Getallenverzamelingen

Transcriptie

1 Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen. Dt kn zijn het ftellen vn een rij ojeten of geeurtenissen (de eerste, de tweede, de derde,...), of ook het tellen vn een ntl voorwerpen: één gls melk, twee oterhmmen, drie mndrijnen, enzovoorts. Op deze mnier ontstt de verzmeling ntuurlijke getllen, ngegeven met het symool N. We lten tegenwoordig deze verzmeling eginnen met, dus: N = {,, 2,,...} Hier hnteren we een geruikelijke nottie voor de expliiete definitie vn een verzmeling: tussen de olden worden de elementen opgesomd. Met de puntjes geven we n dt er geen grootste ntuurlijk getl estt. Bij elk ntuurlijk getl m is er immers een ntuurlijk getl m + dt groter is, er kn dus oneperkt doorgeteld worden. Gehele getllen Binnen de ntuurlijke getllen kunt u elk tweetl getllen optellen en vermenigvuldigen, mr ijvooreeld 5 7 kn niet. Aftrekken is wel ltijd mogelijk n toevoegen vn de negtieve getllen. Smen met de ntuurlijke getllen vormen de negtieve getllen de verzmeling vn de gehele getllen Z: Z = {...,, 2,,,, 2,,...} Rtionle getllen Om een soortgelijke reden is het nodig om reuken te introdueren. De verzmeling Q vn de rtionle getllen ws het resultt: p Q = Z q p q q p,, en zoveel mogelijk vereenvoudigd q Het symool etekent: is element vn; we geruiken voor is geen element vn. Verder wordt in het rehterlid een ekende nottie voor verzmelingen geruikt: {x...} is de verzmeling vn lle x die voldoen n de voorwrden die n de streep eshreven worden. In het rtionle getl pq heet p de teller en q de noemer. Een elngrijke eigenshp vn de rtionle getllen is dt hun wrde niet verndert ls teller en noemer met hetzelfde getl (ongelijk ) vermenigvuldigd of door hetzelfde getl (ongelijk ) gedeeld worden. Dt etekent dt we reuken kunnen vereenvoudigen en dt we reuken met vershillende noemers kunnen optellen en ftrekken (door de reuken gelijknmig te mken). VOORBEELDEN Een vooreeld vn het vereenvoudigen vn een reuk is (de teller en noemer worden door 5 gedeeld): = = 5

2 Getllenverzmelingen Een vooreeld vn het ftrekken vn twee reuken is: = = = = « Rekenregels We rengen de volgende rekenregels nog even in herinnering. Voorwrde is steeds dt de noemer ongelijk n is. In de tweede regel zijn optellen en ftrekken smengenomen. p p = d d ± ± = ± = d d d d = d d d d = = d VOORBEELD Een vooreeld vn het delen is: = = = = « Irrtionle getllen Reële getllen Tenslotte zijn er ehlve de rtionle getllen nog ndere getllen, zols π (dt een rol speelt in de formule voor de omtrek vn een irkel) en 2 (dt de lengte vn de digonl geeft vn een vierknt met zijde ). Dit zijn vooreelden vn irrtionle getllen. De rtionle getllen en de irrtionle getllen vormen smen de reële getllen. Overigens zullen we in ntwoorden ltijd de exte wrde vn reële getllen lten stn, dus ijvooreeld π + 2 2, tenzij een endering gevrgd wordt of hndig is in vernd met de pltsing op de getllenrehte. De onderlinge smenhng tussen de vier verzmelingen lijkt in figuur. Dr zijn de getllenverzmelingen N, Z, Q en R met getllenlijnen weergegeven. Over de rtionle getllen is nog op te merken dt, ls ze lleml gepltst zouden worden, het zou lijken lsof de getllenlijn heleml vol zou lopen: inktpuntjes heen immers een zekere dikte. Toh zijn er wiskundig gezien nog gten: de pltsen vn de irrtionle getllen. Ps ls ook de irrtionle getllen gepltst zijn, is de getllenlijn heleml vol. N Z Q 7 2 R 8 π FIGUUR De getllenverzmelingen N, Z, Q en R 2

3 Getllenverzmelingen Met figuur is ook edoeld weer te geven dt elke verzmeling een deelverzmeling is vn elke verzmeling er onder: N Z Q R Het teken stt voor: is deelverzmeling vn, dus A B etekent: de verzmeling A is een deelverzmeling vn de verzmeling B. Dit etekent: voor elk element A geldt dt B. Voor de volledigheid merken we nog op dt we de deelverzmelingen vn Z, Q en R die uit de positieve elementen estn, weergeven met een plusteken: Z +, Q + en R +. De deelverzmelingen die de negtieve elementen evtten, worden door een minteken ngegeven: Z, Q en R. Het getl is dus geen element vn de verzmelingen Z +, Q +, R +, Z, Q en R. OPGAVE Hershrijf tot een zo eenvoudig mogelijke reuk: OPGAVE 2 Hershrijf tot een zo eenvoudig mogelijke reuk: De reële getllen vn klein nr groot geordend, worden weergegeven door de getllenlijn. Delen vn de getllenlijn, de intervllen, zijn dn neengesloten deelverzmelingen vn R. De definitie is ls volgt. Intervl DEFINITIE Een deelverzmeling I vn R heet een intervl ls n de volgende voorwrde is voldn: ls, I, dn geldt dt elke x met < x < ook een element vn I is. Stel dt en reële getllen zijn met <. We ondersheiden de volgende intervllen: [, ] = {x R x }, ] = {x R < x } [, = {x R x < }, = {x R < x < }, ] = {x R x }, = {x R x < } [, + = {x R x }, + = {x R x > } een gesloten intervl een hlfopen intervl een hlfopen intervl een open intervl een onegrensd intervl een onegrensd intervl een onegrensd intervl een onegrensd intervl Merk op dt volgens definitie ook R een intervl is. We geruiken hier de symolen + en (spreek uit: plus oneindig en min oneindig) om n te geven dt de etreffende verzmelingen nr rehts of nr links onegrensd zijn (+ en zijn dus geen getllen!).

4 Getllenverzmelingen Meestl wordt in plts vn + lleen geshreven. De onegrensde intervllen worden ook wel ls volgt genoteerd:, ] = {x R x }, = {x R x < } [, = {x R x }, = {x R x > } VOORBEELD In figuur 2 stn vooreelden vn intervllen. Een open rondje geeft n dt we het getl niet meetellen, een gesloten rondje dt we het wel meetellen. 5 [, 5] 5 [, 5 5, ] 5, FIGUUR 2 Intervllen op de getllenlijn «

5 Getllenverzmelingen T E R U G K O P P E L I N G Uitwerking vn de opgven = = = = = = = 8 7 = = = + = + 2 = ( + ) + = ( 2 ) ( 2 ) 6 2 = = =