij. We verminderen elk lid vn de ongelijkheid met s: IR, p IN : n p t s. n Met solute wrden noteren we deze ongelijkheid ls: IR, p IN : n p t s. n Deze ltste uitdrukking etekent per definitie : gelijk n het supremum vn de verzmeling. lim t n n s, en dus is de limiet vn de rij Gevolg criterium voor infimum: Een dlende, nr onder egrensde rij vn de verzmeling t,t,t,...,t,... 3 n t t,t,t,...,t,... 3 n, heeft ls limiet het infimum Bewijs: UOVT!

6 3.. Ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen 3... Definitie, meetkundige etekenis 3... Inleidend vooreeld We willen de oppervlkte eplen vn een willekeurig vlkdeel. Beschouwen we hiervoor de 3 veeltermfunctie f x x x x 5. De oppervlkte vn het vlkdeel epld door 5 deze functie en de X-s op het intervl [,4] kunnen we niet eplen door middel vn onze gekende oppervlkteformules. We gn dus op zoek nr een lgemene mnier om dergelijke willekeurige oppervlkte te kunnen erekenen. Vermits we de oppervlkte vn een rechthoek wel mkkelijk kunnen eplen gn we de oppervlkte vn het gezochte vlkdeel proeren te enderen met ehulp vn rechthoeken. We verdelen het intervl [,4] in 4 gelijke delen. Hiertoe voegen we n het intervl [,4] drie deelpunten toe, nl. x =, en 3. We noemen dit de verdeling of prtitie V,,,3, 4 vn het intervl [,4]. In elk deelintervl construeren we een rechthoek met sis (de lengte vn het deelintervl) en hoogte (de kleinste functiewrde die ereikt wordt door f op dit deelintervl). Indien we de oppervlkte vn deze 4 rechthoeken optellen, ekomen we een (te kleine) endering voor de

7 oppervlkte vn het gewenste vlkdeel, we noemen dit de ondersom V prtitie. s horend ij de 4 s mi xi m x m x m3 x3 m4 x 4 met mi min f x i, xi i en xi xi xi s f f f 3 f 3 8, We kunnen voor dezelfde prtitie of verdeling V de ijhorende ovensom eplen. Hiervoor construeren we op de 4 deelintervllen vn het intervl [,4] vier rechthoeken met sis (de lengte vn het deelintervl) en hoogte (de grootste functiewrde die ereikt wordt door f op dit deelintervl). Indien we de oppervlkte vn deze 4 rechthoeken optellen ekomen we een (te grote) endering voor de oppervlkte vn het gewenste vlkdeel.

8 Bovensom (horend ij de prtitie ) M x M x M x M x met S V Mi mx f x i, xi en xi xi xi. 3 S f,7 f f f 4 5,3 4, We merken op dt kleiner is dn S. s Indien we deelpunten n de prtitie V toevoegen, ekomen we een nieuwe verdeling of prtitie. We noemen een verfijning vn en verfijnen tot V door het intervl V V V V [,4] te verdelen in 8 deelintervllen. We erekenen opnieuw de ijhorende ondersom en ovensom. f ereikt een mximum op het deelintervl [,] in x=,7. De functiewrde vn f(,7)=5,3.

9 Door het optellen vn de gevonden rechthoeken vinden we = 9,47 en S =,57. We s merken op dt kleiner is dn S en dt door het verfijnen vn onze verdeling de wrde s vn de ondersom is gestegen en de wrde vn onze ovensom is gedld. Zowel de ondersom ls de ovensom zijn een etere endering geworden voor de gezochte oppervlkte. In wt volgt zullen we lgemeen ewijzen dt ij een verfijning vn de verdeling ondersommen stijgen en ovensommen dlen. Het is intuïtief duidelijk dt indien we onze verdeling verder verfijnen de wrde vn de corresponderende ondersommen, respectievelijke ovensommen steeds een etere endering vormen voor de gezochte oppervlkte. We verwchten dezelfde limiet ij een oneindige verfijning vn onze prtitie voor de corresponderende ondersommen, respectievelijk ovensommen. We zullen in wt volgt ewijzen dt de verzmeling vn de ondersommen een kleinste ovengrens (supremum) en de verzmeling ovensommen een grootste ondergrens (infimum) ezit. Deze zijn ij continue feeldingen op een gesloten intervl gelijk en eplen de wrde vn de gezochte oppervlkte. Onderstnde feeldingen illustreren dit. Indien we in ons vooreeld onze verdeling verfijnen door het intervl [,4] te verdelen in 4 deelintervllen ekomen we voor de corresponderende ondersom =,6 en voor de corresponderende ovensom S =,5. s3 3

