Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Transcriptie

1 Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren

2 . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen dom R = x ( x, y) R beeld vn de reltie R. { } het domein vn de reltie R en bld R = { y ( x, y) R} het Keert men de volgorde vn de koppels vn een reltie om, dn ontstt een reltie vn B nr A, de zgn. inverse reltie. Een functie vn A nr B is een reltie vn A nr B wrbij elk element vn A hoogstens beeld heeft. Een functie vn A nr B noemt men een fbeelding vn A in B ls dom f = A. Een fbeelding vn A in B noemt men een bijectie vn A op B ls de inverse reltie eveneens een fbeelding is. 2. Uitgebreide verzmeling der reële getllen: I R De verzmeling der reële getllen IR, ngevuld met de elementen - en +, noemt men de uitgebreide verzmeling der reële getllen. Nottie: IR = IR U {, + } De totle orde wordt ls volgt uitgebreid: x IR: < x < + Anlyse 2

3 De bewerkingen worden ls volgt uitgebreid: ) x IR: x + ( ) = = ( ) + x x + ( + ) = + = ( + ) + x x IR + 0 : x. ( + ) = + = ( + ). x x. ( ) = = ( ). x x IR 0 : x. ( + ) = = ( + ). x x. ( ) = + = ( ).x 2) ( + )+ ( + )= + ( )+ ( ) = ( ). ( + ) = = ( + ). ( ) ( + ). ( + ) = + = ( ). ( ) n n + = + = ls n oneven is. + = 0 = 0 Dus de volgende uitdrukkingen hebben geen betekenis, zijn ONBEPAALDHEDEN: ( + ) + ( ) ; ( ) + ( + ) ; 0.+ ; +. 0 ; 0. ;.0 ; + + ; + ; + ; Anlyse

4 . Continuïteit vn een functie in IR.. Voorbeelden Stel f: IR IR en dom f dn zegt men: Y f() Y f() b X X f is continu in f is discontinu in f is niet linkscontinu in f is niet rechtscontinu in Y c f() b Y f() b X X f is discontinu in f is niet linkscontinu in f is niet rechtscontinu in f is discontinu in f is rechtscontinu in Y b f() X f is discontinu in f is linkscontinu in Anlyse 4

5 .2. ε δ - definitie Beschouw een functie f: IR IR en onderstel dt dom f dn zegt men: ε > 0, δ > 0: f is continu in c x < δ f ( x) f ( ) < ε Verder geldt: f is rechtscontinu in ε > 0, δ > 0: x [, + δ [ f( x) f( ) < ε f is linkscontinu in ε > 0, δ > 0: x ] δ, ] f ( x) f ( ) < ε 4. Limiet vn een functie in IR 4.. Voorbeelden "vi het begrip limiet, discontinuïteiten opheffen" stel dh dom f. ls f continu is in dn lim f( x) = f( ) ls f discontinu is in dn: f ( x) = f( x) x ) beschouw een functie f met f ( ) = b f = een uitbreiding vn f in ( ) 2) ls f continu is in dn lim f( x) = f ( ) = b "limiet" ls f rechtscontinu is in dn lim + f ( x) = f ( ) = b "rechterlimiet" ls f linkscontinu is in dn lim f ( x) = f ( ) = b "linkerlimiet" Anlyse 5

6 Y f() Y f() b X X f is continu in f is discontinu in f is niet linkscontinu in f is niet rechtscontinu in lim f( x) = f( ) lim f( x) = b Y c f() b Y f() b X X f is discontinu in f is niet linkscontinu in f is niet rechtscontinu in lim + f ( x) = c lim f ( x) = b lim f( x) bestt niet. f is discontinu in f is rechtscontinu in lim + f ( x) = f ( ) lim f ( x) = b lim f( x) bestt niet. Y b f() X f is discontinu in f is linkscontinu in lim + f ( x) = b lim f ( x) = f( ) lim f( x) bestt niet. Anlyse 6

7 4.2. ε δ - definitie limiet, rechterlimiet, linkerlimiet Als f: IR IR dn is: ε > 0, δ > 0: lim f( x) = b c 0 < x < δ f ( x) b < ε Verder geldt: lim f( x) = b ε > 0, δ > 0: x ], + δ [ f ( x) b < ε > lim f ( x ) = b ε > 0, δ > 0: x ] δ, [ f ( x) b < ε < Oneigenlijke limieten Het rgument neemt onbeperkt toe of f: lim f ( x) = b ε > 0, m > 0: x > m f ( x) b < ε x + lim f ( x) = b ε > 0, m > 0: x < m f ( x) b < ε x Oneindige limieten lim f ( x ) = + n > 0, δ > 0: 0 < x < δ f ( x ) > n lim f( x) = n > 0, δ > 0 : 0 < x < δ f ( x) < n lim f ( x) = n > 0, m > 0: x > m f( x) < n x + Anlyse 7

