11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

Transcriptie

1 Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend: Titel Fse in het leerproces (ijvooreeld: instppen of toepssen) Wiskundige denkctiviteit(en); fhnkelijk vn de fse in het leerproces Voorkennis (ijvooreeld: eponentiële functies) Leerjr (ijvooreeld: 3, 5/6 of lle leerjren). Dn volgt de centrle vrg: wt gt het leren om? Drn, op grijze chtergrond, volgt de opdrcht voor de leerlingen. Een enkele keer zijn een of meer fsluitende opmerkingen. Formule ij een lineir vernd mken Logritme etekenis geven 3 Formules vergelijken Betekenis geven n eponentiële functie 5 Vierhoek trnsformeren 6 Breuken interpreteren 7 Prmeters interpreteren 8 Inhoud mimliseren 9 Vlkke-meetkundefiguren clssificeren 0 Gedrg vn een functie ij plus- of min-oneindig onderzoeken Inzicht in integrlen krijgen Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen () 3 Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen () Lineire vernden herkennen 5 Vergelijkingen clssificeren 6 Eponentiële functies eheersen 7 Werken met prmeters () 8 Vernd tussen groeifctor, groeipercentge en verduelingstijd leggen 9 Werken met prmeters () 0 De fgeleide vn y nders ewijzen Een model vlideren Een gegeven model toepssen 3 Reclme eoordelen Werken met prmeters (3) 5 Algerïsche uitsprken controleren 6 Stelling vn Pythgors ewijzen

2 Formule ij een lineir vernd mken; ontwikkelen; lgerïseren; voorkennis: het geruiken vn letters ls gegenerliseerde getllen, nog geen formules ehndeld; leerjr /3 Centrle vrg: hoe mk je een lineire formule ij een tel? Hier zie je een tel met drin ngegeven het edrg dt Rosnne ophlt ij een sponsorloop: is het ntl rondjes dt ze gt lopen en B is het edrg dt ze drmee op zl hlen B Bedenk hoe je ij 3 rondjes en ij 30 rondjes het edrg kn erekenen. Bedenk hoe je in het lgemeen ij n rondjes het edrg kn erekenen. Logritme etekenis geven; onderzoeken; strheren; voorkennis: eponenten; leerjr /5 VWO Centrle vrg: Wt doet de opertie log ( logritme ) met een getl? Geruik je GR om de volgende logritmen uit te rekenen. log(0) = log(00) = log(000) = log(70) = Mk eventueel nog etr vooreelden. He je enig idee wt log doet met een getl? Opmerking Leerlingen gn zelf eperimenteren met de GR en op sis vn de ntwoorden formuleren zij een vermoeden dt getest moet worden met verdere vooreelden. Hiern volgt het formliseren: log() = ls 0 =. 3 Formules vergelijken; ontwikkelen; formules mnipuleren; voorkennis: tweedegrds functies en hun grfieken, hkjes wegwerken; leerjr 3 Centrle vrg: Hoe kun je ngn of verschillende formules dezelfde grfiek heen? Controleer dt de volgende formules ij dezelfde prool horen en zeg welke kenmerken vn de prool je eenvoudig kunt flezen uit de verschillende formules. Geruik hiervoor de GR of Geoger en kies zelf vergelijkre formules om je vermoedens te verifiëren. y ( )( 6) y 8 y ( ) 3 y ( )

