Breuken en verhoudingen

Transcriptie

1 WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere constructies en ouwfysic; verhoudingen toe te pssen in diverse prktijksituties; tekeningen op schl te mken en te egrijpen.. Inleiding In dit hoofdstuk komen reuken en verhoudingen n de orde en de toepssing hiervn in de ouw. Een vn de toepssingen vinden we in de ouwfysic vn geouwen, nmelijk ij het toepssen vn wrmte-isoltie in gevels. Doordt gevels vk uit meerdere mterilen zijn opgeouwd, lle met een verschillende wrmteweerstnd, is het niet eenvoudig om de tempertuur op verschillende pltsen in de gevel te erekenen. Om zulke erekeningen correct uit te voeren, moet je met reuken kunnen werken. Ook zul je zien dt reuken veel te mken heen met verhoudingen. Een verhouding vn : : vn cement, znd en grind in een epld soort eton etekent dt er, om dit eton te mken, / deel cement, / deel znd en / deel grind nodig is. Verhoudingen tref je ook n ij het werken met ouwkundige tekeningen, krten en detils, die ltijd op schl worden gemkt, ijvooreeld : 0 of :. En rchitecten werken l vnf de oudheid met de eroemde gulden snede ( :,). Dit is een eplde verhouding vn lengte en reedte vn ijvooreeld gevels en gevelelementen die goed pst ij ons gevoel voor hrmonie. We zullen nu eerst een prktijkvooreeld uitwerken en drn de rekenregels formuleren die elngrijk zijn ij het werken met reuken. Vervolgens espreken we enkele toepssingen vn rekenen met reuken. Het hoofdstuk eindigt met een ntl prktijkvrgen en wiskundige vrgen.

2 BREUKEN EN VERHOUDINGEN. Prktijkvooreeld Peter de Vries heeft vier kinderen en ehoefte n een extr slpkmer. Hij wil deze reliseren in de grge die n zijn huis is geouwd. In de winter moet er flink gestookt worden om de grge ehglijk te houden. De gevels vn de grge zijn nmelijk niet geïsoleerd. Als de rekening vn het gsedrijf innenkomt, lijken de stookkosten erg hoog te zijn. Peter zoekt een oplossing en hij vindt die in het nrengen vn isoltie in de gevels vn de grge. Hij ekijkt het metselwerk vn de grge en gt op zoek nr geschikt isoltiemteril. Als hij genoeg informtie heeft, gt hij rekenen Het totle wrmteverlies dt door de kchel in de grge in één seconde gecompenseerd moet worden, kunnen we Q noemen, met de eenheid wtt (W). Het verlies per vierknte meter per seconde noemen we q en is gelijk n Q gedeeld door het oppervlk vn de gevel vn de grge, gemeten in m. Als we deze oppervlkte A noemen krijgen we de volgende formule: totle wrmteverlies wrmteverlies ( q) q Q [W/m ] geveloppervlk A Het wrmteverlies is fhnkelijk vn de wrmteweerstnd (R) vn de gevel, ofwel het vermogen vn de gevel om het wrmteverlies tegen te gn. Verschillende mterilen die in de gevel zitten, heen een verschillende wrmteweerstnd. De isolerende werking vn het metselwerk edrgt ijvooreeld 0, m K/W. Drnst is het wrmteverlies fhnkelijk vn het verschil tussen de innen- en uitentempertuur. Als het uiten min grden is en innen plus 0 grden, is er een verschil vn 0 grden en dn is het wrmteverlies twee keer zo groot ls ij een verschil vn grden. In een formule wordt dit: tempertuurverschil wrmteverlies ( q ) wrmteweerstnd q Δ T [W/m ] R Omdt de gevel vn de grge uit ongeïsoleerd metselwerk estt, kn het wrmteverlies op een koude dg in de winter, wnneer het tempertuurverschil 0 grden edrgt, er zo uit zien: T q Δ R 0 0, 0 W m Temp innen +0 C Temp uiten - C Wrmteverlies Q Figuur. dikte is mm. Als de gevel vn de grge een oppervlkte heeft vn 0 m, is het totle wrmteverlies vn de grgegevel wtt.