8 4.. Algemene stellingen lim f( x)= b. Als lim f + g lim g( x) = b' ( )( x) = b + b' 2. Als lim f( x) = b lim r.f ( x) = r. lim f( x) = r. b. Als lim f( x)= b lim g( x) = b' lim f( x)= b f( x) lim 4. Als lim lim g( x) = b' g( x) = lim lim f x ( ).g( x) = lim f x ( ).lim g x ( )= b.b' f( x) g( x) = b b' 5. Als lim f ( x) = lim f ( x) 6. Als lim[ f( x) ] n = lim f( x) n 7. Als lim n f( x) = n lim f ( x) 8. Als lim k = k (deze stellingen zijn geldig op voorwrde dt het rechterlid zin heeft) 4.4. Onbepldheden Onbeplde vorm rtionle functie V( x) W ( x) ls lim V( x) = lim W ( x ) = 0, dn betekent dit dt V(x) en W(x) beide deelbr zijn door (x - ), nl. V( x) = ( x ).Q ( x), W( x) = ( x ).Q 2 ( x) V( x) Q Er geldt: lim ( x) W( x) = lim Q 2 ( x) Anlyse 8

9 Voorbeeld. lim x 2 x 2 4 x 2 5x + 6 = lim x 2 ( x 2) ( x + 2) ( x 2) ( x ) = lim x 2 x + 2 x = 4 - irrtionle breuk: teller en/of noemer rtionl mken. Voorbeeld. lim x x + 2 x = lim x = lim x = lim x ( x + 2) x ( x ) x ( x + 4) ( ) ( x ) x x = 4 ( ) ( ) Onbeplde vorm - rtionle functie lim n x n + n x n x + 0 = lim n x n x b p x p + b p x p b x + b x 0 b p x p = ls n > p (teken vn nder te beplen) = n b p ls n = p = 0 ls n < p - irrtionle breuk: zet in teller en noemer de hoogst mogelijke mcht vn x voorop. let op: x 2 = x ls x > 0 = x ls x < 0 Anlyse 9

10 Voorbeeld lim x x x x = lim x x x x x 2 lim lim x + x x / + 5 x = / x x / + 5 x = x / Onbeplde vorm - irrtionle functie: vermenigvuldig met en deel door de toegevoegde irrtionle vorm. Voorbeeld. lim ( 4x 2 + x + 2x) x. lim x + b. lim x ( 4x 2 + x + 2x)= + ( 4x 2 + x + 2x) = lim x ( 4x 2 + x + 2x) ( 4x 2 + x 2x) 4x 2 + x 2x = lim x x 4x 2 + x 2x = lim x x x x 4 + x = x Anlyse 0

11 4.5. Opgven x 2 6. lim x 4 x 2 x 2 7x lim x x 2 4x + x 2. lim x x x lim x x + 2x 2 x 2 5. lim x x 2 + x 2 6. lim x x x + 2 2x 2x 2 + x 2 2x 4 2x 6x x 7. lim x x + x 2 6x 2x 4 2x 6x x 8. lim x 0 x + x 2 6x x m m 9. lim x x m m 0. lim x n n (2) (0) (- 0) (- 4) ( m. m ) m n m n. lim x 2 2. lim x > x x 2 x + 6 x x 4 (0). lim x 0 x x + x () Anlyse

12 4. lim x > 5 x 2 4x 5 x 2 25 x 5 (- ) 5. lim x 2 6x 4x + (0) x 2 x 2 x lim x x lim x 2 8. lim x 4 x x 2 x x x 2 x 2 2x (2) lim x 2 >< x 2 x x x 2 x 4x ± 20. Bepl zó dt: x 2 + 8x x lim x 2 + 2x 2 = 2 ( = + 2) 2 2. lim x >< x 2 x + 2 x 2 (m ) x lim x 2 x 2 + x 6 6 x 2 x 2 2. lim x 2x + x + x + x 2 + x 2 + 4x lim x + 2x + x 2 + x 2 (- ) 25. lim x 8x + 2x 8x 26. lim x x + x + + x x 2 4 (; ) (- 2) Anlyse 2