3 Opmerking Leerlingen gn zelf op onderzoek uit. Bij klssikle nespreking komen de krkteristieken zols nulpunten, top, symmetrie, y-intercept n od. Betekenis geven n eponentiële functie; consolideren; strheren; voorkennis: groeifctor en eponentiële functie; leerjr 3/ Centrle vrg: Wt is de groeifctor in de volgende vooreelden en hoe ziet de formule voor de ijehorende eponentiële functie eruit? Hieronder zie je vooreelden vn eponentiele functies: c d e f We vouwen een stuk ppier steeds duel en kijken nr het ntl lgen. is het ntl keren vouwen en y het ntl lgen. Een zeker soort cteriën verdrievoudigt ieder uur. Op tijdstip 0 zijn er 0 cteriën. Op een sprrekening krijg je 5% rente per jr; je zet 000 euro op de sprrekening en lt de rente ieder jr ijschrijven. is het ntl jren dt je sprt en y is het totle edrg op je sprrekening. Een A 0 -vel is keer zo groot ls een A -vel. Een A -vel is keer zo groot ls een A -vel. Enzovoort. De oppervlkte vn A 0 -formt is m. In de fgelopen twee eeuwen is de hoeveelheid gedrukt mteril oeken, tijdschriften etc. enorm toegenomen. Niet lleen werden er steeds meer eemplren gedrukt, mr ook het ntl (verschillende) pulicties is enorm toegenomen. Zo is sinds 80 wereldwijd het ntl tijdschriften elke 8 jr verdueld. Hoe dieper je onder wter komt des te donkerder het wordt. Iedere meter die je dieper gt neemt de hoeveelheid licht met ongeveer 5% f. Zeg dt de hoeveelheid licht op het wteroppervlk 00 is. Wt is de groeifctor in elk vn deze vooreelden? Vul voor vooreeld c onderstnd schem in. In de situtie vn de sprrekening is de groeifctor per jr: Drij hoort de volgende tel (invullen): y In deze tel is en y Leg uit hoe je in de tel de groeifctor ziet. Geef een formule ij de tel: Schets de grfiek. 5 Vierhoek trnsformeren; instppen; logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: eigenschppen vn vierhoeken en driehoeken, met nme vn rechthoeken en prllellogrmmen en vn de middenprllel in een driehoek; leerjr: /5 VWO, wiskunde B Centrle vrg: Hoe weet je zeker dt dt een eigenschp die hier n een vooreeld wordt ontdekt lgemeen geldt? 3

4 In deze vierhoek zijn P, Q, R en S de middens vn de zijden. De lijnstukken PU en RT stn loodrecht op SQ. Knip de vierhoek uit. Knip deze vervolgens in vier stukken lngs SQ, TR en PU. Kun je deze in een rechthoek leggen? De punten P, Q, R en S worden veronden en zo ontstt vierhoek PQRS. Wt kun je vertellen over deze vierhoek? 6 Breuken interpreteren; fsluiten; structureren en strheren; voorkennis: reuken, rekenen met reuken, verhoudingen; leerjr / Centrle vrg: Hoe kun je een reuk ls ¾ interpreteren? Geef een vooreeld wrij je 3 interpreteert ls: de verhouding 3: vn 3 c 3 keer d 0,75 7 Prmeters interpreteren; consolideren; structureren; voorkennis: verschillende functies uit de onderouw; leerjr: 3 Centrle vrg: Wt is de etekenis vn prmeters? Leg uit wt in de grfiek en in een tel de etekenis is vn de letters en in de drie volgende formules: y = + ; y = ; y = +. 8 Inhoud mimliseren; toepssen; modelleren en lgerïseren; voorkennis: geruik grfische rekenmchine, geruik vrielen; leerjr: Centrle vrg: Hoe leer je een proleem vi modelleren en lgerïseren oplossen? Er is een vierknt stuk ppier vn ijvooreeld 6 cm ij 6 cm.

5 De vier zwrte vierkntjes worden weggeknipt. Vervolgens wordt er een kje vn gevouwen. De instpvrg is: Mkt het voor de inhoud wt uit hoog het kje wordt? De vrg wr het eigenlijk omgt is: Bij welke verhouding tussen de zijde Z vn het gehele stuk ppier en de zijde h vn de uitgeknipte vierkntjes is de inhoud vn het kje miml? Opmerkingen De instpvrg is edoeld om de leerlingen het idee te geven dt de inhoud wel degelijk vrieert en dt er een grootste inhoud is. Beheerst de kls de differentilrekening dn is dt het wiskundig gereedschp om tot de lgemene oplossing (hoogte is een zesde deel vn de zijde) te komen. Eplorerend met de grfische rekenmchine lukt het ook. 9 Vlkke-meetkundefiguren clssificeren; instppen; ordenen en structureren; voorkennis: geen; leerjr: Centrle vrg: Hoe leer je gemeenschppelijke kenmerken /eigenschppen vn figuren te onderscheiden? In het prille egin vn de meetkunde krijgen leerlingen de vrg voorgelegd of zij in groepjes driehoeken (thuis uitgeknipt of ngeleverd) willen onderverdelen in groepjes met eenzelfde kenmerk. Opmerking Drn klssikl rpporteren, toespitsen op de kenmerken (hoeken, lengten, symmetrieën) en dt in een overzicht vstleggen. c Tegen het einde vn het eerste leerjr nog zo'n les, mr nu voor vierhoeken, ijvooreeld met een focus op vouwen, dus op symmetrie. Bijvooreeld in de ltste week vn het schooljr een vuilniszk vol verpkkingen meenemen en lten ordenen. Opmerkingen Als vnzelf ontstt dn een discussie over het criterium of de criteri. 0 Gedrg vn een functie ij plus- of min-oneindig onderzoeken; consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lle ehndelde functies; leerjr 5/6 Centrle vrg: Hoe leer je het gedrg vn functies ij plus- of min-oneindig onderzoeken? 5