3 WISKUNDE IN DE BOUW Peter gt op zoek nr isoltiemteril dt tegen de gevel vn de grge kn worden ngercht. Hiervoor heeft hij onder ndere kennis vn reuken nodig. Om de wrmteweerstnd vn de gevel te verhogen zijn er twee mogelijkheden. De wrmteweerstnd R wordt nmelijk epld door de dikte (d) vn een mteril en de wrmtedoorgngscoëfficiënt (λ) vn het mteril. In formule: R d (eenheid: m K/W) λ In deze formule stt K voor grden kelvin, een eenheid om de tempertuur te meten. Je krijgt dus een grotere wrmteweerstnd door het isoltiemteril dikker te mken en/of een mteril met een kleinere λ te kiezen. Als de λ vn de kstenen 0, W/m K edrgt en de kstenen een dikte vn 0, m heen, etekent dit voor de wrmteweerstnd: 0, R 0, m K/W 0, Wt zou er nu geeuren ls we tegen de stenen een isoltielg pltsen met een dikte vn 0, m en een λ vn 0,0 W/m K? De wrmteweerstnd vn de isoltie is dn: R d 0,, m K/W λ 00, De wrmteweerstnd vn het metselwerk ws 0, m K/W, dus metselwerk en isoltie smen heen een wrmteweerstnd vn, + 0,, m K/W. Temp innen +0 C Temp uiten - C Wrmteverlies Q Figuur. Welk effect heeft dit op het wrmteverlies q? T q Δ R 0, W/m, Het wrmteverlies in de winter kon zonder isoltie oplopen tot 0 wtt per vierknte meter en dit is nu gereduceerd tot, wtt per vierknte meter. Over de hele grge met een geveloppervlkte vn 0 m ws dit 00 wtt en dt wordt nu slechts 0, 88 wtt. We heen in deze prgrf gezien hoe reuken in ouwfysicerekeningen verschijnen. Voordt we meer toepssingen ekijken, espreken we eerst de rekenregels voor reuken.

4 BREUKEN EN VERHOUDINGEN. Rekenregels voor reuken In een reuk heet het getl of de letter oven de streep de teller en het getl of de letter onder de streep de noemer. Dus in de reuk is de teller en de noemer. Bij het rekenen met reuken kun je geruikmken vn de volgende rekenregels: ) ) c d d d c c ) c c 8) c d c d ) ) c c d d c c ) ) c en c c ) c c c c + + ; ) c c ) c d c d+ c + + d d d d ) c c. Vooreelden en uitleg ij de rekenregels We zullen in deze prgrf vn elke rekenregel een of meer vooreelden espreken. An het eind vn de prgrf stn twee vooreeldsommen wrin je verschillende rekenregels moet comineren. Controleer eerst of je deze vooreelden goed egrijpt, voordt je n de opgven vn prgrf. en.8 egint. Vooreeld voor rekenregel Vooreeld voor rekenregel Deze regel kun je ook goed in de ndere richting geruiken:

5 WISKUNDE IN DE BOUW Vooreeld voor rekenregel Vooreeld voor rekenregel Op deze mnier kunnen we dus een reuk vereenvoudigen. We kunnen rekenregel echter ook in omgekeerde richting geruiken: 8 Dit wordt geruikt ij het optellen vn reuken met verschillende noemers. Zie het vooreeld ij rekenregel. Vooreeld voor rekenregel Rekenregel lt zien hoe we reuken met dezelfde noemers ij elkr kunnen optellen: + + Vooreeld voor rekenregel Breuken met verschillende noemers zijn lstiger op te tellen. Rekenregel iedt uitkomst: Zols je ziet, mkt rekenregel geruik vn rekenregels en. Het voordeel vn rekenregel is dt deze lgemeen ruikr is om reuken met verschillende noemers op te tellen. Het ndeel is dt deze rekenregel niet ltijd de hndigste methode oplevert. Als we ijvooreeld en 8 ij elkr willen optellen, zouden we met rekenregel de volgende erekening krijgen: wt met rekenregel vereenvoudigd kn worden tot: Mr dit resultt hdden we ook met minder rekenwerk kunnen verkrijgen:

6 BREUKEN EN VERHOUDINGEN Vereenvoudigd: 8 Vooreeld voor rekenregel In woorden uitgedrukt luidt deze regel: delen door een reuk is hetzelfde ls vermenigvuldigen met het omgekeerde vn die reuk. Als we ijvooreeld delen door, dn etekent dit dt moeten erekenen. Met rekenregel zien we dt: we 8 Vooreeld voor rekenregel 8 In woorden str hier: ls je weet dt, dn weet je ook dt een kloppende vergelijking is. Het nut vn deze regel wordt duidelijk ls je met vrielen werkt. Je kunt dn een vergelijking in reukvorm omschrijven nr een vergelijking zonder reuken, die vk gemkkelijker is op te lossen: x x 0 (dus x ) Vooreeld voor rekenregel Rekenregel volgt direct uit rekenregel, die zegt dt delen door een reuk hetzelfde is ls vermenigvuldigen met het omgekeerde vn de reuk: Vooreeld voor rekenregel en In woorden stt hier: ls je weet dt, dn weet je ook dt en kloppende vergelijkingen zijn. Net ls rekenregel 8 is rekenregel voorl nuttig ij het werken met vrielen.

7 WISKUNDE IN DE BOUW Vooreeld voor rekenregel Vooreeld voor rekenregel 0 Vooreeld voor het comineren vn de rekenregels () :? Bij deze som vindt zowel delen ls vermenigvuldigen met een reuk plts. De eerste stp is om het delen door een reuk te vervngen door het vermenigvuldigen met het omgekeerde vn de reuk: : Ps vervolgens regel toe: Omdt en, kunnen we dit ook schrijven ls: De reden voor deze schrijfwijze is dt we nu rekenregel kunnen toepssen, wrij we dezelfde getllen in teller en noemer tegen elkr mogen wegstrepen: Vooreeld voor het comineren vn de rekenregels () +?? Bij deze som schrijven we eerst en en ls één reuk: 8

8 BREUKEN EN VERHOUDINGEN Drn pssen we drie keer rekenregel toe: Nu kn rekenregel worden geruikt: Voordt we nr onze rekenmchine grijpen, kunnen we regel weer toepssen: 0. Toepssingen vn reuken Het rekenen met reuken komt in de ouw vk voor. Eigenlijk is er geen constructie op sterkte te erekenen of er komt wel een reuk n te ps. Ook het doorrekenen vn constructies op ouwfysische kwliteit denk n wrmte- of geluidsisoltie is zonder reuken niet te doen. Gevels en dken vn geouwen zijn vooreelden vn constructies die n veel verschillende eisen moeten voldoen. Ze moeten estnd zijn tegen wind en regen, ze moeten isoleren tegen kou en geluid, ze moeten vochtwerend zijn en het liefst ook duurzm. Drom zijn ze opgeouwd uit verschillende mterilen. De wet vn Hooke We eperken ons nu tot de effecten vn krchten op constructies. Hiervoor geruiken we een ekende regel in de ouwkunde, de zogenmde wet vn Hooke. Deze regel lt zien wt de lengteverndering vn een constructieonderdeel is onder invloed vn de krchten die erop werken. Deze lengteverndering is niet lleen fhnkelijk vn de uitgeoefende krchten, mr ook vn de doorsnede vn de constructie en vn een mterileigenschp: de elsticiteitsmodulus. In formule ziet dit eruit ls de volgende reuk: F L ΔL E A In deze formule heen de letters de volgende etekenis: ΔL lengteverndering vn de lk (in mm), F krcht (in N), L lengte (in mm), E elsticiteitsmodulus (in N/mm ) en A oppervlkte vn de doorsnede vn de lk (in mm ). Wt etekent dit nu in de prktijk? Stel dt je een stlen HEA 0-kolom ekijkt (figuur.).