10 Bij een verdere verfijning vn het intervl [,4] in deelintervllen, ekomen we voor de corresponderende ondersom =,8 en voor de corresponderende ovensom S =,6. s4 4 We kunnen ij een weleplde verdeling ook in elk deelintervl x i, xi een willekeurige x-wrde i kiezen om de hoogte vn onze rechthoeken te eplen (dus niet de x-wrde met de kleinste functiewrde (ondersom) of de x-wrde met de grootste functiewrde (ovensom)). De optelling of sommtie vn deze gevonden rechthoeken noemen we een Riemnnsom vn f ij de gegeven verdeling, nottie:. Een Riemnnsom kn dus zowel een onderschtting ls een overschtting vn de gezochte oppervlkte zijn. Merk op dt een (willekeurige) Riemnnsom vn f ij een weleplde verdeling steeds groter of gelijk n de corresponderende ondersom vn f en kleiner of gelijk n de corresponderende ovensom vn f is (ij dezelfde verdeling). n i f i x i

11 n s f x S n i i n i Bij een oneperkte verfijning vn de prtitie zullen de wrden vn de corresponderende ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen convergeren. De wrde vn deze limiet zullen we de eplde integrl vn f over het intervl [,] noemen. f x dx lim s lim f x lim S n n i i n n n n i Merk tevens op dt de ondersom (ovensom) horend ij een weleplde prtitie vn de mogelijke Riemnnsommen is die horen ij deze prtitie Definities V x, x, x,..., x, x,..., x, x is een verdeling of prtitie vn [,] n IN i i n n s x en x en x x x... x x... x n i i n De verdeling vn [,] is een verfijning vn de verdeling V vn [,] V s lle deelpunten vn V zijn ook deelpunten vn V Nottie: V V n s m x i i i is de ondersom vn f ij de verdeling V s m min f x, x en x x x i i i i i i n S M x i i i is de ovensom vn f ij de verdeling V s

12 M mx f x, x en x x x i i i i i i n i f i x i is de Riemnnsom vn f ij de verdeling V s is willekeurig punt vn x, x en x x x i i i i i i Meetkundige etekenis Een ondersom is een reëel getl dt een mtgetl is voor de georiënteerde (vn een teken voorziene) trpoppervlkte, die we op de in de definitie fgesproken mnier, onder de grfiek vn f construeren. Het is een endering voor de oppervlkte vn het vlkdeel egrensd door: y y f x x x Een ovensom is een reëel getl dt een mtgetl is voor de georiënteerde (vn een teken voorziene) trpoppervlkte, die we op de in de definitie fgesproken mnier, oven de grfiek vn f construeren 3. Het is een endering voor de oppervlkte vn het vlkdeel egrensd door: y y f x x x Boven de grfiek vn f construeren indien f onder de X-s ligt. 3 Onder de grfiek vn f construeren indien f onder de X-s ligt.

