Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Transcriptie

1 Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt overzicht lgebrïsche vrdigheden en werk hem dn uit tot wr je kunt. Lt het voor de rest rusten. Deze opgven zijn bedoeld om je kennis vn de rekenregels op te frissen en om de docenten een indictie te geven vn jouw lgebrïsche vrdigheden. De opgven geven geen goed beeld vn het niveu vn de cursus. Je mg geen rekenmchine gebruiken. Werk de hkjes uit:. ( ) 6 4 b. ( ) c. ( 4 + 5) ( 5 4) Vereenvoudig zo ver mogelijk en schrijf zonder gebroken of negtieve eponenten:. ( b ) ( b) d. 4b b. 5 + e. b (4 ) c. + f. Schrijf met gebroken en/of negtieve eponenten: g. h. 7 i. 5 Herleid:. b. Wiskunde B vwo voorbereidende opgven SSL 05

2 4 Vereenvoudig zo ver mogelijk:. 4 b. 7 c Schrijf links om tot rechts (schrijf lle tussenstppen op!):. ( p ) p p = c. + = + b. 4 + = n n n d. + = + 6 Neem onderstnde tbel over in je schrift en vul hem in (de zinnen hoef je niet over te nemen, mr vul wel je oplossingen, wel/niet en één/twee in) Even mcht (,,, ) Oneven mcht (,,, ) Een even mcht heeft één/twee oplossing(en). De oplossing(en) vn is/zijn dus: 4 = 6 Een oneven mcht heeft één/twee oplossing(en). De oplossing(en) vn is/zijn dus: = 8 Bij een even mcht zijn er wel/geen negtieve 4 oplossingen mogelijk. = 6 kn dus wel/niet. Bij een oneven mcht zijn er wel/geen negtieve oplossingen mogelijk. = 8 kn dus wel/niet. 7 Druk p uit in q:. q = + 4 b. p p q = p Tip: lukt dit niet, kijk dn in het beknopt overzicht lgebrïsche vrdigheden (Bijlge ). 8 Bepl en b: + b= 5 b= 5 Wiskunde B vwo voorbereidende opgven SSL 05

3 9 Symmetrie ( ) 6. Toon n dt f = symmetrisch is t.o.v. de y-s. ( ) 5 b. Toon n dt g = puntsymmetrisch is t.o.v. (0,0). Tip: lukt dit niet, kijk dn in het beknopt overzicht lgebrïsche vrdigheden (Bijlge ). Hoeveel tijd heb je tot hier n de opgven besteed? Wt vond je vn deze opgven? Heel mkkelijk 4 5 Heel moeilijk Wiskunde B vwo voorbereidende opgven SSL 05

4 Beknopt overzicht lgebrïsche vrdigheden In dit overzicht vind je de volgende vrdigheden:. Hkjes e. Omschrijven b. Mchten f. Stelsels vn vergelijkingen c. Wortels g. Breuksplitsen d. Breuken. Hkjes Wnneer hkjes? In de volgende twee gevllen heb je hkjes nodig: A B C vb: AB C vb: Als dingen lleen met elkr worden vermenigvuldigd, heb je geen hkjes nodig, dus: vb: ( ) Hkjes uitwerken vb: vb: ( 4) 4 4 ( )( ) 6 Ps op voor de volgende veelgemkte fout: vb: ( ) b. Mchten regel b c b c b c b c ( ) ( b) b bc bc c c c b b b c b c voorbeeld 5 6 ( ) ( ) ( ) 4 c. Wortels b b vb: b vb: b 4 4 b b!!!! vb: !!!! Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 4 SSL 05

5 d. Breuken teller Breuk = noemer. Vermenigvuldigen Teller teller, noemer noemer. vb: Delen Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. vb: / Optellen Noemers gelijk mken. Dit doe je door beide breuken op een specile mnier met te vermenigvuldigen, nmelijk boven en onder keer de noemer vn de ndere breuk. vb: ( ) vb: ( ) ( ) ( ) Vereenvoudigen b b b b c c c c ( ) vb: ( ) b b c c c vb: Let op: b c b c vb: Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 5 SSL 05

6 e. Omschrijven Als gegeven is: A = iets met B, kn het voorkomen dt je B moet uitdrukken in A. Dt betekent dt je moet zorgen voor: B = iets met A. Stppenpln omschrijven ) Hl lle termen met B links, lle ndere termen nr rechts ) Isoleer B door n beide knten omgekeerde bewerkingen uit te voeren. Omgekeerde bewerkingen zijn plus en min, keer en gedeeld door, kwdrt en wortel enz. vb: b 4, druk b uit in ) 4 b termen met b nr links, met nr rechts ) b ( 4 ) werk weg: vermenigvuldig n beide knten met b ( 4 ) omgekeerde vn is Voor twee specile gevllen is er een etr stp nodig: B in noemer vn breuk kruislings vermenigvuldigen B in meerdere termen buiten hkjes hlen vb: b b stt in de noemer, dus kruislings vermenigvuldigen: b b ( ) b ) b ) b n beide knten delen door vb: bb, druk b uit in ) bb b stt in meerdere termen, dus buiten hkjes hlen: b( ) ) b n beide knten delen door Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 6 SSL 05