6 Een vooreeld: we nemen de functie y = ,8 An de hnd vn de formule kun je eredeneren dt, ls nr oneindig ndert, de y-wrde nr een vste wrde ndert. Immers ls heel groot wordt, ndert 0,8 nr 0 en y dus nr = 30. An de hnd vn de formule kun je ook eredeneren dt, ls ndert nr min-oneindig, de y-wrde willekeurig klein (negtief) wordt. Immers ls, dn zl 0,8 willekeurig groot worden en dt moet je ftrekken vn 30. Geef ij de volgende functies steeds eerst een redenering n de hnd vn de formule en controleer je ntwoord eventueel met een grfiek op de GR. y = y = y = y = + 3 y = 00 0, y =3 (e + e ) y = y = + Inzicht in integrlen krijgen; consolideren; ordenen en structureren, strheren, logisch redeneren; voorkennis: integrlen; leerjr: 6 VWO Centrle vrg: Hoe leer je te redeneren ij integrlen? Hieronder stt de grfiek vn de functie g. wr zijn. g'()d 0 Beredeneer wrom de volgende uitsprken l dn niet ehoren 6

7 g()d Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen (); consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lger; leerjr /5 Centrle vrg: Hoe leer je gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen? Welke epressies zijn niet gelijkwrdig met y 3 ; is steeds positief. c d e f g 3 Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen (); consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lger; leerjr /5 Centrle vrg: Hoe leer je gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen? Welke epressies horen ij elkr (mtchen); steeds positief 0,5 0,5. ( ). 0,5 ( ) 6 9,5 6,5 0, Lineire vernden herkennen; consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lineire vernden, lger; leerjr: 3 Centrle vrg: Hoe leer je lineire vernden herkennen? Welke vn de volgende formules horen ij een lineire functie en hoe epl je dt? 7

8 y 3( ) y 3 ( ) y 3 y y y 5 Vergelijkingen clssificeren; consolideren; formules mnipuleren, nlytisch denken en proleemoplossen; voorkennis: vergelijkingen oplossen, lger; leerjr: 5/6 VWO Centrle vrg: Hoe leer vlot niet in stndrdvorm gegeven vergelijkingen npkken en oplossen? Mk verschillende ctegorieën vn vergelijkingen die overeenkomstige oplossingsmethoden heen. Geef een nm n iedere ctegorie en illustreer de oplossingsmethode n de hnd vn een prototype vergelijking uit de ctegorie. 8

9 log( ) 3. 0 log( ) log(. ) ( ) 6( 6 ( ( ) (6 ) 6 9 ( ).( e 0 ) 3 3 ( 6 ) ) 0 e 0,5 (sin( )) (sin( )) ).( ) (sin( )) log( ) e 3( ).( 3 0 ) 0.sin( ) 0 log( ) log( ) 6 sin( ) sin( ) e 0 ( 3) 6 ( ) 3( ) ( ) p sin( ) 0 e 3 6 cos( ) 3..( e ) 6 ln( ) ln( e) 0 ( e ). e 0 ( ) 3( ) ( ) ( 3) ( p)

10 6 Eponentiële functies eheersen; fsluiten; ordenen en structureren; voorkennis: eponentiële functies, hun formule en ijehorende tel, groeifctor, groeipercentge, hlveringstijd; leerjr: /5 Centrle vrg: hoe leer je lle specten vn eponentiële functies overzien? Leg lle krtjes op tfel en zoek steeds een viertl krtjes ij elkr, die horen ij dezelfde eponentiële functie (kwrtetten; er is slechts een deel vn lle krtjes hier opgenomen). Formule is y 0*0,8, met in weken Formule is y 00*0,95, met in weken Groeifctor per 0 weken is 5,3 3 6 y 7,5 67,8 Bij = hoort y = 90 Bij = hoort y = 80,5 Groeifctor per week is,8 Per week neemt hoeveelheid met 9% f De hlveringstijd is 3,5 weken Groeipercentge per week is 8% De hlveringstijd is 3,3 weken Het fnmepercentge per weken is 9% Groeipercentge per weken is 39,% 7 Werken met prmeters (); toepssen; nlytisch denken en proleemoplossen, formules mnipuleren; voorkennis: fhnkelijk vn het vooreeld; leerjr: ovenouw HAVO-VWO (sommige vooreelden lleen VWO) Centrle vrg: Hoe leer je de etekenis en functie vn prmeters in functievoorschriften? Gegeven is de functiefmilie. De grfiek vn f (dus p = ) op het intervl [0; ] stt hier weergegeven. 3 3 De grfiek vn noemen we B. f p snijdt de -s in O. Het volgende snijpunt vn de grfiek f p met de -s V is het geied tussen de grfiek vn f p en de -s. Bereken voor welke ecte wrde vn p geldt dt de oppervlkte vn V gelijk is n 0. Gegeven zijn de functies voor k,,3,,... Voor enkele wrden vn k is de grfiek getekend. 0