13 Opmerkingen:. Ondersommen en ovensommen zijn specile gevllen vn Riemnnsommen. Merk op dt de wrde vn een ondersom, respectievelijk een ovensom zowel positief, negtief ls nul kn zijn Eigenschppen, opmerkingen Eigen not s: zie schrift! 3.3. Beplde integrl in CIR, Definitie, meetkundige etekenis, opmerkingen Dnkzij de voorgnde eigenschppen komen we tot de definitie vn de eplde integrl vn een functie f over een intervl [,]. Uit Eigenschp : Een niet-lege nr oven egrensde deelverzmeling vn IR ezit een supremum. Een nietlege nr onder egrensde deelverzmeling vn IR ezit een infimum. en Eigenschp : De verzmeling vn de ondersommen is egrensd. (D.w.z. zowel nr onder ls nr oven) volgt dt de verzmeling vn de ondersommen vn f over [,] een supremum ezit. We weten dt de verzmeling vn de ondersommen vn f die horen ij een verdeling vn het intervl [,] niet lleen een nr oven egrensde rij vormen, mr dt deze rij eveneens stijgend is. Dit ltste volgt immers uit eigenschp 3. Eigenschp 3: Bij verfijning vn een verdeling stijgt de ondersom.

14 Indien we de limiet vn deze stijgende, nr oven egrensde rij nemen (ij oneindige verfijning) ekomen we niet lleen onze gezochte oppervlkte, mr vinden we eveneens dt deze limiet gelijk is n het supremum vn de verzmeling vn de ondersommen vn f die horen ij een verdeling vn het intervl [,]. Dit volgt immers uit het gevolg vn het criterium voor supremum. Gevolg criterium voor supremum: Een stijgende, nr oven egrensde rij supremum vn de verzmeling t,t,t,...,t,... 3 n t t,t,t,...,t,... 3 n, heeft ls limiet het Op nloge mnier kunnen we ntonen dt deze limiet ook gelijk is n het infimum vn de verzmeling vn de ovensommen vn f die horen ij een verdeling vn het intervl [,]. (UOVT) Per definitie noemen we deze limiet, dus het supremum vn de verzmeling vn de ondersommen vn f die horen ij een verdeling vn het intervl [,] (of het infimum vn de verzmeling vn de ovensommen vn f die horen ij een verdeling vn het intervl [,]), de eplde integrl vn f over het intervl [,]., f C IR ;, IR f x dx sup s s is de ondersom vn f ij een verdeling vn, IR inf S S is de ovensom vn f ij een verdeling vn, IR met het integrlteken [,] het integrtie-intervl en de integrtiegrenzen ( = ondergrens, = ovengrens) fx de integrnd x de integrtievernderlijke of integrtievriele

15 Meetkundige etekenis: De oppervlkte vn het vlkdeel egrensd door : y y f x x x Opmerkingen:. Functies die positief zijn over [,] ( < ) heen positieve ondersommen (ovensommen) en dus is ook het supremum (infimum) vn de verzmeling ondersommen (ovensommen) positief. x [,] : f x f x dx. Functies die negtief zijn over [,] ( < ) heen negtieve ondersommen (ovensommen) en dus is ook het supremum (infimum) vn de verzmeling ondersommen (ovensommen) negtief. x [,] : f x f x dx 3. We heen steeds < gesteld. Indien > kunnen we opnieuw ij een verdeling V x, x, x,..., x, x,..., x, x i i n n ondersommen definiëren, mr dn is x x x. We vinden tegengestelde wrden voor de verzmeling vn de i i i ondersommen. Vndr dt: f x dx f x dx en f x dx

16 4. Het getl f x dx hngt volgens de definitie uitsluitend f vn de functie f en de integrtiegrenzen. De nm vn de vernderlijke speelt hierij geen rol. We noemen dit een loze vriele of stomme letter. Net zols ij limieten. f x dx f u du f d Eigenschppen Optelrheid vn de eplde integrl f is een continue feelding op het intervl I en,, c I c f x dx f x dx f x dx c Bewijs: geen strikt ewijs, grfisch kunnen verklren! Gevl : Gevl : Gevl 3: Gevl 4: Gevl 5: Gevl 6: < c < (zie schrift) < < c (zie schrift) < < c < c < c < < c < <