7 f. Stelsels vn vergelijkingen Er zijn twee methoden voor het oplossen vn een stelsel vn vergelijkingen. Het is voldoende ls je één vn beide beheerst. Substitutie ( vervngen ) Anpk: kies een letter, zeg A, en druk die uit in de ndere letter, zeg B, met behulp vn een vn de vergelijkingen (zie omschrijven ). Vul de zo gevonden uitdrukking vn A vervolgens in in de tweede vergelijking en los verder op. b4 vb: 86b00 Druk uit in b met behulp vn (): 4 b Substitueer dit vervolgens in (): 8(4 b) 6b00 8b6b00 b b 6 Bepl nu met behulp vn de eerder gevonden uitdrukking: 4 b4 6 8 Dus = 8 en b = 6. Optellen/ftrekken Zorg dt je vn een letter fkomt door de ene vergelijking een geschikt ntl keer vn de ndere f te trekken. b4 vb: 86b00 In vergelijking () komt b zes keer voor. We kunnen dus vn b fkomen door () zes keer vn () f te trekken: () 6(). Dit geeft: 86b00 66b84 6 Delen door geeft: = 8. Dit vervolgens invullen in () geeft: 8b 4 Dus b = 6. Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 7 SSL 05

8 g. Breuksplitsen Soms is het nodig voor integreren om een breuk te schrijven ls de som vn twee breuken. Dit gt met het volgende stppenpln: Stppenpln breuksplitsen ) Tel de twee breuken bij elkr op ) Stel de tellers n elkr gelijk ) Stelsel oplossen (zie f) vb: bepl en b 4 00 b ( 6)( 8) b 6 ) ( 6)( 8) ( 8) b( 6) ( 6)( 8) ( 6)( 8) 4 00 ( b) 86b ( 6)( 8) ( 6)( 8) ) 4 00 ( b) 8 6b, dus: b 4 en 8 6b 00 ) Zie onderdeel f. h. Lijn- en puntsymmetrie Een functie f is lijnsymmetrisch ten opzichte vn de y-s ls geldt: f f vb: f f f, dus f is lijnsymmetrisch t.o.v. de y-s.. Een functie f is puntsymmetrisch ten opzichte vn (0,0) ls geldt: f f. vb: f f f, dus f is puntsymmetrisch tov (0,0). Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 8 SSL 05

9 Bijlge Meetkundige Pltsen In deze bijlge bespreken we meetkundige pltsen. We beginnen met het onderdeel "Wt is het?", wrin we kort definiëren wt een meetkundige plts is. Vervolgens gn we uitgebreid in op hoe je zo'n meetkundige plts construeert en wt je hierbij opschrijft, dit doen we in het onderdeel "Hoe moet het?". Hiermee kn je de oefenopgve vn de voorbereidende opgven mken. Een terechte vrg zou zijn: Een bijlge over meetkundige pltsen, dt wordt tijdens de cursus toch ps behndeld? Klopt! Meetkundige pltsen wordt dn inderdd behndeld. We gn ons dn echter richten op wt op het emen het belngrijkst is: wnneer je welke meetkundige plts moet tekenen. Weten welke meetkundige plts je moet tekenen levert je op je emen nog niet lle punten op. Hoe je die meetkundige plts tekent is nmelijk vn essentieel belng. De reden dt je nu l met de genoemde onderdelen n de slg gt, en niet ps tijdens de cursus, is de volgende. Door nu l te oefenen met construeren, krijg je die technieken onder de knie. Hierdoor kunnen we ons tijdens de cursus richten op de vrgen die je ddwerkelijk op je emen mg verwchten. Tenslotte vlt je misschien op dt deze bijlge vrij lng is. Het doorwerken vn deze bijlge zl ongeveer een uur tijd kosten. Dit levert je echter wel een hndig nslgwerk op. Doordt lles uitgebreid uitgelegd stt kun je deze bijlge zowel tijdens ls n de cursus gebruiken voor het mken vn opgven. Heel veel succes met het doorwerken vn deze bijlge! A Wt is het? Een meetkundige plts vn een of meerdere objecten zijn de punten die even ver vn dt/die object(en) f liggen. Voorbeeld: Twee boeren A en B willen een stuk lnd verdelen, zodt ieder evenveel lnd heeft. De grenzen vn het lnd vn boer A en boer B zijn dn die punten die even ver vn boer A ls boer B f liggen. Zie de figuur. A B We hebben dus de meetkundige plts vn A en B getekend. Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 9 SSL 05