11 Bewijs dt de grfieken vn deze functies ehlve door punt (0, 0) ook nog door een tweede vst punt P gn. Punt Q is de projectie vn P op de -s; dit etekent dt Q het punt (0, 0) is. We ekijken OPQ. De grfieken vn f k verdelen OPQ in twee delen. 3 Onderzoek of er een wrde vn k is wrvoor de grfiek vn f k de delen met gelijke oppervlkte verdeelt. OPQ in twee c De grfiek vn f () 3 3 rkt de lijn y = in de oorsprong (0, 0). Bereken en. d Gegeven is de functie f 3 ( ) Toon n dt de -coördint vn het uigpunt vn f precies tussen de -coördinten vn het mimum en minimum ligt. De functie f() is een fmilielid vn de fmilie functies. Zols je het gezien geldt ij p = 9 dt f p () twee etremen heeft. Als p groter wordt, dn komt er een situtie dt f p () geen etremen meer heeft. Bereken vnf welke wrde vn p dt het gevl is. Opmerking Het leren werken met en interpreteren vn formules met prmeters evordert de symol sense en de ekwmheid in het mnipuleren met formules. 8 Vernd tussen groeifctor, groeipercentge en verduelingstijd leggen; consolideren; strheren; voorkennis: eponentiële functies; leerjr: /5 Centrle vrg: Hoe kun je de centrle concepten en de relties ij eponentiele functies in eeld rengen? Geef door middel vn pijlen n of je rechtstreeks uit het ene het ndere kn erekenen. Vooreeld: ls je rechtstreeks vnuit het groeipercentge per jr het groeipercentge per mnd kn erekenen, dn trek je een pijl vn groeipercentge per jr nr groeipercentge per mnd. Geef ook steeds een illustrtieve vooreelderekening.

12 groeifctor per mnd groeipercentge per mnd groeifctor per jr groeipercentge per 0 jr verduelingstijd groeifctor per 0 jr groeipercentge per jr 9 Werken met prmeters (); consolideren; nlytisch denken en proleemoplossen; voorkennis: differentil- en integrlrekening; leerjr: 5/6 VWO, wiskunde B Centrle vrg: Hoe leer je werken met een functiefmilie/prmeters? Gegeven is de functiefmilie met 0. Alle grfieken vn deze functiefmiliegn door (0, 0). Toon n dt de grfiek vn lle functies f in (0, 0) dezelfde helling heen en ereken deze helling. Toon n dt iedere grfiek vn f precies één etreem (minimum of mimum) heeft. Druk de -coördint vn dit etreem uit in. c Toon n dt een primitieve vn f is. 0 De fgeleide vn y nders ewijzen; fsluiten; logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: fgeleide; de fgeleide vn y met een vn de differentieerregels erekenen, inverse functie, de grfieken vn een functie en diens inverse zijn elkrs gespiegelde in de lijn y = ; leerjr: 5 VWO wiskunde A Centrle vrg: Hier zie je het ewijs dt de fgeleide vn y gelijk is n y ' In de linker kolom stn iedere keer uitsprken; in de rechter kolom geef je een rgument wrom deze uitsprk wr is. Het is niet de edoeling dt je deze ewijsstppen uit je hoofd leert, het gt hier om de rgumenttie. We zoeken de groeisnelheid vn y in.. De functies y en y zijn elkrs inverse.. De grfieken vn gespiegelde in de lijn y y en y (5 0 lijn) zijn elkrs