17 Middelwrdestelling vn de integrlrekening (stelling vn het uldozerke) f :, IR continue feelding over, c, : f x dx f c Bewijs: zie schrift Opmerking: Deze stelling is een existentiestelling, d.w.z. dt ze het estn vn (minstens ) zo n getl c wrorgt op het intervl [,], mr ze vertelt ons niet hoe we deze c kunnen eplen. Deze stelling stelt ons dus niet in stt om f x dx te erekenen, wnt c en fc zijn niet gekend. Hoofdstelling vn de integrlrekening (= Theoretisch vernd eplde integrl en oneplde integrl) f :, IR is een continue feelding op, x F :, IR : x F x f t dt is een stmfunctie vn f Bewijs: zie schrift Grondformule vn de eplde integrl (= Prktisch vernd eplde integrl en oneplde integrl) f :, IR is een continue feelding op, F :, IR is een stmfunctie vn f f x dx F F Bewijs: zie schrift

18 Opmerkingen:. Notties: f x dx F x F x F F. De keuze vn de stmfunctie om de eplde integrl te erekenen speelt geen rol. f x dx F x c F c F c F c F c F F Lineriteit vn de eplde integrl, f,g C IR ; r,s IR r f x s g x dx r f x dx s g x dx Bewijs: Stel F en G zijn stmfuncties vn respectievelijk f en g, dn is r F s G een stmfunctie vn r f s g, wnt ' ' ' r F s G r F s G r f s g. Uit de grondformule vn eplde integrl volgt dt: r f x s gx dx r F x s G x r F s G r F s G r F s G r F s G r F F s G G r f x dx s g x dx

19 De eplde integrl en de orde: f,g CIR, x, : f x g x en f x dx g x dx Bewijs: g x g x f x f x met g x f x Uit de lineriteit vn de eplde integrl volgt: g x dx g x f x dx f x dx g x dx f x dx g x f x dx g x dx f x dx 3.4. Oppervlkte vn willekeurige vlkdelen Algemene formules Oppervlkte vn een vlkdeel egrensd door een functie en de X-s over een epld intervl Zie schrift! Oppervlkte vn een vlkdeel egrensd door functies Zie schrift!

20 3.4.. Oppervlkte vn elementire vlkke figuren Trpezium, prllellogrm, rechthoek, vierknt en driehoek In dit prgrf zullen we ntonen dt we onze reeds lng gekende oppervlkteformules voor trpezium, prllellogrm, met ehulp vn eplde integrlen terug vinden Trpezium We kiezen de coördintgetllen vn de hoekpunten vn onze trpezium zo dt onze erekeningen het eenvoudigst zullen zijn. De rechte AB is de grfiek vn g x B x. h f x x h en de rechte OC is de grfiek vn De oppervlkte vn de trpezium OABC wordt dn: h B h h h B B B x x dx x dx x x h h h h h h B h

21 De oppervlkte vn een prllellogrm, rechthoek, vierknt en driehoek zijn specile gevllen vn het trpezium. Kies steeds de meest efficiënte coördintgetllen voor de hoekpunten! Prllellogrm Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: = B Oprllellogrm B h Rechthoek Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: = = B Orechthoek B h Vierknt Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: h = = B Ovierknt B Driehoek Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: = O driehoek B h

22 Cirkelschijf en cirkeldelen Cirkelschijf De cirkel is de unie vn de grfieken vn de functies vn en. Wegens de symmetrieën ten opzichte vn de X- en Y-s kunnen we de oppervlkte vn de cirkelschijf erekenen door: Cirkelsegment We mken geruik vn de symmetrie ten opzichte vn de X-s en erekenen de oppervlkte vn het cirkelsegment met ehulp vn eplde integrlen ls volgt:

23 r u Ocirkelsegment r x dx u r u r Bgcos r x r x x r Bgc os x r x r Bgcos r cos cos cos Bgcos r r r CAS S x x x x r x r x x x cos cos sin cos r r r r x r x r x sin r r sin I of II r s r x x r sin sin cos sin x r x r r duele hoek formule Oppervlkte cirkelsegment = r sin r = r sin Cirkelstrook Cirkelsector