10 B Hoe moet het? Dit onderdeel behndelt de meetkundige pltsen die op je emen gevrgd kunnen worden. Dit zijn er vijf. De kopjes in dit onderdeel zijn steeds de objecten wrvn je de meetkundige plts tekent. Onder elk kopje wordt de bijbehorende meetkundige plts uitgelegd. Vervolgens volgt een stppenpln met voorbeeld wrmee je de meetkundige plts stp voor stp kunt tekenen. Nst de verschillende meetkundige pltsen, gn we kijken nr wt we moeten opschrijven bij het construeren. ) Twee punten De meetkundige plts tussen twee punten heet een middelloodlijn. Je kn de middelloodlijn op twee mnieren tekenen: met een psser of geodriehoek. Beide mnieren leveren op je eindemen lle punten op. Stppenpln middelloodlijn (met geodriehoek) Voorbeeld I. Trek een rechte lijn tussen de twee gegeven punten. II. Meet het midden vn deze rechte lijn en zet hier een punt. III. Teken met je geo een lijn door dit punt, loodrecht op de lijn uit stp I. Dit is de middelloodlijn. III A II I B Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 0 SSL 05

11 Stppenpln middelloodlijn (met psser) I. Zet je psser op punt A en teken een hele cirkel met strl AB. II. Zet nu je psser op punt B en teken weer een hele cirkel met strl AB. III. Teken nu een lijn door de snijpunten vn de twee cirkels. Dit is de middelloodlijn. Let op: Stop de lijn niet bij de snijpunten, mr trek hem door. Voorbeeld I II A B III ) Twee evenwijdige lijnen De meetkundige plts tussen twee evenwijdige lijnen is de middenprllel. Stppenpln middenprllel (met geo) I. Teken een punt op een vn de twee lijnen. Trek vnf dt punt een loodlijn nr de ndere lijn. II. Meet het midden vn de lijn en zet hier een punt. III. Teken nu een loodlijn door het punt uit stp II. Dit is de middenprllel. Voorbeeld I III II Wiskunde B vwo voorbereidende opgven SSL 05

12 ) Één punt Stel we willen lle punten die even ver vn één punt f liggen. De meetkundige plts is dn een cirkel, die we met een psser kunnen construeren. Voorbeeld A 4) Twee snijdende lijnen De meetkundige plts tussen twee snijdende lijnen is de bissectrice. Je kn de bissectrice op twee mnieren tekenen: met een psser of geodriehoek. Op je eindemen leveren beide mnieren lle punten op. Stppenpln bissectrice (met geodriehoek) Voorbeeld I. Meet de hoek tussen de twee lijnen. Teken met behulp vn je geodriehoek een punt op de helft vn deze hoek. II. Teken een rechte lijn vnuit het hoekpunt A door het punt uit stp I. Dit is de bissectrice. I II Wiskunde B vwo voorbereidende opgven SSL 05

13 5) Prboolconstructie Let op! Er zijn ook nderee mnieren om een prbool te construeren. Als jij een ndere mnier weet die je fijn vindt, mg je onderstnd stppenpln oversln. De meetkundige plts tussen een punt en een lijn is een prbool. Het punt heet ook wel het brndpunt vn de prbool (hier r F) en de lijn heet de richtlijn (hierr lijn k). Stppenpln prboolconstructie 0. Teken een punt op de helft vn de loodlijn door F op k. Dit is de top vn de prbool T.. I. Teken een punt op de lijn k. Dit is een voetpunt V. II. Teken door V een loodlijn op k (lijn l). III. Teken een middelloodlij jn vn het lijnstuk FV ( hier lijn m). Het snijpunt tussen lijnen m en l is één puntt op de prbool, punt P. IV. Herhl stp I t/m III nog drie keer, met ndere voetpunten. Dn heb je vijf punten op de prbool geconstrueerd. V. Trek door de vijf gevonden punten een (zo mooi mogelijke) prbool. Voorbeeld 0 T F II III l P m P4 P T F P P I V k k Wiskunde B vwo voorbereidende opgven SSL 05

14 Wt schrijf ik op? In de toelichting vn je werkwijze moeten ltijd de volgende dingen stn: Nm meetkundige plts (bijv. middelloodlijn) Objecten wrtussen je de meetkundige plts tekent (bijv. brndpunt F en richtlijn k) Indien vn toepssing: begin- en eindpunten (zie voorbeeld) Mk hier een korte zin vn. Voorbeeld Gegeven is een lnd A met std F. Lnd A wordt begrensd door lijn g. In de zee ligt een zndbnk, gegeven door lijn k. Zie onderstnde figuur. Teken lle punten in de zee die even ver vn std f ls de zndbnk f liggen. Licht je werkwijze toe. Lnd A F g Zee Zndbnk k Uitwerking Lnd A F g Zee Zndbnk k We tekenen de prbool met brndpunt F en richtlijn k. Het begin- en eindpunt zijn de snijpunten vn de prbool met lijn g. Wiskunde B vwo voorbereidende opgven 4 SSL 05