9 WISKUNDE IN DE BOUW HEA 0 oppervlkte is.800 mm F 00kN L mm Figuur. Als je deze kolom doorsnijdt, is de oppervlkte vn de doorsnede.800 mm. De lengte vn de kolom is meter en de krcht die op deze kolom drukt, is 00 kn. Voor de letter E (elsticiteitsmodulus) mogen we ij stl, N/mm invullen. Met deze gegevens kunnen we uitrekenen hoe groot de lengteverndering vn de kolom ij deze krcht is. Merk op dt we in onderstnde erekening consequent lle lengtemten in mm en lle krchten in N heen ingevuld. F L 00 ΔL, mm E A, 8, Met de wet vn Hooke kunnen we ook ndere vrgen entwoorden, ijvooreeld: hoe groot moet de oppervlkte vn de doorsnede zijn ls ij een krcht vn 00 kn en een lengte vn meter de verkorting vn deze kolom niet meer dn millimeter mg edrgen? Je moet de reuk dn nders schrijven, omdt je nu niet de lengteverndering ΔL hoeft te erekenen die is nmelijk l gegeven mr de doorsnede A. Met rekenregel : F L ΔL ΔL E A F L dus E A F L E A Δ L Met rekenregel : F L ΔL F L A E ΔL E Je schrijft de reuk dus ls: F L A E ΔL Zo druk je de onekende A uit in de ekende termen. Invullen geeft: F L 00 A A, E ΔL, mm Als je in een oekje met stlprofielen kijkt, is de conclusie dt je een HEA 00-profiel (met een oppervlkte vn, mm ) moet geruiken in plts vn een HEA 0-profiel. Reken uit welke lengteverndering ij dit HEA 00-profiel op zl treden.

10 BREUKEN EN VERHOUDINGEN Een derde vrg die we met de wet vn Hooke kunnen entwoorden, luidt: hoe groot is de krcht F op een constructie, ls je de elsticiteitsmodulus E, de lengte L, de lenteverndering ΔL en de doorsnede A vn de constructie kent? Voor deze vrg moeten we de wet vn Hooke weer herschrijven, zodt we de onekende krcht F kunnen uitdrukken in de ekende gegevens: F L Δ ΔL ΔL E A F L F E A L E A L. Toepssingen vn verhoudingen In de ouw wordt regelmtig gewerkt met verhoudingen. Een toepssing hiervn is het mengen vn twee vloeistoffen of gssen, elk met een eplde vervuilingsgrd of tempertuur. Zo kn men vervuilde lucht mengen met schone lucht, of koude lucht met wrme lucht om ijvooreeld de lucht in een geouw op de gewenste tempertuur te krijgen. Wrmteterugwininstllties die het geruik vn rndstof in een geouw eperken, mken ook geruik vn de uitwisseling vn tempertuur tussen wrme en koude lucht. We illustreren dit met een eenvoudig vooreeld. In een groot vt zit m wter vn grden. Het is eenvoudig in te zien dt ls we dit wter mengen met m wter met een tempertuur vn grden, het eindresultt wter zl zijn met een tempertuur vn 0 grden. Omdt de hoeveelheden wter even groot zijn, kunnen we de verschillende temperturen middelen, dt wil zeggen optellen en door delen: + 0 Het wordt iets lstiger ls we de vrg nders stellen. Bekijk nogmls een vt met m wter en een tempertuur vn grden. Hoeveel wter vn 8 grden moeten we hiern toevoegen om wter te krijgen met een gemiddelde tempertuur vn grden? Stel de hoeveelheid wter die we moeten toevoegen is x m. De hoeveelheid wter die ontstt n het toevoegen vn x m is ( + x) m, wrvn m wter oorspronkelijk grden ws en x m 8 grden. Het deel vn het totl ( + x) m dt grden ws, is +x en het deel dt 8 grden ws, is + x x. De wiskundige formule 8 + x + x + x Hierin is x de hoeveelheid wter vn 8 grden die we moeten toevoegen n de m wter vn grden. Rekenregel leert ons dt: x 8 x x + x + x + x Vervolgens geruiken we rekenregel : 8x x + x + x + x