24 3.5. Oneigenlijke integrlen Tot hiertoe heen we eplde integrlen steeds geruikt voor het eplen vn egrensde vlkdelen. We heen steeds gesteld dt de integrtiegrenzen ( en ) reële getllen zijn en dt de integrnd f een egrensde functie is op [,]. We reiden het egrip eplde integrl uit voor de gevllen wrin f niet egrensd is in een eindig ntl punten vn [,] of wrin het integrtie-intervl [,] niet egrensd is. Dit noemen we oneigenlijke eplde integrlen. Zo kunnen we ook de oppervlkte vn onegrensde vlkdelen erekenen. Deze oppervlkte zl vreemd genoeg niet steeds zijn. We illustreren hoe we te werk gn n de hnd vn onderstnde vooreelden Convergerende oneigenlijke eplde integrl Vooreeld : dx x De integrnd estt niet in (de ondergrens). We zien duidelijk in de grfiek dt het te zoeken vlkdeel onegrensd is. Deze eplde integrl estt echter wel op ],]. dx Voor elke t ],] is de integrl zinvol. x t

25 Onze te zoeken eplde integrl kunnen we dus schrijven ls: dx x dx lim lim x lim t x t t t t t Deze functie ezit een limiet in : lim t. t Merk op dt vreemd genoeg dit onegrensd vlkdeel een eindige oppervlkte ezit, nl.. We noemen deze oneigenlijke integrl convergerend (nr ). Vooreeld : dx x De integrnd estt niet in (de ovengrens). We zien duidelijk in de grfiek dt het te zoeken vlkdeel onegrensd is. Deze eplde integrl estt echter wel op [,t] met t een willekeurig (groot) reëel getl. Onze te zoeken eplde integrl kunnen we dus schrijven ls: t x t x t t t dx dx lim lim lim x t

26 Ook dit onegrensd vlkdeel ezit een eindige oppervlkte, nl., wnt deze oneigenlijke integrl is eveneens convergerend (nr ) Divergerende oneigenlijke eplde integrlen Vooreeld :

27 Vooreeld :

28 3.6. Toepssing op eplde integrl: ERB en EVRB Inleiding We eschouwen xt ls de functie die de positie weergeeft in functie vn de tijd. De gemiddelde snelheid is de verpltsing per tijdseenheid: x v t Wnneer we het heen over de ogenlikkelijke snelheid, nemen we het tijdsintervl infinitesiml of petieterig klein: t t De ogenlikkelijke snelheid is dus: x x x v lim lim t t tt t t Hierin herkennen we de definitie vn de fgeleide in een (niet-geïsoleerd) punt vn het domein: f () is de fgeleide vn f in s f( h) f() f(x) f() f '() lim lim IR h h x x en kunnen we de ogenlikkelijke snelheid dus noteren ls de fgeleide vn xt nr de tijd. d x (t) of korter ls dx dt dt ' v x (t) D x (t) Op een nloge mnier kunnen we de ogenlikkelijke versnelling eschouwen ls de fgeleide vn de snelheidsfunctie nr de tijd. Immers ls we in de formule vn de v gemiddelde versnelling het tijdsintervl opnieuw infinitesiml klein nemen, t verkrijgen we de ogenlikkelijke versnelling ls:

29 lim v (t) x (t) t t dt dt v ' dv '' d x Eenprig rechtlijnige eweging (ERB) Bij een ERB lijft de snelheid v constnt, dus gelijk n de eginsnelheid v o. dx v v cte dt v dt dx Wnneer we de formule opstellen die de positie weergeeft, die fgelegd wordt tussen het egintijdstip t en (het vriel tijdstip) t vinden we: t t t t x t x dx v dt v t v t t t t Met t een lopende vriele ( een tijdstip t ). De eindpositie die ereikt wordt n het fleggen vn een fstnd tussen tijdstip t en t wordt dn weergegeven door: x t x v (t t ) met x = de eginpositie op tijdstip t Eenprig versnelde rechtlijnige eweging (EVRB) Bij een eenprig versnelde rechtlijnige eweging lijft de versnelling constnt, de snelheid zl hier dus niet constnt lijven, mr evenredig vernderen. cte dv dt dt dv Wnneer we de formule opstellen die de snelheidsfunctie weergeeft, die fgelegd wordt tussen tijdstip t en t vinden we: t t v t v dv dt t t t t