13 3. We zoeken de groeisnelheid vn y in. We mken eerst een getllenvooreeld en kiezen voorlopig even 9.. Als punt (9,3) op de grfiek vn y ligt dn ligt het overeenkomstige punt (3,9) op de grfiek vn 5. De groeisnelheid vn y in punt (3,9) is 6. y 6. Dus de groeisnelheid vn y in punt (9,3) is 6 7. We kijken nu nr het lgemene gevl en We zoeken dus de groeisnelheid vn y in 8. Als punt (, ) op de grfiek vn y ligt dn ligt het overeenkomstige punt ( op, ) de grfiek vn 9. De groeisnelheid vn y in punt (, ) is y 0. Dus de groeisnelheid vn y in punt (, ) is Een model vlideren; onderzoeken; modelleren en lgerïseren; voorkennis: ntuurlijke logritme, differentiëren; leerjr: 5/6 VWO wiskunde A Centrle vrg: Hoe kn een gegeven model gevlideerd worden? In een onderzoek kijkt men hoe het verkeerslwi L (in db) op een plts fhngt vn de snelheid v (in km/u) vn het verkeer en de fstnd tot een weg (in m). Bij een eplde weg vindt men de volgende formule: L 89,5,.ln(. v) 0,6. v 0,03. Vermoeden : Je mg verwchten dt, ij constnte snelheid, geldt: ls de fstnd tot de weg groter wordt dt het verkeerslwi minder wordt. Toon n dt, voor een vste wrde vn v, volgens deze formule geldt: ls groter wordt dn L kleiner. Vermoeden : Misschien zou je ook verwchten dt, op een vste fstnd tot de weg, volgens deze formule geldt: ls de snelheid groter wordt dt dn het verkeerslwi toeneemt. 3

14 Onderzoek vermoeden. Een gegeven model toepssen; toepssen; modelleren en lgerïseren, logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: e-mchten, differentiëren; leerjr: 5/6 VWO, wiskunde A Centrle vrg: hoe leer je je kennis ij een gegeven model geruiken? Bij het ontwerpen vn een weg moet er rekening gehouden worden met het schoon regenen vn de weg. Tijdens regenuien wordt het vuil vn de weg gespoeld. Het percentge vuil dt weggespoeld wordt (P) is fhnkelijk vn de tijd dt het regent (t in uren):. In deze formule geldt dt c, een positieve constnte, fhnkelijk is vn het soort wegdek. Voor eton geldt c = 0,05 terwijl voor sflt geldt c = 0,05. Teken de grfieken voor eide wegen en zeg welke weg sneller schoongespoeld wordt. Onderzoek met ehulp vn de fgeleide voor eide wegen welke vn de twee wegen ij een hele korte regenui het snelste schoonspoelt. Voor een vste, positieve wrde vn c geldt ltijd: P is een stijgend functie vn t (ls t groter wordt dn stijgt P). c d Toon dit n met een redenering n de hnd vn de gegeven formule. Toon dit n met ehulp vn de fgeleide. 3 Reclme eoordelen; toepssen; nlytisch denken en proleemoplossen, eventueel modelleren en lgerïseren; voorkennis: eponentiële functies; leerjr, wiskunde A Centrle vrg: hoe leer je je kennis in een prktijksitutie toepssen? Uit verschillende rochures vn nken hlt iemnd de volgende 3 niedingen: Bnk A: Bij een storting vn euro grnderen wij een hoog rendement: uw geld is in 0 jr verdueld. Bnk B: Bij een storting vn euro krijgt u per jr mr liefst,5% rente. Bnk C: Bij een storting vn euro krijgt u iedere 5 jr 5% rente ijgeschreven. Stel dt deze persoon vn pln is zijn euro voor lngere tijd weg te zetten op de nk, welke nk moet hij dn kiezen voor het hoogste rendement? Licht je werkwijze toe. Werken met prmeters (3); fsluiten; nlytisch denken en proleemoplossen, logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: goniometrische functies, differentiëren; leerjr: 6 VWO, wiskunde B Centrle vrg: Hoe leer je met prmeters werken? Gegeven is een functie. Het minimum vn f() is gelijk n 5 en het mimum is gelijk n 9. De grfiek vn f gt door het punt (3, 7) Bereken (ecte) wrden vn, en c wrvoor dit klopt. Zijn dit lle mogelijke wrden? Zo nee, geef lle mogelijke (ecte) wrden.

15 5 Algerïsche uitsprken controleren; consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: eenvoudige lgerïsche gelijkheden; leerjr: 3//5 Centrle vrg: hoe leer je vlot lgerïsche gelijkheden? Zijn de volgende uitsprken wr; geef n wrom wel of niet ( ) y 3 3 (. p) 8 p y y y 6 Stelling vn Pythgors ewijzen; ontwikkelen; logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: oppervlkte vn rechthoeken; leerjr: 3//5 Centrle vrg: Hoe leer je ewijzen? Hier zie je drie pltjes met een ewijs vn stelling vn Pythgors. Hoe weet je zeker dt die stelling vn Pythgors juist is? Welke ewijs vind je het mooiste? 5

16 3 6