13 27. lim( x x 2 x + 4) (± ) x 28. lim( x + x 2 + x) () x 29. lim ( x + x 4x2 + x +) (- ) 0. lim x + x ( x + x) 2. lim x ( x 2 + 2x x 2 4x) (+ ) 2. lim 2x x 2 8x + 4 x x 2 4 4x 2 + 5x, 9 4. lim x ( x 2 + 5x + 8 x 2 + 5x 4) x (± 6) Anlyse

14 5. Afgeleiden 5.. Afgeleide vn een functie in een punt ( x 0, y 0 ) Y y = f(x) f( x + x ) 0 D b Dy f( ) x 0 D x b x 0 x + 0 D x X Beschouw: y x = lim x 0 f ( x 0 + x) f ( x 0 ) lim x 0 x Als deze limiet bestt, wordt hij de fgeleide genoemd vn de functie in x 0. y Nottie: f' ( x 0 ) = lim x 0 x. Meetkundige betekenis: Beschouw de kromme met vergelijking y = f(x), ( x 0, f ( x 0 ))en b x 0 + x, f( x 0 + x) richtingscoëfficiënt vn de koorde b: m b = y b y = f( x 0 + x) f x 0 = y x b x ( x 0 + x) x 0 x = tg α ( ) zijn 2 nburige punten vn de kromme.dn is de ( ) Lt men de rechte b wentelen om zodt het punt b onbeperkt tot ndert, dn gt de rechte b over in de rklijn in (n de kromme). y lim x 0 x = lim tg α = tg β, m..w. f' x 0 α β b ( ( ) n de kromme y = f(x). punt x 0, f x 0 ( ) is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn in het Anlyse 4

15 Voorbeeld. y = x 2 x + 4 ( x f' ( x 0 ) = lim 0 + x) 2 ( x 0 + x)+ 4 x x 0 4 x 0 = lim x 0 x ( 2x 0 + x ) = 2x 0 Zo is voor x 0 = ; f' ( ) =. Bijgevolg is b = Linker- en rechterfgeleide Men noemt lim x > 0 y x, resp. lim x < 0 y, de rechter-, resp. linkerfgeleide vn f(x) in het x beschouwde punt, op voorwrde dt de limiet bestt. Het kn gebeuren dt linker- en rechterfgeleide in een punt verschillend zijn. Meetkundig betekent dit dt de kromme een hoekpunt (knik) heeft, zodt de kromme in dt punt 2 verschillende rklijnen heeft. De functie is dn niet fleidbr in dt beschouwde punt. Voorbeeld y = 4 x 2 is continu voor elke wrde vn x, mr de rechterfgeleide voor x = 2, is verschillend vn de linkerfgeleide in dt punt, nl. Besluit: lim f' ( x) = x 2 > lim f' ( x) = x 2 < f continu in x = x 0 / f fleidbr in x = x 0. Mr men bewijst dt, f fleidbr in x = x 0 f continu in x = x 0 Anlyse 5

16 5.. Verticle rklijn Voorbeeld. De functie y = x is continu voor elke wrde vn x. We berekenen de fgeleide voor x = 0 f( 0 + x) f( 0) x lim = lim x 0 x x 0 x = lim x 0 = + x 2 De functie is dus niet fleidbr voor x = 0. Men spreekt vn een oneigenlijke fgeleide. Meetkundig betekent dit dt tg = +, zodt = 90. De rklijn vlt dus smen met de y-s Regels voor de berekening vn de fgeleide functies. fgeleide vn een constnte y = k y' = 0 2. fgeleide vn het rgument y = x y' =. fgeleide vn een som vn functies y = u + v + w y' = u' +v' +w' 4. fgeleide vn een product vn functies y = u.v y' = u'. v + u.v' 5. fgeleide vn een quotiënt vn functies y = u u'. v u. v' y' = v v 2 6. fgeleide vn een mcht y = u n y' = n. u n.u' 7. fgeleide vn de smengestelde vn 2 functies ( g o f ) ( x) ( ). D x f( x) D x [ ] = D z g z 8. fgeleide vn goniometrische functies y = sin x y' = cos x y = cos x y' = sin x y = tg x y' = cos 2 x y = cotg x y' = sin 2 x Anlyse 6