30 v t v t t Wnneer we de formule opstellen die de fgelegde weg weergeeft, die fgelegd wordt tussen tijdstip t en t vinden we: t t t t t x t x dx v dt t t v dt v dt t t dt t t t t t v t t t t De eindpositie die ereikt wordt n het fleggen vn een fstnd tussen tijdstip t en t wordt weergegeven door: x t x v (t t ) t t met x = de eginpositie op tijdstip t Opmerking: De ERB is een specil gevl vn de EVRB, wrin de snelheid (v) constnt lijft (gelijk n de eginsnelheid) en de versnelling () dus gelijk is n nul. Nmelijk: x t x v (t t ) t t x v t t

31 3.7. Oefeningen Oefening : Welke vn de volgende verzmelingen zijn nr oven of nr onder egrensd? Geef, indien ze estn, voor elke verzmeling het mximum en/of het minimum, de verzmeling vn se ondergrenzen/ovengrenzen en het supremum en/of het infimum... IR \ 3. x x 4. 5,9 5.,3 6., IR \, 7. ( IR ) 8. n IN n n 9. n IN. n n ( ) n n IN n. n IN. n n 3 n IN Z 3. z 4. 4 del 7 Oefening : Construeer voor de volgende functies over het intervl, een eindige verdeling en epl de ondersom, de ovensom en de Riemnnsom ij die verdeling (n is het ntl deelintervllen).. f(x) x 5 over,3 n 4. f(x) x over, n 6 3. f(x) 4 x over, n 8 4. f(x) 4 x over, n 4 5. f(x) over x,4 n 7 6. f(x) sin x over, n f(x) x x over,6 n

32 Oefening 3: Bepl een wrde vn c die voldoet n de middelwrdestelling vn de eplde integrl voor de volgende functies en intervllen.. f(x) 3x 5, f(x) x,3 f(x) x x, f(x) 3x 4x, 4 f(x) x,7 6. f(x) x x 3, 4 7. f(x) sin x, 8. f(x) sec x, 4 Oefening 4: Bereken de volgende eplde integrlen en geef een grfische interprettie. 4. (4 x) dx. 4 x dx 3. ( x ) dx (x ) dx 6. dx x 3 9. cos x dx.. ( x ) dx. (x 3x) dx 3 dx x x dx 3 (x x ) dx 4 (x 4x ) dx

33 3. (sin x cos x) dx (3x 5) dx cos(3x ) dx x 4 x dx.. dx. 4x (x ) dx x (x ) dx x x 4 dx cos x sin x dx x (x 3) dx 3. 7 (3x 5) dx 4. dx 5 6x 5. dx x x Oefening 5: Bereken de volgende eplde integrlen en geef een grfische interprettie x dx. cos x dx 4. sin x dx 3 3 x 4 dx x dx

34 Oefening 6: Als f :, IR : x x k :, IR : x IR :, IR : x x g:, IR : x x Bereken dn telkens O f f(x ) dx of Of,g f(x) g(x ) dx en geef telkens een grfische interprettie. O f ; O k ; O ; O IR g ; O f,k ; O f, ; O IR g, ; O IR f,g Oefening 7: Bepl de oppervlkte vn het egrensde vlkdeel gelegen tussen de grfieken vn de functies f en g. Bepl eerst de coördinten vn de snijpunten vn de twee grfieken.. f(x) x 6x 5 g(x) f(x) x x 3x g(x) f(x) x g(x) x f(x) 9 x g(x) x f(x) x 4 f(x) x f(x) x 3 g(x) 8 x g(x) x x g(x) x x 8. 3 f(x) x 3x 5x g(x) x 9. f(x) x g(x) x 3. g(x) x 5 f(x) 5 x 7 Oefening 8: Teken de grfiek vn de functie y en de rechten y, x en x 4. x Bereken de oppervlkte vn het vlkdeel egrensd door deze vier krommen. Oefening 9: Bepl de oppervlkte vn het vlkdeel gelegen tussen punt, n deze grfiek. y x 3 en de rklijn in het

35 Oefening : De prool met vergelijking y x verdeelt de cirkel met vergelijking x y 8 in twee stukken. Bereken de verhouding vn de oppervlkte vn het grootste stuk tot de oppervlkte vn het kleinste stuk. Oefening : Bereken de oppervlkte vn het gerceerde vlkdeel. Oefening : Bereken de oppervlkte vn het gerceerde vlkdeel.

36 Oefening 3: Bereken de oppervlkte vn het gerceerde vlkdeel (strl vn de cirkel is 5). Oefening 4: We eschouwen krommen door de oorsprong. voor lle punten K noemen we issectrice vn K en K ls p K de oppervlkten tussen de krommen KK en KK met de evenwijdigen n de ssen gelijk zijn (zie tekening). Neem ls kromme K de prool P y x en ls K de prool P y x ; epl dn de vergelijking vn de prool K y x.

37 Oefening 5: Bereken de oppervlkte vn het vlkdeel egrensd door de prool y p x en de kromme y 3 p x p (met p ) Oefening 6: Bepl de oppervlkte vn het egrensde vlkdeel omvt door de kromme met de volgende vergelijking.. y x (x 3). 3. x y (ellips) x (x y ) (x y ) (strofoïde)

38 Herhlingsoefeningen oppervlkte vn willekeurige vlkdelen Oefening :. ( cos x)dx. 4 x 4 dx x c. x x 4dx d. 4 tn xdx Oefening : Bereken de oppervlkte tussen de krommen: 3 f(x) x 3x g(x) x en de rechte x = - Mk een duidelijke tekening (+ erekeningen om de tekening te mken!) Oefening 3: Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f(x) x 4x 3 g(x) x x Mk een duidelijke tekening (+ erekeningen om de tekening te mken!) Oefening 4: Bereken de oppervlkte tussen de krommen:

39 3 f(x) x x 4 g(x) x 4x Mk een duidelijke tekening (+ erekeningen om de tekening te mken!) Oefening 5: Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f(x) x g(x) x 3 Mk een duidelijke tekening (+ erekeningen om de tekening te mken!) Oefening 6: Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f(x) sin x g(x) cos x op intervl [, 4 ] Mk een duidelijke tekening (+ erekeningen om de tekening te mken!) Oefening 7: Bereken de oppervlkte vn het geied, egrensd door de kromme 3 y x 3x 5, de X- s en de verticle lijnen door het mximum en het minimum vn de gegeven functie. Mk een duidelijke tekening! Oefening 8: Bereken de oppervlkte vn het vlkgeied tussen de grfiek vn rklijn in 3 f : x f(x) x x, de P,f en de X-s. Mk een duidelijke tekening. (Neem X-s: eenheid = 4 cm en Y-s: eenheid = cm)

40 Oefening 9: Bepl de vergelijking vn de rechte L door de oorsprong die het geied tussen y x 6x en de X-s in twee geieden verdeelt met dezelfde oppervlkte. Oefening : Bepl de rechte L, evenwijdig met de X-s, die het geied tussen geieden verdeelt met dezelfde oppervlkte. y x 9 en de X-s in Oefening : Gegeven: P : y x P : y x Bepl de vergelijking vn P 3 : y x zodt de oppervlkte tussen P en P 3 gelijk is n de oppervlkte tussen P 3 en P op het intervl [,]. Oefening : Bepl de oppervlkte vn de driehoek c met (,), (,) en c(4,-) met ehulp vn eplde integrl! Mk een duidelijke tekening. Oefening 3: Bereken m zodt de oppervlkte vn het vlkdeel dt egrensd wordt door de prool P: y x en de rechte A: y m x (m > ) gelijk is n.

41 Mk een duidelijke tekening. Oefening 4: Bereken de oppervlkte vn het vlkdeel egrensd door de volgende 3 krommen: f(x) 5 x y x y x Mk een duidelijke tekening. Oefening 5: Bereken de oppervlkte vn het egrensde vlkdeel door de kromme met vergelijking 4 y x x. Mk een duidelijke tekening.