17 5.5. Opgven. y = x x 2 x + ( y' = x 2 2x ) 2. y = 8 x + 4 x 2 4 y' = 8 x2 + 2 x ( ) 2 ( y' = 2( x 2 4x + ) ( 2x 4) ). y = x 2 4x + ( ( ) 4. y = x ( x + 6) 2 ( x + ) y' = x 2 ( x + 6) 2x 2 +x + 8 2, 5 5. y = 5+ x y' = 2 x2 2,5x 7,5 5 + x 2 x y = 2x2 x 2 2x y = x 2 5x + 7 x 2 8. y = x ( x + 2) x 2 9. y = x + x + 2 x 0. y = x x 2 y' = 4x 2 +4x 6 x 2 2x + 2 ( ) 2 y' = x 2 4x + x 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 y' = 2 x2 + x + x 2 y' = x x 2 ( ) ( ) 2 y' = x 2 x 2 x 2. y = 2 x 2 y' = x 2 x 2 Anlyse 7

18 2. y = x + 8 x 2 y' = 8 x2 x 8 x 2. y = x + x 2 y' = x 2 + 6x 2 x + x 2 4. y = 2x + 5x 5 y' = 6x x + 5x 5 5. y = 4x x 2 x 2 2x y' = 4 2 x 2 x 2 6. y = ( 2x ) 4 x 2 x 2x y' = 2 4 x 2 4 x 2 ( ) 7. y = ( x +) 2 x 2 4x + y' = ( x +) x 2 9x + 4 x 2 4x + 8. y = 5x 2 4x + y' = 2 ( 5x 2) ( ) 2 5x 2 4x + 4 ( ) ( x 2 + 2) 9. y = 5x 2 6x + 4 y' = 5x 0x x x y = x + 5 x y' = x +0 2x 2 x y = 2x2 x + x 2 x + y' = 4x 6x 2 + 9x 5 ( ) x 2 x + 2 x 2 x y = x y' = ( x) ( + 2x) 5 ( + 2x) 7 Anlyse 8

19 2. y = ( x ) ( x 2) ( x ) ( x 4) y' = 2x 2 +0x ( x ) ( x 2) ( x ) ( x 4) ( 24. y = 2 ) x2 x 2 9 y' = x4 2x x 2 4x x 2 9 2x 25. y = ( )2 x 2 y' = ( x + 2) ( ) ( ) 2 ( 2x ) 4x 2x 2 + 4x 22 ( x + 2) 4 x y = 4 sin 2 x ( y' = 4 sin 2x) 27. y = cos 2x 5 cos x 2 ( y' = 2 sin 2x + 5 sin x) 28. y = cos 2 x 2 y' = sin x 2. cos x 2 sin x + cos x 29. y = sin x cos x y' = 2 ( sin x cos x) 2 0. y = x sin x ( y' = cos x). y = sin 2x 2 sin x ( y' = 2 cos 2x 2 cos x) 2. y = cos x y' = sin x 2 cos x Anlyse 9

20 . y = cos 2 4x y' = 8 sin 4x cos 4x 4. y = 4 cos x + sin 4x ( y' = 2 sin x + 2 cos 4x) 5. y = cos x + sec 2x ( y' = sin x + 2tg 2x sec 2x) 6. y = cos 2x sin x y' = 2 sinxsin 2x cosxcos2x sin 2 x 7. y = sin x. cos x cos 2 x 2 sin 2 x y' = cos 4 x + 2 sin 4 x ( cos 2 x 2 sin 2 x) cos 2 x 2 sin 2 x 6. Onbeplde integrl 6.. Primitieve functies Definitie Een primitieve functie F(x) vn de functie f(x) is elke functie met de eigenschp F'(x) = f(x). Eigenschp Is F(x) een primitieve functie vn f(x), dn is ook F(x) + k, k IR, een primitieve functie vn f(x). Eigenschp 2 Als F ( x) en F 2 ( x) primitieve functies zijn vn f(x) dn verschillen F ( x) en F 2 ( x) slechts door een constnte term. Besluit Is F(x) een primitieve functie vn f(x), dn worden lle primitieve functies vn f(x) gevonden door bij F(x) een willekeurig reëel getl op te tellen. Anlyse 20

21 6.2. Onbeplde integrl De onbeplde integrl vn een functie f(x) is de verzmeling vn lle primitieve functies vn f(x). Nottie: f( x) dx = { F(x) + k F' (x) = f(x) en k IR} kortweg noteert men f( x) dx = F( x) + k 6.. Eigenschppen. k f( x)dx = k f( x) dx ( ( )+ g( x) ) dx = f x 2. f x ( )dx + g( x)dx 6.4. Fundmentele integrlen x n dx = x n+ + k, ls n n + sin x dx = cos x + k cos x dx = sin x + k dx cos 2 x = tg x + k dx sin 2 x = cotg x + k 6.5. Substitutiemethode De substitutiemethode is gebseerd op de formule: f g( x) ( ) dx = f( t) dt met g( x) = t ( ) g' x Anlyse 2

22 6.6. Opgven Bereken de onbeplde integrl met integrnd gelijk n:. x 4 x x + k x 7 x 4 x + k. x x 2 5 x2 x + k 4. x 5 x x 4 5 x 2 + k 5. x x 2 + k 2 6. x 9 8x + k x x 2 2 x 2 x + k 8. 2x + 7 ( x 2 + 7x + k) 9. sin x + cos x (- cos x + sin x + k) cos 2 x 7 2 tg x + k. cos 2x 2 cotg x + k 2. 5x 2 8x + 5 x 5 2x x 4x + k 4 Anlyse 22

23 . cos x cos 2 x tn x sin x + k 4. + cos 2x ( ± 2 sin x + k) ( )6 5. ( x + ) 5 x k 6. cos 2x 7. cos 2 x 8. sin 2 x sin 2x + k 2 2 x + sin 2x + k 4 2 x sin 2x + k 4 ( )5 9. ( x 5) 4 x k 20. x ( x + 6) x k 2. 4 x 5 ( 8 x 5 + k) 22. sin x cos x + k ( )6 2. ( 2x 7) 5 2x k 24. x ( 9 x + 4) x k 25. cos 2 4x ( tn 4 x + k) x ( x ) 2 + k ( x 2) x 2 2 ( 5 x 2)2 x 2 + k Anlyse 2

24 28. ( x + ) 2x ( 5 x +)2 2x k 29. sin x cos x + cos x + k 0. cos x sin x sin x + k. sin 2x. cos x 2 cos x + k 2. cos 4 x. sin 4 x 4. + cos x 5. x x + 6. x 2 x 8 x + 4 sin 2x + sin 4x + k 2 8 x 4 sin 2x + sin 4x + k 2 x (tn + k) x2 + x 6 ( ) x + + k 2 ( 05 x ) 5x 2 +2x + 8 ( ) x + k 7. ( x + ) x + 2 ( 28 x + 2 ) ( 4x +5 ) x k 28. x + 2 x 2 ( x + 20) x + k 27 Anlyse 24

25 6.7. Prtiële integrtie Vermits udv = d(uv) - (du)v is udv = uv vdu. Deze formule ligt n de bsis vn de prtiële integrtie Opgven Bereken de onbeplde integrlen met integrnd gelijk n:. x 2.cos x ( x 2 sin x + 2x cos x 2 sin x + k) 2. x. cos x ( x sin x + cos x + k). x sin x ( x cos x + x 2 sin x + 6x cos x 6 sin x + k) 4. cos 2 x 5. cos x 2 x + sin x. cos x + k 2 cos2 x. sin x + 2 sin x + k 6. x.sin x. cos x 4 x. cos 2x + sin 2x + k 8 7. x. cos 2 x 4 x x sin 2x + cos 2x + k 8 Anlyse 25

26 7. Beplde integrl 7.. Grondstelling Is f ( x )dx = F ( x ) + k, dn is f ( x)dx Merk op de beplde integrl is een getl Integrtiemethoden b b = F( b) F( ) = F( x) Substitutiemethode Voorbeeld. I = π 2 0 sin 2x dx - eerste methode: eerst de onbeplde integrl oplossen sin 2x dx = 2 zodt I = 2 sin 2x d ( 2x ) = cos 2x + k 2 [ cos 2x ] π 2 0 = 2 ( ) = - tweede methode: npssen vn de integrtiegrenzen, bij het doorvoeren vn de substitutie I = π 2 0 sin 2x dx stel 2x = t dn is 2dx =dt x = 0 is t = 0 en voor x = π 2 is t = π bijgevolg is: I = π 0 sin t. 2 dt = 2 cos t π 0 = 2 ( cos π cos 0 ) = Anlyse 26

27 Prtiële integrtie b udv = uv b vdu b Voorbeeld. 2 I = x x dx u = x du = dx dv = x dx v = ( x ) d( x )= 2 I = 2 2 x ( x ) ( ) ( x ) dx 2 ( x ) 5 = 4 4 ( 5 0) = 6 5 ( x ) Anlyse 27

28 7.. Opgven. x dx (4) 2 ( ) dx 2. x 2 2x + 4 (2) 2 π. sin x dx (2) dx 2 π x 2 5. cos 2 x dx π 6. x 2 dx 0 2 π 2 π 4 7. x x + 5 dx x x dx (0) 2 π 9. cos 2 x sin x dx π 2 0. cosx sin x dx 0 4 Anlyse 28